优化问题的数学模型

一. 管理科学的定义
管理科学是对与定量因素有关的管理问题通过应用科学的方法进行辅助管理决策制定的一门学科.
(1) 定量因素(2) 科学的方法(3) 辅助决策制定 二.用管理科学的方法解决问题的基本步骤.
（1） 提出问题，并根据需要收录有关数据信息。

管理科学工作者向管理者咨询、鉴别所
要考虑的问题以确定合理的目标，然后根据要求收集一些关键数据，并对数据作相应的分析。

（2） 建立模型，引入决策变量，确定目标函数（约束条件）。

建模过程是一项创造性的
工作，在处理实际问题时，一般没有一个唯一正确的模型，而是有多种不同的方案。

建模是一个演进过程，从一个初始模型往往需要不断的完善渐渐演化成一个完整的数学模型。

（3） 从模型中形成一个对问题求解的算法。

要在计算机上运行数学程序对模型进行求
解，一般情况下能找到对模型求解的标准软件。

例如，对线性规划问题已有Excel 、Cplex 、Lingo 等标准软件求解。

有时要自己编写程序。

（4） 测试模型并在必要时修正。

在模型求解后，需要对模型进行检验，以保证该模型能
准确反映实际问题，需要检验模型提供的解是否合理，所有主要相关因素是否已考虑，当有些条件变化时，解如何变化等。

（5） 应用模型分析问题以及提出管理建议。

对模型求解并分析后，将相应的最优方案提
交给管理者，由管理者做出决策。

管理科学工作者并不作管理决策，其研究只是对涉及的问题进行分析并向管理者提出建议。

管理者还要考虑管理科学以外的众多因素才能做出决策。

（6） 帮助实施管理决策。

建议被管理者采纳以后，一旦做出管理决策一般要求帮助监督
决策方案的实施。

新问题, 新模型, 新算法, 新应用.
三.优化问题的数学模型
1212max(min)(,,,)
(,,)0..1,2,n j n Z f x x x g x x x s t j m
=≤⎧⎨
=⎩
由于,j f g 是非线性函数时，此问题是非线性优化问题, 求解较复杂。

我们主要讨论线性优化问题，常见的形式：混合整数规划
（1）
max 0 0
Z CX hY
AX GY b X Y =++≤≥≥取整数
其中111,,,,m n m p m n p A G b C h ⨯⨯⨯⨯⨯，不失一般性，我们假定,,,,C h A G b 都是整数矩阵。

当0p =时，（1）为纯整数规划，当0n =时，（1）为线性规划。

下图列出若干常见线性优化问题之间的关系，见Figure 1.1
3.1．1 Set packing 与Node packing （Set packing ）模型：
max 1
{0,1}
Z CX
AX x =≤⎧⎨
∈⎩ 其中A 是元素为0或1的矩阵
（Node packing ）模型：
max 1
{0,1}
Z CX
AX x =≤⎧⎨
∈⎩ 其中A 是元素为0或1的矩阵，且每行恰有两个1（没有重复行）
显然，Node packing 是Set packing 特例。

对于Set packing 问题，事实上是一个独立集问题，例如
1 0 0 01 1 0 01 0 1 00 1 1 1A ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
我们按下列方式构造网络：每列对应于一个顶点，j x 对应于点j ，所以有四
个点，按行检查，对任意i 若1il ik a a ==，则在点l 与点h 之间有一条边相连。

构成如图网络以后，可以看出约束1AX ≤相当于确定顶点使得被确定的顶点之间没有边相连；而目标系数C 相当于点的权重向量问题变为如何在网络确定若干个（独立的）顶点使得总权重最大的问题。

而Node packing 问题中，A 是0－1矩阵（每行只有两个元素是1），事实上是一个网络的边点关联矩阵，最终也可以化为与上问题类似的问题。

Figure 1.2
3.2 背包问题
对于0-1背包问题（Knapsack ）一般模式：
max ..{0,1}
Z CX AX b s t x =≤⎧⎨
∈⎩ 事实上，它的求解很困难，我们不妨举个非常简单的例子。

1231231max 92860720..{0,1}
i Z x x x x x x b s t x =++++≤⎧⎨
∈⎩
1x 的系数比1：9，2x 的系数比1：4，3x 系数比为1：3，从资源分配问题角度应依次考虑123,,x x x ，而事实上，最优解非常依赖于右端项1b 。

当17b <时，最优解为（1，0，0）； 当178b ≤<时，最优解为（0，1，0）； 当1820b ≤<时，最优解为（1，1，0）； 当12021b ≤<时，最优解为（0，0，1）； 没有体现1x 优先，不同于线性规划。

3．3 Matching （赋权图）匹配问题
在网络中，一个匹配是指一些边集使得没有两边相关联。

最大赋权匹配问题，寻找一个匹配使得总权最大。

最大基数匹配问题，（假定每条边权为1），找出边数最多的匹配。

指派问题－事实上是二部图的匹配问题。

（注：二部图是指可以把图中顶点分为两个部分，每一部分之间没有连接）
一般模型 ()
max .. 1 {0,1}
e e
e E
e e i e Z C X s t
X i V X δ
∈∈=≤∀∈∈∑∑
其中()i δ表示关联顶点i 的边的集合。

（3
()O m 算法存在） 3．4 Linear Network Flow
,min(max)..0ij ij
i j
ij ij ij jh j
i
h ij Z x w x C s t x x s x =⎧
≤⎪⎪-=⎨⎪⎪≥⎩
∑∑∑ 最大流问题，运输问题，最短路问题和指派问题均为其特例。

网络单纯形法。

Fixed-charge Network flow 是指弧上费用固定，与流量无关。

我们要确定走哪些弧（0－1变量）。

一般模型为0－1混合整数规划。

,min(max)..0,{0,1}ij ij
i j
ij ij ij ij jh j
i
h ij ij Z y w x C y s t x x s x y =⎧
≤⎪⎪-=⎨⎪⎪≥∈⎩
∑∑∑ 事实上，线性网络流（最小费用流）是上问题的特例：
在线性网络流中，ij w 是单位费用，将弧(,)i j v v （容量为ij C ）分解为ij C 条容量为1的弧即可。

3．5无容量限制的设备选址问题（uncapacitated facility location ）
一般模型：,min .. 0,{0,1}ij ij i i
i j
i
ij i i j
ij j i
ij i Z c x h y x a y i s t x b x y =+⎧≤∀⎪⎪=⎨⎪⎪≥∈⎩
∑∑∑∑这是一种混合0－1规划问题。

3．6 Node Covering
给定图(,)G V E 和一个数k ，是否存在一个包含k 个顶点的子集1V V ⊂，使得图中每个边至少关联1V 中的一个顶点？（判定问题）k 的最小个数是多少？（优化问题） （若每点都有权，求一个子集1V V ⊂总权最小，且每个边至少关联1V 中的一个顶点）
Independent Set 独立集问题：给定网络图(,)G V E 和整数k ，是否存在包含k 个点的子集1V 使得1V 中任何两个点都不相邻（关联）？（判定问题）求最大的k 是优化问题。

其它问题：哈密顿圈，货郎担问题，中国邮递员问题，适定性问题
3．7各种问题的变形问题
最大容量路、最大容量树、瓶颈运输问题（指派问题）、约束最小生成树（度约束、hop 约束等）、多种物资流问题、带时间窗的最短路问题，最短路、树问题
实际应用的问题都是这些问题的变种形式，首先要判断所遇问题基本上属于哪类问题。

四. 单位模矩阵（么模矩阵）与整数解（Uni-modular ）
定义：一个整数方阵B ，若||1B =±，则称B 为单位模（么模）矩阵。

一个m n A ⨯矩阵，若它的任何一个非奇异子方阵都是单位模的，则称A 为全单模的。

推论：A 是全单模的，则A 的任何r 阶子式（r m ≤）取值为0，1±。

由于线性规划的基本解*
1
||
B B X B b b B -==⋅（其中*B 为B 的伴随矩阵） 若b 是整数向量，则B X 也是整数向量。

因此有
定理1：若A 是全单位模矩阵，对任何整数向量b 都有有界多面体
1(){|,0}R A X AX b X ==≥的所有顶点均为整数点，因此用单纯形法求出的最优解必为整
数解。

同样，可以证明当约束是不等式约束时，也有以上结论。

2(){|,0}R A X AX b X =≤≥
定 理2：当A 是全单位模矩阵，b 是整数向量时，2()R A 的所有顶点均为整数点。

定 理3：设()ij m n A a ⨯=，其中0,1ij a =±，如果A 的每一列的非零元素最多有两个，且A 的行可以划分为两个子集1I 和2I ，使得
(1) 若一列中两个非零元素的符号相同，则它们所有的行属于不同的集合1I 和2I
(2) 若一列中的两个非零元素的符号不同，则它们所在的行属于同一个集合则A 是全单位模 推论：
A 是一个有向图的点－弧关联矩阵或A 是一个无向二部图的点边关联矩阵，则A 是全单位模。

例：
Figure 1.3
点边关联矩阵12345
1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 A= 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 e e e e e ⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
不是全单位模，因为2345
e e e e 列形成的4阶子式为－2。

事实上，我们有定理: 无向图的点边关联矩阵是全单位模的充要条件是该图为二部图。

关联矩阵（点弧）
123456
a a a a a a 1 1 0 0 1 0 -1 -1 1 0 0 1 A= 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
Figure 1．4
定理：对于关联矩阵（点弧）n m A ⨯其秩为n-1（行的个数－1）。

应用举例：（线性规划中列向量是连续1的情形） 若线性规划
min ..0
Z CX AX b s t x =≥⎧⎨
≥⎩ 其中m n A ⨯是0－1矩阵，且满足每列中的元素是1的元素连续出现的情形，这类问题可以转化为网络最小费用流问题。

现举例说明：
min 0 1 0 1 151 1 0 0 1121 1 1 0 0101 1 1 0 06Z CX
X =⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
加剩余变量Y 变为（并增加一行000X Y ⋅+⋅=） 0 1 0 1 1 -1 0 0 051 1 0 0 1 0 -1 0 0121 1 1 0 0 0 0 -1 0101 1 1 0 0 0 0 0 -160 0 0 0 0 0 0 0 0X Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
对A 作行变换（每行减去上一行）得
0 1 0 1 1 -1 0 0 051 0 0 -1 0 1 -1 0 00 0 1 0 -1 0 1 -1 00 0 0 0 0 0 0 1 -1-1 -1 -1 0 0 0 0 0 1X Y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦7246⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
此时() 0,1ij ij A a a ==±，每列恰有两个非零元素（一个1，一个－1）问题化为如下最小费用流问题：
发点第1点 发量－收量＝5
第2点 发量－收量＝7
收点第3，4，5点 分别为2，4，6
五. 算法复杂性
a) 多项式算法－问题算法的复杂性随着输入规模的增加而多项式地增加，或者有一个
多项式的上界。

例如，问题的规模为n ，算法的复杂性为log n n 或3
n 等，指数算法2n
（复杂性，最坏的情况）。

问题的规模－输入时所需要的符号数目，例如线性规划问题中A ，B ，C 所需要的符号
数目。

b) 优化问题与判定问题
对于一个给定的最优化问题，可以定义一个密切相关的判定问题，即一个能用是或否回答的问题。

例如覆盖问题、匹配问题等，线性规划问题转化为不等式是否存在可行解。

c) P 类问题
给定每个问题的实例，我们有多项式时间算法得出答案是是还是不是。

d) NP 问题
如果X 是判定问题的一个答案为“是”的实例，则存在一个对X 的一个多项式时间为界验证，使得能在多项式时间内验证这个证明的真实性；
例：求网络图中的最大团问题，(,)G V E 的图为V 的一个子集（其中任意两点完全连接），最大团问题是找出包含顶点数最多的团（clique ），这是一个优化问题。

判定问题为：已知图(,)G V E 和整数k ，G 中有k 个点团吗？
由于还没有找到多项式时间算法求解此问题，所以不知道此问题是否在P 类问题中，
一个方法是找出所有k V C 个包含k 个顶点的子集，但是这是指数级算法，人们没有多项
式算法。

但是此问题是NP 类，因为假定给定团的一个答案是“是”实例，我们很容易检验：首先看是否有k 个点，再看任意两点是否连接。

例：整数线性规划（略）
判定问题：已知m n ⨯整数矩阵A 和m 维整数向量，存在n 维整数向量X ，使AX b =及0X ≥吗？
显然判定问题是NP 的。

定理：P NP ⊆即P 是NP 的子集。

（略） e) 多项式时间归纳法（转换）
两个判定问题12,A A ，如果1A 多项式归结到2A ，则当2A 有多项式算法时，1A 也有多项式时间算法。

f) NP －Complete （NP 完备类）
定义：一个判定问题A NP ∈称为是NP －完备，如果所有其他的NP 问题都能多项式地归纳到A 。

对于NP 完备类的问题A ，有一个令人生畏的性质，若A 有有效算法（多项式算法）则所有NP 问题也有有效算法。

要证明一个问题是NP －完备，必须证明
（1） 该问题是NP 问题（2）所有其它NP 问题可以多项式归纳到该问题。

g) 常见的NP －完备问题
有成千上万个NP －完备问题，如：整数线性规划、团、货郎担问题、适定性问题、点覆盖、独立集、哈密顿圈问题、0－1背包问题。

事实上要证明一个问题是NP －完备的转化为要证明：
（1） 该问题是NP 的
（2） 有一个已知的NP －完备问题可以多项式时间转化为该问题。

h) NP －困难问题
有时我们能证明所有NP 问题多项式归结到某问题A ，但不能证明A NP ∈，此时称A 为NP 困难问题。

i) 纯整数规划问题有多项式时间算法，当且仅当0－1整数规划问题有多项式时间算
法。

⇒0－1规划是特例显然成立；⇐若0－1规划有多项式算法（充分性）
事实上，纯整数规划可以重新写为一个等价0－1规划，由于纯整数规划最优解分量i x 有界M ，令0
2l
j i ij
j x x
==∑，[]log l M =，这样纯整数规划化为0－1规划问题。

j)
货郎担问题的整数规划模型
考虑1n +村庄的货郎担问题，分别用0，1，2,…，n,城市间距离为ij C ，对每一弧(,)i j 我们指定变量ij x ，当弧(,)i j 在环游线上时，ij x ＝1；当弧(,)i j 不在环游线上时，ij x ＝1。

,0
00
min s.t. 1 0,
, 1 1,
, 01 1,1n
ij ij
i j i j
n
ij i n
ij j ij i j ij Z c x
x j n x i n
x u u nx n i j n
=≠===
====≤≤-+≤-≤≠≤∑∑∑为整数
（,i j u u 无非负限制实变量）
Greedy 算法（每次挑最好的候选者，直到不能送为止）
最大权森林问题（森林是无圈子图） 最小支撑树问题 拟阵——用greedy 算法都能求出最优解。

k) Sterner 树问题
Sterner 树问题－最小生成树的变种。

给定网络(,)G V E C ，，S V ⊆是一个顶点子集，我们希望找一个包含S 中所有顶点的最小费用树（不必是G 的支撑树）。

该问题是NP 困难问题。

l) 成本效益均衡模型
许多优化问题是两个以上目标优化问题，如要求成本最低和效益最高，或回报高而风险低。

一般是限制其中一个目标（作为约束条件）求另一个目标最优。

类似地，有n 个目标时，限制n-1个目标（作为约束条件），求其中一个最优。

适定性问题（Satisfiability ）：布尔变量x 的真与假，逻辑运算“或”，“与”分别用“+”“•”表示，x 表示x 的否，布尔表达式是用算术运算符号连接起来的变量所构成的代数表示式。

例1：3213()x x x x ++是一个布尔表示式。

给定每个变量x 一个值()t x ，与计算代数表达式一样，我们可以计算布尔表达式，例如若给定1()t x =“真”， 2()t x =“真”， 3()t x =“假”。

（这样的一组值称为一个真值分配，那
么3213()x x x x ++式等于“真”。

给定一个布尔表达式，如何存在一个真值分配，使得表达式取值为真，则这个布尔表达式称为可适定的。

注意：不是所有的布尔表达式都是可适定的。

例2：231123123123()()()()()x x x x x x x x x x x x +++++++不是可适定的。

因为第一个句子（clauses ）表明123,,x x x 至少一个取“真”值，由2，3，4句子推出123,,x x x 必须都取“真”值，最后一个句子要求不可能都取“真”值。

因此，布尔表达式是不可适定的。

适定性问题的一般形式为：给定包含12,,
,n x x x 的m 个句子1,,m C C （每个i C 都是
12,,,n x x x 的“或”和“否”的运算），布尔表达式12m C C C 是可适定的吗？
适定性问题是数理逻辑的中心问题，枚举所有可能的真值分配共有2n 种，不是有效算法。

该问题可以描述为一个整数规划问题（0－1规划）。

如果令“真”＝1，“假”＝0，1x x =-，那么要求每个句子C 取值为“真”等价于
(1)1x C
x C
x x ∈∈+-≥∑∑
例2转化为1231
223311231(1)1
(1)1
(1)1
(1)(1)(1)1{0,1}
i x x x x x x x x x x x x x ++≥⎧⎪+-≥⎪⎪+-≥⎪⎨+-≥⎪⎪-+-+-≥⎪∈⎪⎩
布尔表达式是由“与”连接起来的一些句子构成，则这个表示式称为“合取范式”（conjunctive Normal form ），目标函数可以变为123max y y x x x ≤++
3－Sat 问题
3－适定性问题是适定性问题的特例，可以证明适定性多项式变换到了3适定性，设
1
m F C C =，我们要构造一个新的'F 使得每个子句是三个文字，且F 是可适定的当且仅
当'
F 可适定的。

对于F 的每个子句i C 分三种情况讨论：
（1） 若i C 有三个文字，则i C 不变。

（2） 若i C 有三个以上文字，即12 (3)i k C k λλλ=++
+>，我们把i C 换成
2
k -个
子
句12312132431()()()
()
k k k x x x x x x λλλλλλ--++++++++其
中
123,,
,k x x x -是新变量。

（3） 若i C λ=我们用y z λ++代替i C ，若'i C λλ=+，则用'y λλ++代替
i C ，然后我们给公式添加上一些子句
()()()()()()()z z z y y y y αβαβαβαβαβαβαβ++++++++++++++其中,,,y z αβ都是新变量，添加部分迫使,z y 在任何适应'F 的真值分配中都是假的，从而'
,λλλ+分别等价于它们的代替部分。

注意：以上转换适多项式转换，因为一个句子的文字个数至多为变量的总数n 个，所以k n ≤，m 个子句。

1、工作基础
在网络优化方面完成了一系列课题,具体总结如下:
(1) Optimal Traffic Counting Location Problem in Road Networks （与香港科技大学交通研究所合作项目, 2002-2004, 负责人: 杨超, 己完成）。

(2) 网络系统最优调整策略问题的研究（教育部优秀青年教师资助计划项目, 2001-2003, 负责人: 杨超, 己完成）。

(3) A Further Study on Inverse Optimization Problems （香港城市大学合作项目, 2000-2001, 负责人: 杨超, 已完成 ）。

(4) 农产品物流配送模式研究（教育部新世纪优秀人才支持计划项目, 2007-2009, 负责人: 杨超, 项目进行中）。

(5) 网络系统的多阶段容量扩张问题的研究（国家自然科学基金项目, 70071011，2001-2003, 负责人: 杨超, 已完成, 结题评为 “优”）。

(6) 网络系统工作站选址的两级优化模型研究（国家自然科学基金项目，70271027，2003-2005, 负责人: 杨超, 已完成, 结题评为 “良” ）。

(7) 网络扩张的成本效益均衡研究（国家自然科学基金项目，70471042, 2005－2007，负责人: 杨超, 已结题）。

（8）基于用户需求多元化的网络服务设施选址两级决策模型研究(国家自然科学基金项
目, 2008年新批, 负责人: 杨超)
(9) 鲜活农产品现代物流配送技术的研究与示范 (2005.7-2007.5, 河南省重大科技攻关计划项目, 负责人: 杨超, 已完成) 。

(10) 郑东新区道路交通网络优化投资方案研究 (2005, 负责人: 杨超, 已完成) 。

(11)巩义市交通网络布局及道路优化方案研究（2004，负责人: 杨超, 已完成）。

(12)武汉钢铁集团进口铁矿石物流系统优化研究（2005-2006，负责人: 杨超, 已完成）。

(13)河南高速公路网络优化投资方案(2006, 负责人: 杨超, 已完成) 。

2 主要论文
1) Yang C.,and Zhang J., Inverse Maximum Capacity Problem, OR.Spektrum,1998(20):97-100。

(SCI源刊)
2）Zhang J., Yang C. and Lin, Y., A Class of Bottleneck Expansion Problems, Computer & Operation Research, 2001(28): 505-519 。

(SCI源刊)
3) Yang C., and Zhang J., Two General Methods for Inverse Problems, Applied Mathematics
Letter, 1999( 12 )No 2 : 69-72 。

(SCI源刊)
4) Yang C., and Zhang J., A Constrained Capacity Expansion Problem on Network,
International Journal of Computer and Mathematics, 1998(70), No.2: 19-33。

(SCI源刊) 5) Yang C., and Chen X., An Inverse Maximum Capacity Path Problem with Lower bound
Constraints, Acta Mathematica Scientia. 2002(22): 207-212。

(SCI源刊)
6) Yang C., Zhang J and Ma, Z., Inverse Maximum Flow and Minimum Cut Problem,
Optimization, 1997(40): 147-170。

(SCI源刊)
7) Zhang J, Ma, Z., and Yang C., A Column Generation Method for Inverse Shortest Path
Problem, Mathematical Method of Operation Research, 1995(41): 347-358。

(SCI源刊) 8) Yang C., and Liu J., A Capacity Expansion Problem with Budget Constraint and
Bottleneck Limitation, Acta Mathematica Scientia 2001( 21) : 428-432。

(SCI源刊)
9) Yang H., Yang C and Gan L., Model and Algorithm for the Screen Line-Based
Traffic-Counting Location Problem, Computer and Operation Research, 2006(33), 836-858。

(SCI源刊)
10) Yang C., Hao C. and Zhang J., On the Optimum Capacity of Capacity Expansion Problem,
Mathematical Method of Operation Research, 2007 (66), 225-233。

(SCI源刊)
11) Yang C., and Zhang J, On the Bottleneck Capacity Expansion in Network, Acta Mathematica
Scientia 2006B (2), 202-208 。

(SCI源刊)
12）He B, Yang C. and Ren M. A Study on Decision Model of Bottleneck Capacity Expansion with Fuzzy Demand, Lecture Notes in Computer Science, Neural Information Processing, PT 3 Proceedings 4234 : 1055-1062, 2006。

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13)He B, Yang C, and Zhang H. A Fuzzy Multi-objective Programming for Optimization of
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14) He B, Yang C, and Ren M.A Fuzzy Multi-objective Programming for Optimization of
Reverse Logistics for Solid Waste through Genetic Algorithms. Proceedings of FSKD’2007.The 4th international conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery. V ol 3, 416-420.
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16) Yang J., and Yang C., Model and Algorithm for the pq-FIP with Two Kind of Facilities,
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18) Yang J., and Yang C., The Retail Stroes’Competitive Location Proble m with Retail Regional
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（EI，ISTP收录）
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24) 翁克瑞, 杨超. 多分配枢纽站最大覆盖选址问题, 工业工程与管理, 2007 (1) , 40-44。

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多分配枢纽站集覆盖问题及分散搜索算法实现, 系统工程,
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26) 何波, 杨超，张华. 固体废弃物逆向物流网络优化设计, 系统工程，2006(8)，38-42。

27)何波，杨超，张华废弃物回收的多层逆向物流网络优化设计问题研究. 中国管理科学，
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28)何波，杨超，任鸣鸣. 废弃物处理站选址问题及多目标演化算法求解.系统工程理论与
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