泰安二模数学文科

泰安市2007年高三第二轮复习质量检测
数学试题（文） 第I 卷（选择题 共60分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2．每小题选选出答案后，铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P (A+B )=P (A )+P (B ) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
P (A ·B )=P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 334R V π=
那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k
n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．在复平面内，复数1i
i
+对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.已知4
cos()45π
α+
=
,则sin 2α等于
（A ）725- (B) 725 (C) 925 (D) 17
25
3.已知等差数列{}n a 中，610420,2a a a +==，则12a 的值是 （A ）26 (B)20 (C)18 (D)28 4
．函数())4f x x π
=
+，给出下列三个命题
①函数()f x 在区间5[,]28
ππ
上是减函数
②直线8
x π=
是函数()f x 的图象的一条对称轴
③函数()f x
的图象可以由函数2y x =的图象向左平移
4
π
得到，其中正确的是
A ．①③
B ．①②
C ． ②③
D ．①②③
5.已知实数x , y 满足20y x x y y ≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则z = x + 3y 的最大值是
(A)0 (B)2 (C)3 (D)4
6．当a 为任意实数时，直线2(1)0ax y a --+=恒过定点M ，则以M 为圆心并且与圆
222410x y x y ++-+=相外切的圆的方程是
A ．2
2
(2)(2)9x y +++= B ．22
(2)(2)9x y -++=
C ．2
2
(2)(2)16x y -+-=
D ．2
2
(2)(2)16x y -++=
7.一个容量微20的样本数据，分组后，组距与频数如下：(10,20],2;(20,30],3;(30,40],
4;(40,50],5;(50,60],4;(60,70],2;则样本在（50，+∞）上的频率为
A.
120 B. 710 C. 310 D. 12
8．正四棱锥P-ABCD 的底面边长为2
，且它的五个顶点都在同一球面上，
则此球的体积为 A ．4
3π B ．323π C ．92
π D ．36π
9.若函数f(x)=log (0,1)a x a a >≠在(0,)x ∈+∞上是减函数，则函数f(x)= 1x a -的图象大致
是
10．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量(,),(2,6)p m n q ==，则向量p 与q 共线的概率为
A ．
118 B ．112 C ．19 D ．
16
11．三个数a , b , c 成等比数列，若1a b c ++=，则b 的取值范围为
A ．1(0,]3
B ．1[1,]3
--
C ．[1,0)-
D ．1[1,0)
(0,]3
- 12．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[-3，-2]上是减函数；,αβ是钝
角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是
A ．(sin )(cos )f f αβ>
B ．(cos )(cos )f f αβ<
C ．(cos )(cos )f f αβ>
D ．(sin )(cos )f f αβ<
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在题中横线上）
13.若抛物线2
y ax =的焦点与双曲线2
213
x y -=的左焦点重合，则实数a 的值是_________. 14.在下面程序图中，若a=0.650.65,0.6,log 5b c ==,则输出的数是 _。

（用字母a 、b 、c 填空）
15.已知m 、n 表示直线，αβ、表示平面，给出下列三个命题： ①,//,m m n n αα⊥⊥则②//,//,//m m n n αα则， ③,//,,m n m n αα⊥⊥则 ④,,//.m m ααββ⊥⊥则
其中所有正确命题的序号是__________________________.
16.某市原来的民用电价为0.52元/千瓦时，换装分时电表后，峰时段（早上8点至晚上21
点）的电价为0.55元/千瓦时，谷时段（晚上21点至次日早上8点）的电价为0.35元/千瓦时，对于一个平均每月用电量为200千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费时的10％，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为__________.
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤.
17.（本小题满分12分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别a 、b 、c ，若()AB AC BA BC k k R ==∈ (I)判断△ABC 的形状； （II ）若
,求k 的值. 18.（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a 。

且2，n a ，n S 成等差数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若2log ,n
n n
a b a =
n T 为数列{n b }的前n 项和，则n T <2. 19.(本小题满分12分)
直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB=BC= 1AA , ABC=90∠︒,点O 、E 分别为AC 、1BB 的中点. （I ）求证：OE//平面11AB C ; （II ）求证：11A E OC ⊥.
20．（本小题满分12分）
某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科
技工业园，已知AB ⊥BC ，OA//BC ，且AB=BC=2AO=4 km ，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB 、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积。

21．（本小题满分12分）
如图所示，ABC ∆为直角三角形，90C ∠=︒，若(0,4)OA =-，M 在y 轴上，且
1
()2
AM AB AC =+，点C 在x 轴上移动.
（Ⅰ）求点B 的轨迹E 的方程；
（Ⅱ）过点1(0,)2
F 的直线l 与曲线E 交于P 、Q 两点，设(0,)(0),N a a <NP 与NQ 的
夹角为θ，若2
πθ≤
恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）设以点N E 在第一象限的交点为H ，若圆在点
H 处的切线与曲线E 在点H 处的切线互相垂直，求a 的值.
22.(本小题满分14分)
已知函数3
2
()11f x x ax bx =++-，且()f x 在(,1),(2,)-∞-+∞上单调递增，在（－1，2）上单调递减，又函数2
()45g x x x =-+.
（I ）求函数f(x)的解析式； （II ）求证当x>4时，f(x)>g(x);
（III ）若函数y=m 的图象与函数f(x)、g(x)的图象共有3个交点，求m 的取值范围.
泰安市2007年高三第二轮复习质量检测 数学试题参考答案及评分标准（文科）
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分
1.D
2.A
3.C
4.B
5.D
6.B
7.C
8.C
9.B 10.A 11.D 12.D 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分 13.-8 14.a 15.③ 16.118 三、解答题：本大题6小题，共74分 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
cos ,cos ..........1cos cos sin cos sin cos ..........3sin cos sin cos 0sin()0..........5.......AB AC cb A BA BC ca B AB AC BA BC cb A ca B
B A A B A B B A A B A B A B
ABC ππ===∴=∴=-=∴-=<-<∴=∴∆分又分即分-为等腰三角形...7分
（Ⅱ）由（I ）知a=b
2222
cos (1022)
21..........12b c a c AB AC cb A bc bc c k +-∴====∴=分
分
18.（本小题12分）
解：（I ）由题意知22,0,n n n a S a =+>
当n=1时，111222a a a =+∴=…………………….2分 当2n ≥时，1122,22n n n n S a S a --=-=-， 两式相减得122n n n a a a -=-， 整理得：
1
2n
n a a -=………………….4分 ∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.
∴1112222n n n
n a a --==⨯=……………………..6分
（II ）由（I ）知22
n
n n n n
a b =∴=
，……………………..7分 123...,2482n n n
T =
++++ ① 11123 (248162)
n n n
T +=++++ ② ①－②得
1111111...,22481622n n n n
T +=+++++-………………….9分 1111,222
n n n n
T +∴=--……………….11分 22 2.2
n n n
T +∴=-<……………….12分
19.（本小题满分12分）
解：（I ）证明：取1CC 的中点F ，连结EF 、OF ，则
111OF//AC ,//EF B C …………….2分
∴11//,//OF EF AB C 11面AB C 面…………….4分 又1111,OF
EF F AC B C C ==
∴平面//OEF 平面11AB C …………….5分 又OE ⊂平面OEF
∴OE//平面11AB C …………….6分
（II ）证明：取AB 的中点G ，连结1B G 、OG . ∵直三棱柱111ABC A B C -中，AB=BC=1AA ∴四边形11ABB A 为正方形.
∴11A E B G ⊥…………………………..….8分 又11190,ABC ABC A B C ∠=︒-棱柱为直棱柱. ∴111B C A E ⊥
∴111.A E GB C ⊥平面……………………..….10分 又11//OG B C
∴11OGB C 共面 ∴111OC GB C ⊂平面 ∴11A E OC ⊥…………………..….12分 20．（本小题满分12分）
解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图），依题意可设抛物线的方程为
22,124,.
2
x py C p p =∴=∴=2
且（2，4），2
故曲线段OC 的方程为2
y x =(02)x ≤≤…………….3分 设 2
(,)(02)P x x x ≤<是曲线段OC 上的任一点， 则2
||2,||
4PQ x PN x =+=-……………5分 工业区面积
2322122||||(2)(4)824.....6'344,'0,2
,2
3
2
02, (73)
2[0,)'0,32
(,2)'0,.........932832||2,||4,
339S PQ PN x x x x x S x x S x x x x x S S x S S x S PQ x PN x ==+-=--+∴=--+===-≤<∴=∈>∈<∴==+==-=分令得：分
当时，是x 的增函数；当时，是x 的减函数；分
时，取到最大值，此时28322569.5() (113927)
S km =⨯=≈分
答：把工业园区规划成长为329km ，宽为8
3
km 的矩形时工业园的面积最大，最大面积是
29.5km …….12分
21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）
1
()2
02...........3AM AB AC M BC CA y =+∴∠︒∴⊥=∴=2是的中点
y
设B （x,y ），则M(0,),C(-x,0)
2
CB=(2x,y),CA=(x,-4)...........分C=90OB CA CB (2x,y)(x,-4)=0 x 分
（Ⅱ）
1122112221212112221212121121
,(,),(,),(,),(,)
2
1210222, 1............50(,)(,)0()0
1,2l y kx P x y Q x y NP x y a NQ x y a y kx kx x y x x k x x NP NQ x y a x y a x x y y a y y a y kx y =+=-=-⎧
=+⎪--=⎨⎪=⎩∴+==-≥--≥+-++≥=+2设直线方程为由知x 分由知又22212122221
2
1
(1)()()0
23
4 (723)
40021
(92)
kx x x k k ak x x a a a a k a a a a a a =+
∴++-+-+≥--
∴≥
--
∴
≤<∴≤-恒成立分，又分
（Ⅲ）
222
,.2,2210 (111)
12
1
(122)
NH a K a
a a a a a a -==-∴
=+==--===-<∴=-00020
x=x 00000
2
0000
00由题意知，NH 是曲线C 的切线，设H （x ,y ）y 1
则y'=(x )'|x 2x y x x 又因x （y -a ）x y 消去x ,y 得分解得或分
22.(本小题14分) 解：（I ）
32()11f x x ax bx =++-
2()32f x x ax b '∴=++………………..….1分
又函数3
2
()11f x x ax bx =++-在(,1),(2,)-∞-+∞上单调增，在（－1，2）上单调减 ∴－1，2是方程3320x ax b ++=的两个根………………..….3分
从而2
1323
a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得326a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴3
23()6112f x x x x =---………………….6分
（II ）令3
2
5()()()2162
H x f x g x x x x =-=-
-- ∴2
()352(31)(2)H x x x x x '=--=+-
4()0x H x '>∴>
从而函数()H x 在（4，＋∞）上单调增……………………….8分 又H （4）＝0
∴当x>4时f(x)>g(x) ……………………….10分 (III) 3
2
3()6112
f x x x x =---在(,1),(2,)-∞-+∞上单调增，在（－1，2）上单调减 且15
(1),(2)212f f -=-
=- ∴当15
212
m -<<-时，直线y=m 与函数f(x)的图象有3个交点. …………………….12分
又g(x)=(x-2) 2+11≥,且(4)(4)5f g ==
∴当1<m<5或m>5时，直线y=m 与f(x)、g(x)的图象共有3个交点. ……………….13分 综上：m 的取值范围是（－21，－
152）(1,5)(5,)+∞……………………….14分。