极化恒等式优化向量题解法

即：a-b = ^A（^-\DB^]（平fifflifl形模式）
思考：在图1的三角形力％中（M^BD的中点），此恒等式如何表示呢?
因为AC = 24M, ^a,a-b = \AM\~ -~\DB[（三角形模式）
目标2・1：掌握用极化恒等式求数量积的值
M 1.（2012 年浙江文15）在AABC中,M 是BC 的中虑,AM=3,BC = 1O, H A
ABAC=__ __________ •
解：因为M是BC的中点，由根化恒等式得：产二_L——\
BMC
AB-AC = \AM\1一扌吋=9-]100=・16
【小结】在运用枚化恒等式的三角形模式时，关建在于取第三Bl的中点,找到三角形的中给再写出根化恒等式。

目标检滇
（2012J匕京文13改编）己知正方形4BCD的边长为b 点E是AB边上的动点,贝I反•页的值为・
目标2・2：掌握用极化恒等式求数量积的最值.范围
例2.（口编）己知正三角形内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点
则用•两1勺収值范围是___________ •
解：取力3的中点Q,连结6ZZ因为三角形ABC^ 正三角形，所以0力
三角形的車心，0在切上，且OC = 2OD = 2,所以CD = 3, AB = 2
羽
（也可用正弦定理求AB）
Q由根化恒等式得：
PA ~PB = \PE\2-^\AB\2 =|P/f _3
因力P在同0上，所以当P在点Q处W, irai max=3 当P在力的延长裁与風0的交点处时，IPDImin=l PA •西日一2,6]
【小结】涉及数量枳的范围或最值时,可次利用极化恒等删多变量转变为单变量，再用数形结合等方法*岀单变量的范围、Effl RP可。

本课的主要学习内容是什么? 様化恒等氏：
平模型：
三角形模里:
様化恒等氏在处理与 _______________________ 有关冋題时，显得较有优越性。

猱后检需
1. 在A4BC中，ABAC = 60若AB = 2, BC = £ , D在线段AC上运动，屈也的最小值
为 ________________
2. 已III AB是岡O的頁径,A3长力2,(7是圆0上异干几3的一点,卩是同0所在平面上任覓一瓦呱^PA+PB\PC的最小值为()
A. --
B. --
C. --
D. -1
4 3 2
3. 在AABC 中，AB = 3, AC = 4, ABAC = 60 ,若P是 AABCfiJi 在平面内一点，fl AP = 2, mPBPCmg大値为 _____________________
7
4. 若点O和点F(—2,0)分别是取曲线匚一)，=](“〉o)的中心和左焦点，点p为双曲线右支上任
CT
意一点^OPFP的取值范围是 _______________________ •
5. 在Rt^ABC, AC = BC = 2,已知点P是AABC内一点，呱疋(M+阪的最小
值是 ________________ •
6. 已刘IA、3是单位岡上的两点，O为HI ID,且ZAOB = nO\MN是同O的一条直径，点C在阖内，且满足OC = MA + (\-A)OB(0<A<l), ^CM-CN的取值范国是()
A. |^—— J j
B. [—1,1)
C. ；
D. [—1,0)
7. jEAABCii长等于的，点P在貝外接風上远动，^APPB的取值范围是（）
A.3 3'
■ 、
B.
3 r
C.
1 3'
■ 、
D.
1 r
■ 9 ■2 2 2 2 2 2 2 2
8.在毀角AABC 中，已知B = ^, ^AB-AC\ = 2, ^AB-AC^取16 范围是 ___________________________
蛰彗方形应CD的边长为4.动点F在以戏*为宜径的硯孤/PB匕（如圏所示）.则求冠的取值范用是
【解析】取CD中AE.联饶PE •在APDC内使用极化恒等式得
PC -PD=|PE|2 -|£D|： =|PEp ~^cb[ =|^|' _4 .由图可知，|理卜[2,2^5].故更.PD€[0.16] 例8在41BC中•点瓦F分别是线段AB.AC的中点•点P在直线EF k, ^iBC的面积为2・则PC PB^BC2的最小值是
（2012年江苏省南京ih敢学鬲垮模拟试题）
【分析】如图.取BC的中点Q・在血BC内使用扱化恒等式得
FC -FB =|FD|：-|BD|：=|^D|：--^|SC|2-从fToPC-PB+BC2=|PD|2+^.|BC|\ |JM为A.4BC积
1 ? 9
为2,所以3C的•乂 EF为^IBC的中也线.故APBC的髙为三—从而PD>—?
BC BC BC
阖此PC-PB+BC2>^T+.当且仅当FD丄BC,_BC=#|时等号成立|。

例9如图,在半径为I的扇形中，ZAOB = 6Q\C为弧上的动点，血与0C交于点P,则丽丽的录小值为
【解析】如图.
丽.BF=FOFB = ^［（FO + 了
岡W［阿.阿=岸哥，则矛丽=丽_*［_吉甘故更丽的最小值为-令比实本趣只需要等边三角AOB的条件.外向的例加丸全没用.本题还可以求丽•苏的1R里匹色例10 m放置的边长为1的IE方形朋CD顶点分别在・Y紬. ＞，紬正半轴（舍原点）淆动.则02 OC 的最大值为
A
OBOC<2. I人I而右
取OB的中点D,作DE丄如于点E,根船极化恒等式a h=l［（；4-b）2-（a-i）2］可知. PD，—
丄9易知
4。