对若干有关圆和球的求质心的方法
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2
y sin r 2r Xc
所以半圆可以看成是有这些半圆环的质心组成的 非均匀小棒。
dm 2 r dr Xc
r 0
x dm M
r 0
x 2 r dr M
2r x 4r Xc பைடு நூலகம் 3
方法三
将半圆看左右圆心角很小的扇形拼成，而 圆心角很小的扇形又可以看成三角形，质 心在2r/3处，而所有的止呕心又组成了半 径为2r/3的圆环，圆环的知心就是原半圆 的质心，所以： Xc= 2r/3×2/π=4r/3π
X n X n 1 cos
2 n 1
X 1 X n cos cos cos cos n 4 8 16 2 所以可以得到： cos cos cos cos n sin n 4 8 16 2 2 Xn sin n 2 sin 2 Xn 2 n 1 sin n 2
当n趋向无穷时，扇形可看成三角形，Xc=2r/3. 1 1 又有： sin
n 2
2n
所以：
X1 Xn 2 3r 4
sin 2
n 1
sin n 2
θ
r 1 x dm Xc M 0 M ' 2 r 2 2 yx dx X dm sin y sin r
d x
dm 2rx dx r Xc' 2
这样，我们就可以将半球等小城长度为 X/2的 细棒，X处的线密度等于σ
3 Xc 8
接下来我们来解决和圆有关的平面求质 心的问题，同样以半圆为例，用不同的 方法求其质心，用这些方法，我们还可 以解决求任意角的扇形，圆弧，弓形， 圆环一部分的质心等问题
方法一：
将半圆分成一条条的极窄的细条，则有；
dm y
dx 2 y r2 x
2
Xc
r
1 Xc M
x dm
0
dm y 2 dx ( r 2 x 2 ) dx 2 M r 3 3 r 3 2 3 Xc ( r x x ) dx 3 2 r 0 3r 8
方法二
θ
同样，我们可以将半球看成有一层层的薄球壳 叠放而成。然后将薄球壳的质量全部等效到其 质心处，然后将一个个质心看成是连续的密度 不均匀的小棒。 首先，我们来考虑球壳问题：
Xc
1 M
r
x dm
dm 2 r
2
0
dr dm M '
2 r dr 2 3 M r 3 3 Xc 8
2
方法三
我们还可以将半圆看成由一个个小锥体组 成，锥体的中西在 3r/4 处，而锥体的质心 又构成了一个半径为 3r/4 的球壳，其质心 在半径的 ½ 处（刚才已证明）。所以
方法四：
令半圆绕其直径旋转一周，形成一球， 球的体积等于半圆的面积成一支新绕 过的周长，即：
r 4 r 2 Xc 2 3 4r Xc 3
2
2
方法五：
半圆的质心在两四分之一圆的质心连线上，而四分之一圆 的质心在两八分之一圆的质心连线上，以此类推，我们令 二分之一圆的质心到圆心的距离为Xc1,,四分之一圆的质心 到圆心的距离为Xc2,……这样我们从图中可以看出：
对若干有关圆和球的求质心的方 法
制作人：0910264 粟波
有关球的求质心的问题
在这个问题中，我将以半球为例，用 多种方法求质心。从这些方法中我们 还能学到求薄球壳的质心，有一定厚 度的球壳的质心，求被平面截得的物 体的之心等。
方法一
建立如图的直角坐标系，我们可以将半圆看成 是由一层层的薄圆片堆积而成，根据对称性， 我们知道，质心应该在对称轴上，所以我们只 考虑X方向。
r 0
x dm M x 2 r 2 x 2 dx M
2
r 0
r 0
r 2 x 2 dx M
4r 3
方法二：
将半圆看成由一个个半圆环套在一起形成，我们先计算半圆环的质 心： θ
dm
2 dx sin
Xc
θ
r 0 r 0
x dm 2 dx x sin r2 x r
y sin r 2r Xc
所以半圆可以看成是有这些半圆环的质心组成的 非均匀小棒。
dm 2 r dr Xc
r 0
x dm M
r 0
x 2 r dr M
2r x 4r Xc பைடு நூலகம் 3
方法三
将半圆看左右圆心角很小的扇形拼成，而 圆心角很小的扇形又可以看成三角形，质 心在2r/3处，而所有的止呕心又组成了半 径为2r/3的圆环，圆环的知心就是原半圆 的质心，所以： Xc= 2r/3×2/π=4r/3π
X n X n 1 cos
2 n 1
X 1 X n cos cos cos cos n 4 8 16 2 所以可以得到： cos cos cos cos n sin n 4 8 16 2 2 Xn sin n 2 sin 2 Xn 2 n 1 sin n 2
当n趋向无穷时，扇形可看成三角形，Xc=2r/3. 1 1 又有： sin
n 2
2n
所以：
X1 Xn 2 3r 4
sin 2
n 1
sin n 2
θ
r 1 x dm Xc M 0 M ' 2 r 2 2 yx dx X dm sin y sin r
d x
dm 2rx dx r Xc' 2
这样，我们就可以将半球等小城长度为 X/2的 细棒，X处的线密度等于σ
3 Xc 8
接下来我们来解决和圆有关的平面求质 心的问题，同样以半圆为例，用不同的 方法求其质心，用这些方法，我们还可 以解决求任意角的扇形，圆弧，弓形， 圆环一部分的质心等问题
方法一：
将半圆分成一条条的极窄的细条，则有；
dm y
dx 2 y r2 x
2
Xc
r
1 Xc M
x dm
0
dm y 2 dx ( r 2 x 2 ) dx 2 M r 3 3 r 3 2 3 Xc ( r x x ) dx 3 2 r 0 3r 8
方法二
θ
同样，我们可以将半球看成有一层层的薄球壳 叠放而成。然后将薄球壳的质量全部等效到其 质心处，然后将一个个质心看成是连续的密度 不均匀的小棒。 首先，我们来考虑球壳问题：
Xc
1 M
r
x dm
dm 2 r
2
0
dr dm M '
2 r dr 2 3 M r 3 3 Xc 8
2
方法三
我们还可以将半圆看成由一个个小锥体组 成，锥体的中西在 3r/4 处，而锥体的质心 又构成了一个半径为 3r/4 的球壳，其质心 在半径的 ½ 处（刚才已证明）。所以
方法四：
令半圆绕其直径旋转一周，形成一球， 球的体积等于半圆的面积成一支新绕 过的周长，即：
r 4 r 2 Xc 2 3 4r Xc 3
2
2
方法五：
半圆的质心在两四分之一圆的质心连线上，而四分之一圆 的质心在两八分之一圆的质心连线上，以此类推，我们令 二分之一圆的质心到圆心的距离为Xc1,,四分之一圆的质心 到圆心的距离为Xc2,……这样我们从图中可以看出：
对若干有关圆和球的求质心的方 法
制作人：0910264 粟波
有关球的求质心的问题
在这个问题中，我将以半球为例，用 多种方法求质心。从这些方法中我们 还能学到求薄球壳的质心，有一定厚 度的球壳的质心，求被平面截得的物 体的之心等。
方法一
建立如图的直角坐标系，我们可以将半圆看成 是由一层层的薄圆片堆积而成，根据对称性， 我们知道，质心应该在对称轴上，所以我们只 考虑X方向。
r 0
x dm M x 2 r 2 x 2 dx M
2
r 0
r 0
r 2 x 2 dx M
4r 3
方法二：
将半圆看成由一个个半圆环套在一起形成，我们先计算半圆环的质 心： θ
dm
2 dx sin
Xc
θ
r 0 r 0
x dm 2 dx x sin r2 x r