2020届高考数学(理)课标版二轮习题：中档提升练 第四练

第四练
一、选择题
表示的平面区域为D.命题
1.(2019课标全国Ⅲ文,11,5分)记不等式组
-
p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q②¬p∨q③p∧¬q④¬p∧¬q
这四个命题中,所有真命题的编号是()
A.①③
B.①②
C.②③
D.③④
答案A由不等式组画出平面区域D,如图中阴影部分所示,
在图中画出直线2x+y=9,可知命题p正确,
作出直线2x+y=12,2x+y≤12表示直线及其下方区域,易知命题q错误.
∴¬p为假,¬q为真,
∴p∨q为真,¬p∨q为假,p∧¬q为真,¬p∧¬q为假.
故真命题的编号为①③,故选A.
2.定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且f(x)=-
其中a∈R,若
-
f(-5)=f(4.5),则a=()
A.0.5
B.1.5
C.2.5
D.3.5
答案C由f(x+1)=f(x-1),得f(x)是周期为2的函数,又f(-5)=f(4.5),所以
f(-1)=f(0.5),即-1+a=1.5,所以a=2.5,故选C.
3.已知直线l过点(-2,0)且倾斜角为α,若l与圆(x-3)2+y2=20相切,则sin-=()
A. B.-
C. D.-
答案A由题意可设直线l的方程为y=(x+2)tanα,因为l与圆(x-3)2+y2=20相切,所以=,所以tan2α=4,因此sin-=-cos2α=--=--=--=.故选A.
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()
A.x2-y2=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
答案D由题意得双曲线的左焦点为F(-c,0).由离心率e==,得
c=a,c2=2a2=a2+b2,即a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k==1,得c=4,所以a=b=2,所以双曲线的方程为-=1,故选D.
二、填空题
5.已知点A(2,1),O是坐标原点,点P(x,y)的坐标满足
-
-设z=·,则z
的最大值是.
答案4
解+析解法一:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,z=·=2x+y,作出直线2x+y=0并平移,可知当直线过点C时,z取得最大值.由-
-
得即C(1,2),则z的最大值是4.
解法二:由题意,作出可行域,如图中阴影部分所示,可知可行域是三角形封闭区域.z=·=2x+y,易知目标函数z=2x+y的最大值在顶点处取得,求出三个顶点的坐标分别为(0,0),(1,2),(-3,0),分别将(0,0),(1,2),(-3,0)代入z=2x+y,对应z的值为0,4,-6,故z的最大值是4.
6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2+b2-c2=ab,且acsin B=2sin C,则△ABC的面积为.
答案
解+析因为a2+b2-c2=ab,所以由余弦定理得cos C=-==,又0<C<π,所以C=.因为acsin B=2sin C,所以结合正弦定理可得abc=2c,所以ab=2.故S
=absin C=×2sin=.
△ABC
三、解答题
7.如图所示的多面体ABCDEF满足:正方形ABCD与等边三角形FBC所在的平面互相垂直,FB∥AE且FB=2EA.
(1)证明:平面EFD⊥平面ABFE;
(2)求二面角E-FD-C的余弦值.
解+析(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,且三角形FBC是等边三角形,
∴BC AD,FB=BC,且∠FBC=60°.
又∵2EA FB,∴∠EAD=60°.
在△EAD中,设EA=a,则AD=2a,
∴由余弦定理得DE=-··=a,
∴DE2+AE2=AD2,
∴DE⊥AE.
∵平面ABCD⊥平面FBC,平面ABCD∩平面FBC=BC,AB⊥BC,且AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥平面FBC.
∵BC∥AD,EA∥FB,FB∩BC=B,AE∩AD=A,
且FB,BC⊂平面FBC,EA,AD⊂平面EAD,
∴平面EAD∥平面FBC,∴AB⊥平面EAD.
又∵ED⊂平面EAD,∴AB⊥ED.
∵ED⊥EA,EA∩AB=A,且EA,AB⊂平面ABFE,
∴DE⊥平面ABFE.
又∵DE⊂平面EFD,∴平面EFD⊥平面ABFE.
(2)分别取BC和AD的中点O,G,连接OF,OG.
∵BO=OC,且三角形FBC为等边三角形,∴FO⊥BC.
易知GA OB,∴四边形OGAB为平行四边形,∴OG∥AB.
由(1)可得AB⊥平面FBC,∴OG⊥平面FBC,故OF,OB,OG两两垂直,以OB,OG,OF 所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设BC=4,则F(0,0,2),C(-2,0,0),D(-2,-4,0),E(1,-4,),则
=(2,4,2),=(3,0,),=(0,4,0),
设平面DEF的法向量为n=(x1,y1,z1),平面DCF的法向量为m=(x2,y2,z2),
即
则·
·
取x1=,∴n=(,,-3),
·
即取x2=,∴m=(,0,-1),
·
则cos<m,n>=·==.
又二面角E-FD-C的平面角是钝角,
∴二面角E-FD-C的余弦值为-.
8.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善,郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污
染区、中度污染区、重度污染区分别设有2、5、2个监测站.以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量.
(1)若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI 的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值;
(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布情况,11月中仅有一天AQI在[170,180)内.
①郑州市某中学组织学生利用每周日的时间进行社会实践活动,以公布的AQI为标准,若AQI小于180,则去进行社会实践活动.以统计数据中的频率作为概率,求该校学生周日进行社会实践活动的概率.
②在“创建文明城市”活动中,验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标,从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价,设抽取到的AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望.
解+析(1)设重度污染区AQI的平均值为x,则74×2+114×5+2x=118×9,解得
x=172,
即重度污染区AQI的平均值为172.
(2)①由题意知,AQI在[170,180)内的天数为1,
由表格中的数据可知,AQI在[50,170)内的天数为17,
故11月AQI小于180的天数为1+17=18,
则该校周日进行社会实践活动的概率P==.
②由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,且
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
则X的分布列为
数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.。