高二数学 空间向量与立体几何练习

高二数学 空间向量与立体几何练习
班别_______学号_____ 某某__________
一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.下列各组向量中不平行的是（）
(A))4,4,2(),2,2,1(--=-=b a (B))0,0,3(),0,0,1(-==d c
(C))0,0,0(),0,3,2(==f e (D))40,24,16(),5,3,2(=-=h g
2.已知向量(0,2,1),(1,1,2),a b a b ==--则与的夹角为（ ）
(A)0°(B)45°(C)90°(D)180°
3.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是(,,)101a =，(,,)011b =,那么这条斜线与平面所成的角是() (A )90°(B )60°(C )45°(D)30°
4.在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，那么下列说法正确．．的是（） (A)点P 关于x 轴对称的点的坐标是(),,x y z - (B)点P 关于yoz 平面对称的点的坐标是(),,x y z -- (C)点P 关于y 轴对称的点的坐标是(),,x y z - (D)点P 关于原点对称的点的坐标是(),,x y z ---
5.已知点()1,3,4P --，且该点在三个坐标平面yoz 平面，zox 平面，xoy 平面上的射影的坐标依次为()111,,x y z ，()222,,x y z 和()333,,x y z ，则（）
(A)22212
30x y z ++=(B)2222310x y z ++= (C)222
3120x y z ++=(D)以上结论都不对 6.已知,a b 是空间二向量，若||3,||2,||7,a b a b a b ==-=则与的夹角为( )
(A )30°(B )45°(C )60°(D )90°
7.已知△ABC 的三个顶点为A(3,3,2) , B(4,－3,7) , C(0,5,1) , 则BC 边上的中线长为( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
8.已知(3,2,3)a =--,(1,1,1)b x =--，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值X 围是()
(A )(－2,+∞)(B )(－2,53)∪(53,+∞)(C )(－∞,-2)(D)(5
3
,+∞)
9.空间四边形OABC 中,OB OC =,3
AOB AOC π
∠=∠=, 则cos <,OA BC >的值是()
1111A B C D -中，M ，N 分别为棱1AA 和1BB 之中点，则
1sin ,CM D N 的值为() (A )91 (B )459(C )592(D)3
2
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 11.若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a
，则(23)(2)a b a b -⋅+=__________________。

12.已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD ＝xSA ySB zSC ++， 则x ＋y ＋z ＝．
13.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出下面三个判断：
①22
11111113A A A D A B A B ++=（）（）；②11110AC A B A A ⋅-=（
）；③1A B 与1AD 的夹角为600；其中错误的序号是．(把所有错误的序号都填上)
14.若19(0,2,)8A ，5(1,1,)8B -，5
(2,1,)8
C -是平面α内的三点，设平面α的法向量
(,,)n x y z =，则=z y x ::___________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分12分)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求证:BD 1⊥截面AB 1C.
16.(本小题满分12分)在正四面体P ABC （四个面都是全等的等边三角形的四面体）
中，若E 、F 分别在棱PC 、AB 上，且1
3
CE AF PC AB ==.
⑴设PA a =,PB b =,PC c =,试用a b c 、
、表示PF 和BE ; ⑵求异面直线PF 与BE 所成的角的余弦值.
17．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，
棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点， （1）求;的长BN
（2）求;,cos 11的值><CB BA （3）.:11M C B A ⊥求证（14分）
18(本小题满分14分)
在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD ．
（Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ．
（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
19.(本小题满分14分)已知123e e e 、、是空间的一个单位正交基底, 设12123,,a e e b e e c e =+=-=
⑴证明:a b c 、
、也是空间的一个基底; ⑵若向量p 在基底123e e e 、、下的坐标为(1,2,3),求向量p 在基底a b c 、、下的坐标.
20．（本小题满分12分）
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AD 上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
.
高二数学空间向量现立体几何练习2008.1.6
D C B DA C B B D B
11.212-12.1
2
- 13.③
14.2:3:(4)-
15.法一:综合法证明:连结BD ,1AB
∵1DD ABCD ⊥平面,AC ABCD ⊂平面,∴1DD AC ⊥. 又∵BD AC ⊥,1BD DD D =,∴1AC DD B ⊥平面
11BD DD B ⊂平面∴1BD AC ⊥,同理BD 1⊥AB 1,∵1AC
AB A =∴BD 1⊥面ACB 1.
法二: 坐标法证明：先证明BD 1⊥AC
∵1BD =BC +CD +1
DD ，AC =AB +BC ∴
1BD ·AC =(BC +CD +1DD )·(AB +BC )=BC ·BC +CD ·AB =BC ·BC －
AB ·AB =|BC |2－|AB |2=0
∴BD 1⊥AC ，同理可证BD 1⊥AB 1，∵1AC
AB A =
于是BD 1⊥平面ACB 1
16.⑴PF PA AF =+=13PA AB +=1()3PA PB PA +-=1233PB PA +=21
33
a b +,
BE PE PB =-=23PC PB -=2
3
c b -
⑵不妨设棱长为1,则1a b c ===,1
2
a b b c c a ⋅=⋅=⋅=
∴PF BE ⋅=2121
()()3333
a b c b +⋅-=-,2217()33PF a b =+=,易知BE PF =
3cos ,7PF BE =-∴异面直线PF 与BE 所成的角的余弦值为3
7
17.解：（1）以射线oz oy ox CC ,,,,1分别为建立坐标系，则B （0，1，0）
M
C B A B A M C B A M C M C CB BA CB BA C B A BN N 11111112
2222211111111112220
)2(012
1
)1(21)
2,1,1(),0,21
,21()2,21,21(),2,0,0()3(10
30
2102)1(1221)1(01,cos ),2,1,0(),2,1,1()
0,0,0(),2,1,0()2,0,1()2(3
)01()10()01(||),1,0,1(⊥∴=-⨯+⨯+-⨯=⋅--==∴=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=
>=<∴=-=∴=
-+-+-=
18.证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ． 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，
则A （12，0，0），B （12，1，0），C （-12
，1，0），
D （-1
2，0，0），V （0，0
），
∴1
(0,1,0),(1,0,0),(2
2
AB AD AV ===- 由13
(0,1,0)(,0,)02AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥ 又AB ∩A V=A ∴AB ⊥平面VAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量，
设(1,,)n y
z =是面VDB 的法向量，
则
110(1,,)(,1,0(1,1,20(1,,
)(1,1,0)0x n
VB y z n
z n BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪
⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⋅
--=⎩⎩
∴(0,1,0)(1,cos ,7AB n ⋅-<>=
=-，
又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos
7
19.⑴假设a b c 、
、共面,则存在实数,x y 使a xb yc =+ ∴12123()e e x e e ye +=-+,∴123(1)(1)0x e x e ye -+--+= ∵1230000e e e =++∴10,10,0x x y -=--==这不可能.
∴a b c 、
、不共面∴a b c 、、也是空间的一个基底.
⑵31(,,3)22
-
20.解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）
（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为
（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0），从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，
)1,0,1(1-=AD ，设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅,
0,
01AD n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c
a b a 2，从而)2,1,2(=，所以点E 到平面AD 1C 的距
离为
.3
1
3212|
|1=-+=
=
n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE
由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(0
2,0,01x b a c b D 令b=1, ∴c=2,a =2－x ， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.2
25
)2(22
2
4
cos
211=
+-⇒=
=
x π
∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为4
π.。