湖北黄冈中学2019高考预测卷-数学(理)

湖北黄冈中学2019高考预测卷-数学（理）
理科数学试卷
【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.复数z 对应的点在第一象限，那么复数1z
对应的点在
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 2.sin sin αβαβ≠≠是的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件 3.等差数列{}
n a 中，258
a a a 、、成等比数列，那么
{}n a 的公差d 满足
A.0d >
B.0d =
C.0d <
D.0d ≠
4.一个几何体的三视图如下图，那么那个几何体的表面积与其外接球的表面积之比为
2π
π
C.π
D.2:π
5.一只蚂蚁在一个边长为6的正方形区域内随机地爬行，那么其 恰在离四个顶点的距离都大于3的地方的概率是 A.14
B.
12π- C.14π-
D.3
2
6.
()()()
112233,,,,,A x y B x y C x y 是函数2x y =图象上的三个不同点，假设
123231x x x ++=,那么23123y y y ++的最小值为
A.2
C.3
D.7.
()
()()()
10
210
012101111x a a x a x a x +=+-+-++-…，那么8
a =
A.180-
B.180
C.45
D.45-
8.方程()f x =22x ax b ++的两个根分别在区间〔0，1〕和〔1，2〕内，那么22
(4)a b +-的取值范围为
A.
B. C.(17,20) D.(
,20)
815
9.)(x f 是R 上的偶函数，假设将)(x f 的图象向右平移一个单位后，那么得到一个奇函数的图象，假设(2)1,(0)(1)(2)(2012)f f f f f =-++++=则 A.0
B.1
C.1-
D.1006.5-
10.如图，P 是双曲线()2
22210,0,0x y a b xy a b
-=>>≠上的动点，12
F F 、是双曲线的焦点，
M 是12F PF ∠的平分线上的一点，且2
0F M MP ∙=.有一同学用以下方法研究OM ：延
长2F M 交1PF 于点N ，可知2P N F ∆为等腰三角形，且M 为2F N 的中点，得
11
2OM NF a ===….类似地：P 是椭圆()222
210,0x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，12F F 、是椭圆的焦点，M 是12F PF ∠的平分线上的一点，且2
0F M MP ∙=.那么OM 的
取值范围是
A.
⎡⎣
B.
⎡ C.
(
D.
5分，共25分.
11.=
.
12.sin 40tan10︒︒=
.
13.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学
首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数基本上前两位同学所报出的数之和；
②假设报出的是3的倍数，那么报该数的同学需拍手一次. 当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为.
14.如图，圆台上底半径为1，下底半径为4，母线18AB =；从AB 的中点M 拉一条绳子
绕圆台侧面转到点A ，那么绳子的最短长度为；
当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为.
〔二〕选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选
的题号序号后的方框用2B 铅笔涂黑。

假如全选，那么按第15题作答结果计分. 15.〔选修4－1：几何证明选讲〕
如图，⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线交于点P ，E 为⊙O 上一点，
AE AC =，DE 交AB 于点F ，且24AB BP ==，那么PF =.
16.〔选修4－4：极坐标与参数方程〕
设曲线C ：1
1
x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩〔α为参数〕，直线l ：
()cos 2sin 4ρθθ+=，那么C
上的点到l 的最大距离是.
【三】解答题〔本大题共6小题，共75分.解承诺写出文字说明、证明过程或
演算步骤.〕
x
17、〔本小题12分〕ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为斜边AB 上靠近顶点A 的三等分点.
〔I 〕设
,CA a CB b ==，求CD ；
〔II
〕假设
1CA CB ==，求CD 在AB 方向上的投影.
18、〔本小题12分〕从高三年级学生中随机抽取100名学生，测得身高情况如下表所示：
〔I 〕请在频率分布表中的①、②位置填上相应的数据，并在所给的坐标系中补全频率
分布直方图，再依照频率分布直方图可能众数的值；
〔II 〕按身高分层抽样，现已抽取20人参加一项活动，其中有3名学生担任迎宾工作.记这3名学生中“身高低于170cm ”的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.
19、〔本小题12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，
. 〔I 〔II 〕，假设E 为PB 的中点，求EC 与平面20、3元，同
预计当每件产品的售
价为x
()
212x -万件.
〔I x 的函数关系式； 〔II 〕当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值
()
Q a .
21、〔本小题13分〕动点
()
,M x y 到定点
()
1,0F -的距离与到y 轴的距离之差为1.
〔I 〕求动点M 的轨迹C 的方程； 〔II 〕过点
()
3,0Q -的直线l 与曲线C 交于A B 、两点，问直线3x =上是否存在点P ，
使得PAB ∆是等边三角形？假设存在，求出所有的点P ；假设不存在，请说明理
由.
22、〔本小题14分〕数列
{}n a 满足112
a =，112n n
a
a +=
-()*n N ∈.
〔I 〕求数列
{}n a 的通项公式；
〔II 〕证明：
122ln
2
n n a a a n ++++<-…；
〔III
〕
证
明
：
P
E
D O
C
B
AO
22
212122312n n a a a n a a a a a a ⎛⎫-+++< ⎪+++⎝⎭
…
湖北省黄冈中学2018届高考理数预测卷答案
1—10ACBBCDBDBD 11.π12.1-13.7
14.
21,6
15.3
17.〔1〕∵3AB AD =即
()
3CB CA CD CA
-=-…………4分
∴32CD CB CA =+故
2133
CD a b
=+…………6分 〔2〕过C 作CE AB ⊥于E ，那么由射影定理得
83AE =∴53
DE =
又因为CD 在AB 方向上的投影为负，故CD 在AB 方向上的投影为53
-
…………12分
18.〔1〕①20②0.350…………2分
补图〔如图〕…………4分 众数172.5…………6分
〔2〕20人中“身高低于170cm ”的有5人，∴ξ的所有可能取值有0,1,2,3，
()31532091
0228C P C ξ===
，
()1251532035
176
C C P C ξ===
，
()21
5153205
238
C C P C ξ===
，
()353201
3114
C P C ξ===
………………10分
E ξ=
…1219.(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面 ∴PD AC ⊥
又∵ABCD 是菱形∴BD AC ⊥ ∴AC ⊥平面PBD ∵DE ⊂平面PBD ∴AC DE ⊥…………6分
〔2〕分别以,,OA OB OE 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设PD t =，那么
(
)()(
)()
1,0,0,,1,0,0,0,0,,0,2t A B C E P t
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
由〔1〕知：平面PBD 的法向量为()
11,0,0n =，令平面PAB 的法向量为
()
2,,n x y z =，
那么依照
220
n AB n AP ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得
x x tz ⎧-+=⎪⎨--+=⎪⎩
∴
23,1,n t ⎛=
⎭
因为二面角A-PB-D 的余弦值为
5，那么1215cos ,5
n n 〈〉=
t
=⇒=………………
9分
∴
(0,P
设EC 与平面PAB 所成的角为θ，∵
(1,0,EC =-，
(
)
2
3,1,1
n =
那么
2sin cos ,525EC n θ=〈〉==
………………12分
20.解：〔1〕分公司一年的利润L 〔万元〕与售价x 的函数关系式为：
()()()
2
312911L x a x x =---≤≤…………4分 〔2〕()()()
'121823L x x a x =-+-.
令
()'0
L x =得
263
x a
=+或12x =〔舍〕…………6分
〔ⅰ〕当
932a ≤<时，269
3
a +<，如今()L x 在[]9,11上单调递减， ()()max 9549L x L a
==-…………9分
〔ⅱ〕当9
5
2
a ≤≤时，
296113a ≤+<，如今()3max 264333a L x L a ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ …………11分
∴当
932a ≤≤时，每件售价为9元，分公司一年的利润L 最大，当9
5
2
a ≤≤时，每件
售价为
263
a +元时，分公司一年的利润L 最大，最大值为 ()3
9549,32943,532a a Q a a a ⎧
-≤<⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪-≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩ (12)
分
21.〔1
1
x =+…………2分
当0x ≥时，0y =；当0x <时，24y x =-…………5分 ∴M 点的轨迹方程为
2
0,04,0
x y x x ≥⎧=⎨
-<⎩…………6分
〔2〕分析可知l 只能与抛物线24y x =-相交.
设l 的方程为3x my =-，代入24y x =-的24120y my +-=…………7分 设A ()11,x y B ()22,x y 那么212124,12,1648y y m y y m +=-=-∆=+
∴
AB =8分
AB 的中点
()
223,2M m m ---由PAB ∆是等边三角形得：
PM AB ⊥
且
PM =……………9分 令点P
()3,n
那么PM
=
……………10分
∴
2
262n m
m m =+⎪=-⎪+⎩，解得
m n =⎧⎨
=⎩
因此存在点P ()3,0使得PAB ∆是等边三角形.……………13分
22〔1〕解：由
1111,22n n
a a a +==
-得
234234,,,34
5a a a ===，猜想：
1
n n a n =
+
下面用数学归纳法证明猜想：
()*
1
n n a n N n =∈+成立.
ⅰ当1n =时
112
a =
，猜想成立； ⅱ假设
()
*n k k N =∈时，猜想成立，即
1
k k a k =
+；那么当1n k =+时， 1111
22
21
k k k a k a k k ++=
==-+-+；从而1n k =+时猜想成立。

综合ⅰ，ⅱ知：猜想成立.即数列的通项公式为
1
n n a n =
+. (2)由于当0x >时，ln(1)x x +<； 因此令
1(1,2,
,)
1
x k n k ==+得
11ln(1)11k k +<++即()1ln 2ln(1)1
k k k +-+<
+，
∴
()111ln 2ln(1)1n
n
k k k k k ==+-+<⎡⎤⎣⎦+∑∑，因此121ln 21
n k n k =+<+∑，
从而
1121ln 121n n
k
k k n n a k ==+⎛⎫->-= ⎪+⎝
⎭∑∑即证：
()122ln
2
n n a a a n +++<-.
(3)由柯西不等式得：
()()
222
2
1212231112
231()()n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+++++++++>+
+⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭…
因此要证
2221212231
2n n a a a n a a a a a a -+++<+++…
即证()
2
12
n n
a a -<++，也确实是需证：
()12
ln 123
1
n n n n -+<++
+
+，
即证：1
11
ln(1)23
1
n n +++<++； 因为函数
()ln(1)1x f x x x =+-+的导函数()()
'2211()111x f x x x x =-=+++当0x >时()'0
f x >因此当0x >时
ln(1)1x x x +>+，取()
1
1,2,3,
,x k n k
==得
11ln 1k k k +>+∴1111ln 1
n n k k k k k ==+>+∑∑，因此111
ln(1)231
n n +++<++.。