天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷
题号一二三总分得分
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 下列说法正确的是（）
A. B. C. D.“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是必然事件
“从一个装有6个红球的不透明的袋中摸出一个球是红球”是随机事件“概率为0.0001 的事件”是不可能事件
“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
2. 3.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
如图，以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）
A.2：1
B.3：1
C.4：3
D.3：2
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论
不成立的是（）
A. B. C. D.CM=DM
CB=DB
∠ACD=∠ADC OM=MD
5.若正方形的边长为6，则其外接圆的半径为（）
A.3
B.32
C.6
D.62
6.如图，AB∥CD，AB=6，CD=9，AD=10，则OD的长为（）
A. B. C. D.4 5 6 7
7.在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长是（）
A.154π
B.152π
C.54π
D.52π
8.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，
BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）
A. B.20∘25∘
C. D. 40∘ 50∘
9.
若点 A （x ，-6），B （x ，-2），C （x ，2）在反比例函数 y=m2+1x （m 为常数）
的图象上，则 x ，x ，x 的大小关系是（ ） 1 2 3
A. x1<x2<x3
B. x2<x1<x3
C. x2<x3<x1
D. x3<x2<x1 10. 已知一个直角三角形两直角边之和为 20cm ，则这个直角三角形的最大面积为（ ）
A. 25cm2
B. 50cm2
C. 100cm2
D. 不确定
11. 如图，直线 A B 与半径为 2 的⊙O 相切于点 C ，D 是⊙O 上一点，且∠EDC =30°，弦 E F ∥AB ，则 E F 的长度为（ ）
A. B. C. D.
2 2
3 3 22
12. 二次函数 y =ax +bx 的图象如图，若一元二次方程
ax +bx +m =0 有实数根，则 m 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
−3 3 −6 9
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
13. 已知 y =x ，
若 y 是 x 的反比例函数，则 m 的值为______． 14. 不透明袋子中装有 7 个球，其中有 3 个红球，4 个黄球，这些球除颜色外无其他差
别，从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是______．
15. 一个等边三角形边长的数值是方程 x -3
x -10=0 的根，那么这个三角形的周长为 ______． 16. 如图， △在ABC 中，DE ∥BC ，分别交 AB ，AC 于点 D 、E ．若
AD =3，DB =2，BC =6，则 DE 的长为______．
17. 二次函数 y =ax +4
x +a 的最大值是 3，则 a 的值是______． 18. 如图，⊙O 的直径 AB 长为 10，弦 AC 长为 6，∠ACB 的平分
线交⊙O 于点 D ，则 BC 的长为______，CD 的长______．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 66.0 分）
19. 已知关于 x 的一元二次方程 x +x +m -1=0．
（I ）当 m=0 时，求方程的实数根．
（Ⅱ）若方程有两个不相等的实数根，求实数 m 的取值范围．
1 2 3
2
2 m -1 2 2 2
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20. 一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个
小球然后放回，再随机摸出一个小球．
（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；
（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；
（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
21. 已知直线y=-2x+1与y轴交于点A，与反比例函数y=kx（k为常数）的图象有一个
交点B的纵坐标是5．
（Ⅰ）求反比例函数的解析式，并说明其图象所在的象限；
（Ⅱ）当2＜x＜5时，求反比例函数的函数值y的取值范围；
（Ⅲ）△求AOB的面积S．
22. 如图△，ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，
且BD=CE，AD与BE相交于点F，
（Ⅰ）证明△：ABD≌△BCE；
（Ⅱ）证明△：ABE△∽FAE；
（Ⅲ）若AF=7，DF=1，求BD的长．
23. 在△ABC中，∠ABC=45°，∠C=60°，⊙O经过点A，B，与BC交于点D，连接
AD．（Ⅰ）如图①．若AB是⊙O的直径，交AC于点E，连接DE，求∠ADE的大小．（Ⅱ）如图②，若⊙O与AC相切，求∠ADC的大小．
24. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-3，0），点B（0，1）△把ABO绕点O顺
时针旋转，得△A△'B'O，点A，B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α（0°＜α＜360°）．
（Ⅰ）如图①，当点A′，B，B′共线时，求AA′的长．
（Ⅱ）如图②，当α=90°，求直线AB与A′B′的交点C的坐标；
（Ⅲ）当点A′在直线AB上时，求BB′与OA′的交点D的坐标（直接写出结果即可）
25. 如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对
称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当
点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：“打开电视机，正在播《都市报道60分》”是随机事件，A错误；
“一个不透明的袋中装有6个红球，从中摸出1个球是红球”是必然事件，B错误；
“概率为0.0001的事件”是随机事件，C错误；
“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，D正确，
故选D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定
条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事
件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2.【答案】A
【解析】
解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：A．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3.【答案】A
【解析】
解：∵以A，B，C为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形相似，
∴，
故选：A．
根据相似三角形的性质解答即可．
此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边之比即是相似比解答．
4.【答案】D
【解析】
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即=，选项B成立；
△在ACM和△ADM中，
∵，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选：D．
由直径A B垂直于弦C D，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．
此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦
的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关
键．5.【答案】B
【解析】
解：作OE⊥AD于E，连接OD，则AE=DE=3，OE=3．
在Rt△ADE中，OD==3．
故选：B．
作OE⊥AD于E，连接OD，在Rt△ADE中，根据垂径定理和勾股定理即可求
解．
此题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6.【答案】C
【解析】
解：∵AB∥CD，
∴△AOB △∽DOC，
∴=，
∵AB=6，CD=9，AD=10，
∴=，
∴OD=6，
故选：C．
根据相似三角形的判定和性质列比例式即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】
解：=．
故选：D．
利用弧长公式可得．
此题主要是利用弧长公式进行计算，学生要牢记公
式．8.【答案】C
【解析】
解：如图，连接OA，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB=25°，
∴∠AOC=50°，
∴∠C=40°．
故选：C ．
连接 OA ，根据切线的性质，即可求得∠C 的度数．
本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助 线是连接圆心与切点．
9.【答案】B
【解析】
解：∵反比例函数 y=
（m 为常数），m +1＞0，
∴在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∵点 A （x 1
，-6），B （x ，-2），C （x ，2）在反比例函数 y=
2
3
（m 为常数）的图象
上，-6＜-2＜0＜2，
∴x
＜x ＜x ， 2
1 3
故选：B ．
根据反比例函数的性质，可以判断出 x ，x ，x 的大小关系，本题得以解决．
1
2
3
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利 用反比例函数的性质解答．
10.【答案】B
【解析】
解：设一条直角边为 x ，则另一条为（20-x ），
∴S= x （20-x ）=- （x-10） 2
+50，
∵
∴即当 x=10 时，S
最大
= ×10×10=50cm ．
故选：B ．
本题考查二次函数最大（小）
值的求法．设一条直角边为 x ，则另一条为（20-x ），
则根据三角形面积公式即可得到面积 S 和 x 之间的解析式，求最值即可．
求二次函数的最大（小）
值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是
配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数 a 的绝对值是较
2
2
小的整数时，用配方法较好，如 y=-x -2x+5，y=3x -6x+1 等用配方法求解比较 简单．
11.【答案】B
【解析】
解：连接 OE 和 OC ，且 OC 与 EF 的交点为 M ．
∵∠EDC=30°， ∴∠COE=60°．
∵AB 与⊙O 相切， ∴OC ⊥AB ， 又∵EF ∥AB ，
∴OC ⊥EF ， △即EOM 为直角三角形．
在 Rt △EOM 中，EM=sin60°×OE=
×2=
，
∵EF=2EM ， ∴EF= ．
故选：B ．
作辅助线，连接 OC 与 OE ．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半，可知∠EOC 的度数；再根据切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点 的半径，可知 OC ⊥AB ；又 EF ∥AB ，可知 OC ⊥EF ，最后由勾股定理可将 EF 的 长求出．
本题主要考查切线的性质及直角三角形的勾股定理．
12.【答案】B
【解析】
解：（法 1）∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，
∴a ＞0，
=-3，即 b 2
=12a ，
∵一元二次方程 ax
+bx+m=0 有实数根，
∴△=b
2
-4am ≥0，即 12a-4am ≥0，即 12-4m ≥0，解得 m ≤3，
∴m 的最大值为 3．
（法 2）一元二次方程 ax +bx+m=0 有实数根，
可以理解为 y=ax +bx 和 y=-m 有交点， 可见-m≥-3，
2
2
2 2
2
∴m≤3，
∴m的最大值为3．
故选：B．
先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根
据一元二次方程ax+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系
是解答此题的关键．
13.【答案】0
【解析】
解：∵y=x是反比例函数，
∴m-1=-1，
解得m=0．
故答案为：0．
根据反比例函数的一般式是（k≠0）或y=kx （k≠0），即可求解．
本题考查了反比例函数的一般形式（k≠0），也可转化为y=kx（k≠0）的形式，特别注意不要忽略k≠0这个条件．
14.【答案】37
【解析】
解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，
∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，
故答案为：．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= 15.【答案】15
【解析】．
2
m-1
-1
-1
解：x -3x-10=0，
（x-5）（x+2）=0，
即x-5=0或x+2=0，
∴x=5，x =-
2．12
因为方程x-3x-10=0的根是等边三角形的边长，
所以等边三角形的边长为5．
所以该三角形的周长为：5×3=15．
故答案为：15．
先解方程求出方程的根，再确定等边三角形的边长，然后求等边三角形的周长．
本题考查了一元二次方程的解法、等边三角形的周长等知识点．求出方程的解是解决本题的关键．
16.【答案】3.6
【解析】
解：∵AD=3，DB=2，
∴AB=AD+DB=5，
∵DE∥B C，
∴△ADE △∽ABC，
∴，
∵AD=3，AB=5，BC=6，
∴，
∴DE=3.6．
故答案为：3.6．
根据平行线得出△ADE △
∽ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，难度适中．
17.【答案】-1
【解析】
解：由题意得，
整理得，a-3a-4=0，=3，
2
2
2
解得a=4，a=-1，
12
∵二次函数有最大值，
∴a＜0，
∴a=-1．
故答案为：-1．
根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解．
本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况．18.【答案】872
【解析】
解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AB=10，AC=6，
∴BC==8；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴BD=AB=5；
作BH⊥CD于H，如图，
∵∠BCH=45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴BH=CH=BC=4，
在Rt△BDH中，DH==3，
∴CD=CH+DH=4+3=7，
故答案为：8，7．
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可计算出 BC ，根据圆周
角定理得到∠ADB=90°，再根据角平分线定义得∠ACD=∠BCD ，则 AD=BD ，
于是可判 △断ABD 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出
BD ，作 BH ⊥CD 于 H ，如图，证明△B CH 为等腰直角三角形得到 BH=CH=
BC=4
，再利用勾股定理计算出 DH=3
，从而计算 CH+DH 即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都
等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径．考查了等腰直角三角形的判定与性质以及勾 股定理．
19.【答案】解：（Ⅰ）当 m =0 时，方程为 x +
x -1=0． △=1 -4×1×（-1）=5＞0．
∴x =−1±52×1， ∴x 1
=−1+52，x =−1−52．
（Ⅱ）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞△ 0
即（-1） -4×1×（m -1） =1-4m +4 =5-4m ＞0 ∵5-4m ＞0 ∴m ＜54． 【解析】
（Ⅰ）令 m=0，用公式法求出一元二次方程的根即可；
（Ⅱ）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于 m 的不等式， 求解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式
△=b
-4ac ．
20.【答案】解：（Ⅰ）画树状图得：
（Ⅱ）∵共有 16 种等可能的结果，两次取出的小球的标号相同的有 4 种情况， ∴两次取出的小球标号相同的概率为 416=14；
2 2 2 2 2
（Ⅲ）∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为316．
【解析】
（Ⅰ）根据题意可画出树状图，由树状图即可求得所有可能的结果．
（Ⅱ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号相同的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
（Ⅲ）根据树状图，即可求得两次取出的小球标号的和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题难度不大，解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：（Ⅰ）在y=-2x+1中，令y=5，则x=-2，
∴B（-2，5），
代入反比例函数y=kx，可得
k=-2×5=-10，
∴反比例函数的解析式为y=−10x，其图象在第二四象限；
（Ⅱ）当2＜x＜5时，反比例函数的函数值随着x的增大而增大，
当x=2时，y=-5；当x=5时，y=-2，
∴函数值y的取值范围为-5＜y＜-2；
（Ⅲ）当x=0时，y=-2x+1=1，
∴A（0，1），
∴OA=1，
∴
=12OA•|x|=12×1×2=1．
B
S△AOB
【解析】
（Ⅰ）依据一次函数，求得B（-2，5），代入反比例函数y=，可得反比例函数的解析式；
（Ⅱ）依据当x=2时，y=-5；当x=5时，y=-2，即可得到函数值y的取值范围为-5＜y＜-2；
（Ⅲ）依据一次函数，即可得到A（0，1），进而得到△AOB的面积．
本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与一次函数的
交点问题，三角形的面积的综合运用，主要考查学生能否熟练的运用这些性 质进行计算和推理，通过做此题培养了学生的计算能力．
22.【答案】解：（Ⅰ）∵△ABC 是等边三角形，
∴AB =BC ，∠ABD =∠BCE ，
△在ABD △与BCE 中
AB=BC∠ABC=∠BAC=∠C=60°BD=CE ， ∴△ABD ≌△BCE （SAS ）；
（Ⅱ）由（1）得：∠BAD =∠CBE ， 又∵∠ABC =∠BAC ， ∴∠ABE =∠EAF ， 又∵∠AEF =∠BEA ， ∴△AEF △∽BEA ；
（Ⅲ）∵∠BAD =∠CBE ，∠BDA =∠FDB ， ∴△ABD △∽BDF ， ∴ADBD=BDDF ，
∴BD
=AD •DF =（AF +DF ）•DF=8， ∴BD =22． 【解析】
（Ⅰ）根据等边三角形的性质，利用 SAS 证得△ABD ≌△B CE ；
（Ⅱ）由 △ABD ≌△B CE 得∠BAD=∠CBE ，又 ∠ABC=∠BAC ，可 证∠ABE=∠EAF ， 又∠AEF=∠B EA ，由此可以证明△AEF △∽△B EA ；
（Ⅲ）根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是利用了等边三角形的性质和相似 三角形的判定和性质求解，有一定的综合性．
23.【答案】解：（Ⅰ）如图，连接 BE
∵∠ABC =45°，∠C =60°， ∴∠BAC =75°， ∵AB 是直径， ∴∠AEB =90°，
∴∠ABE =∠AEB -∠BAC =15°， ∵∠ABE =∠ADE ，
2
（Ⅱ）连接OA，OD，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∵∠ABC=45°
∴∠AOD=90°，且OA=OD
∴∠OAD=45°
∴∠DAC=∠OAC-∠DAO=45°，且∠C=60°
∴∠ADC=75°
【解析】
（Ⅰ）连接BE，根据三角形内角和可求∠BAC的度数，由圆周角定理可得
∠AEB=90°，即可求∠ABE=∠ADE=15°；
（Ⅱ）连接OA，OD，由切线的性质可得∠OAC=90°，根据同弧所对的圆心角是
圆周角的2倍可得∠AOD=90°，由等腰三角形的性质可求∠OAD=∠DAC=45°，根据三角形内角和可求∠ADC的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
24.【答案】解：（Ⅰ）如图①，
∵A（-3，0），B（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∴tan∠BAO=OBOA=33，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
∵△A△′OB′是△由AOB旋转得到，
∴∠B′=∠ABO=60°，OB=OB′，OA=OA′，
∴∠OBB′=60°，
∴∠BOB′=α=∠AOA′=60°，
∴△AOA′是等边三角形，
（Ⅱ）如图②，当α=90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．
∵∠A′B′O=60°，∠CAB′=30°，
∴∠ACB′=90°，
∵A′B=OA′-OB=3-1，∠BA′C=30°，
∴BC=12A′B=3−12，
∵∠HBC=60°，
∴BH=12BC=3−14，CH=3BH=3−34，
∴OH=1+BH=3+34，
∴点C的坐标（3−34，3+34）．
（Ⅲ）如图③中，设A′B′交x轴于点K．
当A′在AB上时，∵OA=OA′，
∴∠OAA′=∠AA′O=30°，
∵∠OA′B′=30°，
∴∠AA′K=60°，
∴∠AKA′=90°，
∵OA′=3，∠OA′K=30°，
∴OK=12OA′=32，A′K=3OK=32，
∴A′（32，32）．
【解析】
（Ⅰ）如图①，只要证明△AOA′是等边三角形即可；
（Ⅱ）如图②，当α=90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．解直角三角形求出BH，CH即可解决问题；
（Ⅲ）如图③，设A′B′交x轴于点K．首先证明A′B′⊥x轴，求出OK，A′K即可解决问题；
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定和性质，
直角三角形 30 度角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题， 属于中考常考题型．
25.【答案】解：（1）∵抛物线 y =-12x +mx +n
经过 A （-1，0），C （0，2）．
解得：m=32n=2，
∴抛物线的解析式为：y =-12x +32x +2；
（2）∵y =-12x +
32x +2， ∴y =-12（x -32） +
258， ∴抛物线的对称轴是 x =32． ∴OD=32．
∵C （0，2）， ∴OC =2．
在 △R t OCD 中，由勾股定理，得 CD =52．
∵△CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，
∴CP =DP =DP =CD ． 1 2
3
作 CM ⊥x 对称轴于 M ，
∴MP 1
=MD =2，
∴DP =4．
1 ∴P （32，4），P （32，52），P （32，-52）；
（3）当 y =0 时，0=-12x +32x +2
∴x 1
=-1，x =4， 2 ∴B （4，0）．
设直线 BC 的解析式为 y =kx +b ，由图象，得 2=b0=4k+b ，
解得：k=−12b=2，
∴直线 BC 的解析式为：y =-12x +2．
如图 2，过点 C 作 CM ⊥EF 于 M ，设 E （a ，-12a +2），F （a ，-12a +32a +2）， ∴EF =-12a +32a +2-（-12a +2）=-12a +2a （0≤a ≤4）．
∵S 四边形
=S +S +S =12B D •OC +12EF •CM +12EF •BN ，
=12×52×2+12a （-12a +2a ）+12（4-a ）（-12a +2a ）， =-a +4a +52（0≤a ≤4）． =-（a -2） +132
∴a =2 时，S =132，
四边形 的面积最大
∴E （2，1）． 【解析】
（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出 m 、n 的值即可；
（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出 CD 的值，再以点 C 为圆
2 2 2 2 1 2
3 2
2
2 2
CDBF △BCD △CEF △BEF
2 2 2
2 CDBF
心，CD 为半径作弧交对称轴于 P1，以点 D 为圆心 CD 为半径作圆交对称轴于 点 P ，P ，作 CE 垂直于对称轴与点 E ，由等腰三角形的性质及勾股定理就可 2 3
以求出结论；
（3）先求出 BC 的解析式，设出 E 点的坐标为（a ，- a+2），就可以表示出 F 的
坐标，由四边形 CDBF 的面积= +S 求出 S 与 a 的关系式，由
二次函数的性质就可以求出结论．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运
用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答 时求出函数的解析式是关键．
第 20 页，共 20 页 △S △ △+S △ △BEF BCD CEF。