浙江大学07-08《线性代数I》期中试卷及答案

浙江大学2007-2008学年《线性代数I 》期中试卷
1．设是集合，是映射。

在Y X ,Y X f →:X 中定义关系R 如下：
)()(2121x f x f Rx x =⇔。

证明R 是X 中的等价关系。

证明：（1）自反性：对于x X ∀∈，显然有()()f x f x =，即xRx 。

（2）对称性：设12x Rx ，其中12,x x X ∈。

显然有21()()f x f x =，即21x Rx 。

（3）传递性：设122,3x Rx x Rx ，其中123,,x x x X ∈。

则有12()()()3f x f x f x ==，即13x Rx 。

所以R 是X 中的等价关系。

2．设映射是由2:f → 3),,(),(y x y x x y x f −+=定义。

（a ） 证明是线性映射。

f （b ） 确定是否(i)单射；(ii)满射；(iii)双射；并给出理由。

f 证明：（a ）对21122(,),(,),x y x y λ∀∈∀∈ ，我们有
112212121122111111((,)(,))(,)(,)(,),((,))(,)(,)f x y x y f x x y y f x y f x y f x y f x y f x y λλλλ+=++==+===
（其中省略号按题设中的定义即可得） 所以是线性映射。

f （b ）(i)因为，所以，即
是单射；
(,)(,,)0f x y x x y x y x y =+−=⇔==0ker {(0,0)}f =f (ii)因为，所以，所以不是满射； 2dim 2= 3dim Im 23dim f ≤<= f (iii)因为不是满射，所以不是双射。

f f 3．求中向量关于有序基3ℜ)1,1,1()}2,0,1(),0,1,1(),1,1,0({321==−=v v v 的坐标。

解：设其坐标为123(,,)x x x ，则有123(1,1,1)(0,1,1)(1,1,0)(1,0,2)x x x =−++，即
有方程组，解之得23121
31121
x x x x x x +=⎧⎪
+=⎨⎪−+=⎩1231,0,1x x x ===。

所以向量关于有序
基)1,1,1()}2,0,1(),0,1,1(),1,1,0({321==−=v v v 的坐标为(1。

,0,1)4．配以标准欧氏内积。

过原点的平面3 π的方程是0=++z y x 。

试给出在上以3 π为镜面的镜面映射的表达式。

解：略。

（自己参照课本写出答案）
5．设为全部次数的实多项式。

将多项式映到他的导数1011011[]{|,,,}n n n x a a x a x a a a −−=+++∈ …n − >n <1:[][],0n n D x x n −→ f f ′。

（a ）给出[]n x 的一组基和他的维数。

（b ）确定的核和他的维数。

D D ker （c ）确定的像D D Im 和他的维数。

（d ）用上面三部分验证维数公式。

解：（a ）易知211,,,,n x x x − 是[]n x 的一组基，所以dim []n x n = 。

（b ）设1011()ker n n f x a a x a x D −−=+++∈ ，即
21210()2(1)n n Df x a a x n a x −−==+++− 。

所以，即121()ker 0n f x D a a a −∈⇔==== 0()f x a =。

所以ker {}D a a =∈ ，且dim ker 1D =。

（c ）对1011()[]n n n f x a a x a x x −−∀=+++∈ ，有
22121()2(1)(1,,,)n n n Df x a a x n a x L x x −−−=+++−∈ 。

又因为212()1,,,21n n x x D x D x D x n −−⎛⎞⎛⎞===⎜⎟⎜⎟
−⎝⎠⎝⎠
， 所以且dim 2Im (1,,,)n D L x x −= Im 1D n =−。

（d ）由上面结果，显然有dim ker dim Im 1(1)dim []n D D n n x +=+−== 。

6． 设，W 是由生成的子空间。

试用
Schmidt 正交化过程的方法求W 的一组单位正交基。

4)}3,1,3,3(),1,1,1,5(),1,1,1,1{(ℜ⊂−−−−−=S S 解：略。

7．设B 是有限维内积空间V 的一组基，V v u ∈,。

（a ） 若B b ∈∀，有0),(=b u ，证明0=u 。

（b ） 若B b ∈∀，有),(),(b v b u =，证明v u =。

证明：（a ）设121122{,,,},n n B u n βββλβλβλ==++…β+ 。

由题设可得对
i B β∀∈，有(,)0i u β=，所以 11221122(,)(,)(,)(,)(,)0n n n n u u u u u u λβλβλβλβλβλβ=+++=+++ =0，
所以。

0=u （b ）若，有，则B b ∈∀),(),(b v b u =(,)u v b −=。

由（a ）可得，即。

0u v −=v u =8．设V 是由全部收敛的实数列构成的集合，即
11{{}|,{}n n n n n V a a a ∞∞
===∈ 收敛}，
试给出V 一个实线性空间的结构。

V 是有限维的实线性空间吗？
解：“给出V 一个实线性空间的结构”意指给出V 上的加法和关于实数域的数乘运算。

自己给出答案！
V 不是有限维的线性空间，这是因为：令
()0,,0,1,0,,1,2,3,n n α==
可证明（请自己给出）对于\{0}n ∀∉ ，有12,,,n αα α线性无关。

9．试证明或举反例否定下面命题。

（a ）若和S T 是线性空间V 的两组线性无关的子集，则也是。

T S ∩解：对。

因为是的一个子向量组，而线性无关组的任一个子向量组线性无关。

T S ∩S （b ）一个线性空间有且仅有一组基。

解：错。

如（自己给出的两组基）。

2 （c ）内积空间的任意两个向量恒满足。

v u ,0),(≥v u 解：错。

比如，显然2(1,0),(1,0)u v ==−∈ (,)10u v =−<。

（d ）若∞<<W V dim dim ，则不存在从V 到W 上的满线性映射。

解：对。

这是因为：设12,,,n V ααα∈ 是V 的一组基，则(,)f L V W ∀∈，有
12Im ((),(),,())n f L f f f ααα= ，所以dim Im dim dim f n V W ≤=<，即f 不是满射。