数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系

(-1,-3,-5)
(3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________.
(1,0,0)
(4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________.
点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足.
规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0.
O
2
x
3
y
例题讲解
P18-例1. 如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，
z
(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标；
z
(0,3,4)
在Oyz平面内的射影坐标为____________
(2,0,4)
在Oxz平面内的射影坐标为____________
P
(2,3,0)
在Oxy平面内的射影坐标为____________
4
点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足.
作=(如图),
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
2
6
3
A(6,3,2)(x, y Nhomakorabea z)，使=xԦ
Ԧ +yԦ+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐
Ԧ
标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x,
Ԧ
y, z).
以坐标原点O为起点的向量 的坐标和终点A的坐标相同。
=(6,3,2)
序实数对(即它的坐标)表示，在空间直角坐标系中是否
也有类似的表示？
新知2.1：空间点和向量的坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中，i，j，k 为坐标向量，对空间任意一
点 A，对应一个向量 OA ，且点 A 的位置由向量 OA 唯一确定，由空间
向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 OA xi yj zk .
在单位正交基底{i，j，k}下与向量
z
OA 对应的有序实数组（x，y，z），叫
A(x,y,z)
做点 A 在空间直角坐标系中的坐标，
记作 A（x，y，z），其中
x 叫做点 A 的横坐标，y 叫做点 A 的纵坐标，
z 叫做点 A 的竖坐标.
k
i
x
O
j
y
新知2.1：空间点和向量的坐标
在空间直角坐标系 Oxyz 中，给定向量 a，作 OA a （如图）. 由
化”,也就是坐标系的引入,使得几何问题“代数化”,为了
使得空间几何“代数化”,我们引入了坐标及其运算.
探究新知
问题1 类比平面向量直角坐标系，你能猜想如何构
建空间直角坐标系吗？
追问1
平面直角直角坐标系包含哪些要素？
类比到空间直角直角坐标系，它
包含哪些要素？这些要素需要满
足什么条件？
探究新知
坐标系三要素
新知2.2：空间中的特殊点和对称 点
点的位置
x轴上
y轴上
z轴上
xOy平面
xOz平面
yOz平面
点的坐标
(x, 0, 0)
(0, y, 0)
(0, 0, z)
(x, y, 0)
(x, 0, z)
(0, y, z)
已知点A(x , y , z) ，则：
(x , -y , -z)
①点A关于x轴对称的点为A 1 ___________;
(x , -y , z)
⑥点A关于Oxz平面对称的点为A 6 __________;
(-x , y , z)
⑦点A关于Oyz平面对称的点为A 7 __________.
规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。
例题讲解
典例.在空间直角坐标系Oxyz中,
Oy
Oxz
Oxy
(1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直；
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
新知导入
我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中
指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,
欧几里得几何体系的特点是排除了数量关系,对于研究空间
形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什
么好的办法…….”
吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量
(-x , y , -z)
②点A关于y轴对称的点为A 2 ___________;
(-x , -y , z)
③点A关于z轴对称的点为A 3 ___________.
(-x , -y , -z)
④点A关于原点对称的点为A 4 ___________.
(x , y , -z)
⑤点A关于Oxy平面对称的点为A 5 __________;
平面直角坐标系 空间直角坐标系
原点
坐标原点O
坐标轴
互相垂直的两条 三条两两垂直的
坐标轴x轴和y轴 坐标轴
单位长度
单位长度
坐标原点O
单位长度
探究新知
追问2 你能否给出空间直角坐标系的定义呢？
探究新知
平面向量与平面直角坐标系
空间向量与空间直角坐标系
在平面内选取一点O和一个单位正交
在空间选定一点O和一个单位正交基底
基底{Ԧ, Ԧ}，以O为原点，分别以Ԧ, Ԧ的
{Ԧ,Ԧ,}，以点O为原点，分别以Ԧ, Ԧ, 的
方向为x轴、y轴的正方向建立平面直
方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立
角坐标系Oxy.
一个空间直角坐标系Oxyz.
z
k
类比学习
i
x
O
j
y
探究新知
新知1：空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{Ԧ, Ԧ, }，以点O为原点，分别以i, j, k的方
课堂小结
回顾本节课的学习过程，我们是如何得空间点和空
间向量的坐标表示的？
平面直角坐
空间直角坐
标系
标系
空间点和空
间向量的坐
标表示
课堂小结
如何求空间点或者向量的坐标呢？
空间点或向量的坐标
空间向量基本定理
几何直观
THANKS
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=xԦ+yԦ+z.
空间点的坐标：在单位正交基底{Ԧ, Ԧ, }下，=xԦ+yԦ+z，则有
序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作
A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.
空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量 Ԧ ，
示向量，也可以表示点，在表述时注意
区分
探究新知
思考：在空间直角坐标系 Oxyz 中，对空间任意一点 A，或任意一
个向量 OA ，你能借助几何直观确定它们的坐标（x，y，z）吗？
新知2.1：空间点和向量的坐标
向量终点的坐标
A(x,y,z)
一一对应
向量的坐标
OA=(x,y,z)
空间任意一点A对应一个，即点A的位置由唯一确定.
Oxy平面
探究新知
③画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.



135°

45°



④空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，
食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，
则称该坐标系为右手直角坐标系.
P


C
A
B
探究新知
思考
在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有
向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz.
|Ԧ|＝|Ԧ|＝||＝1.
①点O叫做原点，向量Ԧ,Ԧ, 都叫做坐标向量.
Ԧ·Ԧ＝Ԧ·＝Ԧ·＝0
②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.
它们把空间分成8个部分.
Oyz平面
Oxz平面
空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使 a xi yj zk .
有序实数组（x，y，z）叫做 a 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，上
式可简记作 a=（x，y，z）.这样，在空间直角坐标系中，空间中的点
和向量都可以用三个有序实数表示.
注意：(x, y, z)具有双重意义，既可以表
1
1
1
以{ OA， OC， OD′}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O.
3
4
2
(1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标;
(2)写出向量′′，′，′′，′的坐标.
分析：(1)D'(0, 0, 2)C(0, 4, 0) A'(3, 0, 2) B'(3, 4, 2)
(2)′′==(0,4,0)
′=-′=(0,0,-2)
′′==－=(0,4,0)－(3,0,0)=(-3,4,0)
′=+ + ′=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2)
(法1)利用向量的加减及数乘运算，将所求向量尽量用坐标平面内易知坐标
的向量表示出来，从而确定该向量的坐标。