北京四中高考数学总复习 三角函数的图象和性质(提高)知识梳理教案

弦、余弦的图象和性质
【考纲要求】
1、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图；熟悉基本三角函数的图象、定义域、值域、奇偶性、单调性及其最值；理解周期函数和最小正周期的意义.
2、理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π的性质（如单调性、最大和最小值、与x 轴交点等）,理解正切函数在区间(,)22
ππ
-的单
调性.
【知识网络】
【考点梳理】 考点一、“五点法”作图
在确定正弦函数sin y x =在[0,2]π上的图象形状时，最其关键作用的五个点是(0,0)，(,1)2
π
，(,0)π，3(
,-1)2
π
，a (2,0)π 考点二、三角函数的图象和性质
应用
三角函数的图象与性质
正弦函数的图象与性质 余弦函数的 图象与性质
正切函数的 图象与性质
值 域
[1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞
图象
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单
调
性
单调增区间: [2,2]22
k k π
π
ππ-
+(
k Z ∈) 单调减区间:
3[2,2]
22k k π
π
ππ++
k Z ∈)
单调增区间:
[2,2]
k k πππ-(
k Z ∈)
单调减区间: (k Z ∈) [2,2]
k k πππ+(
k Z ∈)
单调增区间：
(,)
22
k k π
π
ππ-
+(
k Z ∈)
周期性
2T π=
2T π= T π=
对称性
对
称
中
心
:
(,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2
x k π
π=+
，
k Z ∈
对称中
心:(,0)2
k π
π+
,k Z ∈
对称轴: x k π=,
k Z ∈
对称中
心:(
,0)2
k π
,k Z ∈ 对称轴：无
最 值
2,2
x k k z π
π=+
∈时，
max 1y =； 32,2
x k k z π
π=+∈时，
min 1y =-
2,x k k z π=∈时，
max 1y =；
2,x k k z
ππ=+∈时，min 1y =-
无
要点诠释：
①三角函数性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大值和最小值、对称性等，要结合图象记忆性质，反过来，再利用性质巩固图象．三角函数的性质的讨论仍要遵循定义域优先的原则，研究函数的奇偶性、单调性及周期性都要考虑函数的定义域．
②研究三角函数的图象和性质，应重视从数和形两个角度认识，注意用数形结合的思想方法去分析问题、解决问题. 考点三、周期
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个不为0的常数T ,使得当
x 取定义域内的每一个值时，都有(+)=()f x T f x ，那么函数()f x 就叫做
周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期（函数的周期一般指最小正周期）. 要点诠释：
应掌握一些简单函数的周期：
①函数sin()y A x ωϕ=+或cos()y A x ωϕ=+的周期2T π
ω
=；
②函数tan()y A x ωϕ=+的周期T πω
=；
③函数sin y x =的周期=T π； ④函数tan y x =的周期=T π. 【典型例题】
类型一、定义域及值域 例1. 求下列函数的值域： （
1
）
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+=32,6,cos sin 3ππx x x y （2）
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+-=43,3,1sin sin 2ππx x x y
（3） 1sin cos y x x =+ （4
）cos y x x =+
2([,])63
x ππ∈
【思路点拨】（1）（4）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求出函数的最大值及最小值，注意自变量的取值范围. （2）根据角的范围得出sinx 的范围，运用换元配方后求出y 的最大值及最小值，进而得出函数的值域．（3）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；
【解析】（1）∵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=32,6,6sin 2cos sin 3πππx x x x y ，
∴5,636x π
ππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，
当56
6x π
π+
=
，即32π=x 时，1=y ；当62
x ππ+=，即3π=x 时，2=y ，
∴[]2,1∈y .
（2）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=43,3,4321sin 1sin sin 2
2ππx x x x y ，
令：⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈=43,3,sin ππx x t ，则⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈1,22t
∵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈+⎪⎭⎫
⎝⎛-=1,22,43212
t t y 为增函数；
∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈1,223y . （3）根据1
1sin cos sin 222x x x =≤可知1322
y ≤≤，
故函数的值域为132
2y y ⎧⎫
≤≤⎨⎬⎩⎭
.
（4）
cos 2sin()6
y x x x π
==+，
由
26
3
x π
π
≤≤
知
53
6
6
x π
π
π≤
+≤
，由正弦函数的单调性可知
1sin()126
x π
≤+≤， 故函数的值域为{}12y y ≤≤.
【总结升华】①形如sin +y a x b =或cos +y a x b =，可根据sin ,cos x x 的有界性来求最值；②形如2sin +sin +y a x b x c =或2cos +cos +y a x b x c =可看成关于sin ,cos x x 的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中sin 1,cos 1x x ≤≤；③形如sin +cos y a x b x =可化为
(+)y x ϕ=（其中tan =b
a
ϕ）的形式来确定最值.
举一反三：
【变式1】已知4
4
x ππ-≤≤且0x ≠，求函数tan()2
y x π
=-的值域.
【解析】4
4
x ππ-≤≤,且0x ≠，34
2
4
x ππ
π
≤-≤
且2
2
x ππ-≠
，
由正切函数的单调性可知1y ≥或1y ≤-， 故函数的值域为{}11y y y ≥≤-或.
【变式2】已知()f x 的定义域为[0,1]，求(cos )f x 的定义域. 【解析】∵()f x 中[0,1]x ∈，∴(cos )f x 中cos [0,1]x ∈， 解得ππ22,2
2
k x k k Z ππ-≤≤+∈，
∴(cos )f x 的定义域为：ππ{|22,}2
2
x k x k k Z ππ-≤≤+∈.
【变式3】求函数()0,cos ≠+=a b x a y 的最大值及相应的x 的值．
【解析】若0>a ，当πk x 2=，()Z k ∈时，函数有最大值
b a y +=；
若0<a ，当ππ+=k x 2，()Z k ∈时，函数有最大值
b a y +-=．
【变式4】函数x x
y cos 2cos 2-+=
的值域是 ．
【解析】∵x
x
y cos 2cos 2-+=，∴
1cos 22y x y +=-（）， 显然1y =-，∴22cos 1y x y -=
+，由cos 1x ≤解得1
33
y ≤≤，
故值域是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡3,31
． 【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862 例3】 例2.已知函数π()cos()4
f x x =-.
（Ⅰ）若()10
f α=
，求sin 2α的值；
（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝
⎭
，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最
大值和最小值.
【思路点拨】（1）注意到所求角和已知角的关系，用二倍角公式来处理；（2）先求出()g x 的解析式，再运用求最值的方法解决.
【解析】（Ⅰ）∵π
()cos()4
10
f αα=-=
，
∴
2224
sin 2cos(2)cos[2()]2cos ()12()12441025πππαααα=-=-=--=-=
（II ）22()cos()cos()(
)()4
4
22
g x x x x x ππ
=-⋅+=-
∵ππ
,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，
∴π2π2,
33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
∴当20,x =即0x =时，max 1
()2g x = 当22,3x π=
即,3
x π
=时，min 1()4g x =-
【总结升华】先通过倍角公式和两角的和、差公式进行化简，利用余弦函数的单调性可知函数的最值. 举一反三：
【变式1】已知函数cos3y a b x =-（0b >）的最大值为3
2
，最小值为12
-，求函数4sin 3y a bx =- 的最大值和最小值.
【解析】cos3y a b x =-（0b >） 当cos31x =-时，max 32
y a b =+=， ①
当cos31x =时，min 12
y a b =-=-， ②
由①②得121a b ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩
， ∴14sin 32sin 32y x x =-⨯⋅=-，
所以，当sin31x =-时，2max y =，当sin31x =时，min 2y =-． 【变式2】 已知函数22sin cos 2y a x a x a b =-++的定义域是
[0,]2
π
，值域是[5,1]-，求常数,a b ．
【解析】22sin cos 2y a x a x a b =-++
∵[0,]2
x π
∈，∴2[0,]x π∈， ∴1cos21x -≤≤，
若0a >，则当cos21x =-时函数取得最大值1，当cos21x =时函数取得最小值5-，
∴41
5a b b +=⎧⎨=-⎩，解得：325
a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 若0a <时，则当cos21x =时函数取得最大值1，当cos21x =-时函数取得最小值5-，
∴145b a b =⎧⎨+=-⎩，解得：321a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以，325a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或321
a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩．
类型二、奇偶性、周期性、单调性 例3.判断函数1+sin cos (=
1+cos +sin x x
f x x x
-）在下列区间上的奇偶性：
（1）(,)22
x ππ
∈- （2）[,]22
x ππ
∈-
【思路点拨】不能直接观察函数的定义域的，要考虑对函数解析式进行等价变形，化简.
【解析】（1）∵1+sin cos (1+sin cos )(1+cos -sin )
(=1+cos +sin (1+cos +sin )(1+cos -sin )
x x x x x x f x x x x x x x --=）
∴sin()sin ()()1cos()1cos x x f x f x x x
--=
=-=-+-+，
∴此函数在(,)22ππ-内是奇函数.
（2）由于2
x π
=时，()1f x =，而()f x -无意义，因此函数在
[,]22
ππ
-
上不具有奇偶性.
【总结升华】先确定函数的定义域，然后根据函数的定义判断函数的奇偶性. 奇(偶)函数的定义域必须对称于原点，这是奇(偶)函数必须满足的条件，解题时不可忽视．
举一反三：
【变式1】下列函数中是偶函数的是( )
A ．y ＝sin2x
B ．y ＝－sin x
C ．y ＝sin|x |
D ．y ＝sin x ＋1
【答案】C
【解析】 A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，
∴y ＝sin|x |是偶函数．
【变式2】下列函数中是奇函数的为 【答案】D
【变式3】求下列函数的周期： （1）
2
2cos sin 22
y x x =-； （2）
sin cos y x x
=+； （3）
22(sin cos )2cos y x x x +=+
【解析】（1）2
2=cos cos sin 22
x y x x
=-， ∴周期为2T π=； （2）
cos sin )4
y x x x π
=+=+ ，∴周期为2π；
（3）
2sin 2cos 22)4
y x x x π
=++=++，∴周期为π.
【变式4】函数sin 2()1
cos x f x x
=-的最小正周期是
【答案】π
例4．求函数2=sin -2sin +2y x x 的单调区间。

【思路点拨】运用换元法，注意定义域，转化为求熟悉的二次函数单调区间的问题.
【解析】令=sin X x ，则22=22=(1)1y X X X -+-+， 且1X ≤ 显然函数2=(1)1y X -+在1X ≤始终是单调递减的，
所以[2-,2+]2
2
x k k ππ
ππ∈时，=sin X x 单调递增，2=sin -2sin +2y x x 单
调递减；
3[2+
,2+
]2
2
x k k π
π
ππ∈时，=sin X x 单调递减，2=sin -2sin +2y x x 单调递增；
故2=sin -2sin +2y x x 单调递减区间为[2-,2+],2
2
k k k Z ππ
ππ∈；单调递
增区间为3[2+,2+
],2
2
k k k Z π
π
ππ∈. 【总结升华】复合三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出来的.
举一反三：
【变式】求函数=-sin (+)4
y x π
的单调区间.
【解析】令=+4
X x π，则=-sin (+)= -sin 4
y x X π
，
函数= -sin y X 的周期为π，且图象如图所示：
显然，当+,2
k X k k Z π
ππ≤≤∈时，= -sin y X 单调递减；
当+< +,2
k X k k Z π
πππ≤∈时，= -sin y X 单调递增；
∴当++,4
2
k x k k Z ππππ≤≤∈时，=-sin (+)4
y x π
单调递减；
当+<++,2
4
k x k k Z πππππ≤∈时，=-sin (+)4
y x π
单调递增；
故=-sin (+)4
y x π的单调递减区间为[-,+],44
k k k Z ππ
ππ∈；单调递增
区间为3(+,+
],4
4
k k k Z π
π
ππ∈. 类型三、综合
例5. 已知函数()sin()(,0,02
f x A x x R π
ωϕωω=+∈><<的部分图像如图
5所示.
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数()()()12
12
g x f x f x ππ
=--+
的单调递增区间.
【思路点拨】（1）结合图形求得周期1152(
),1212
T ππ
π=-=从而求得22T πω=
=.再利用特殊点5(,0)12
π
，
0,1（）在图像上分别求出,A ϕ，从而求出f （x ）的解析式；（2）运用第一问结论和三角恒等变换化简g （x ），得出单调递增区间.
【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(
),21212T T
πππ
πω=-=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππ
ϕϕ⨯+=+=即.
又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6
π
ϕ.
又点0,1（）
在函数图像上，所以sin 1,26
A A π
==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6
f x x π
=+
（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
由222,2
3
2
k x k πππππ-≤-≤+得5,.12
12
k x k k z π
π
ππ-
≤≤+
∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦
【总结升华】考查由sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定解析式，关键在于确定ω及ϕ，考查正弦函数的单调性，同时考查我们的计算能力. 举一反三：
【高清课堂：正余弦函数的图象和性质397862例4】
【变式1】已知函数 (sin -cos )sin2()sin x x x
f x x
=
，
（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.
【解析】（1）由题知sin 0x ≠，即x k π≠， 所以()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，
2=
=2
T π
π∴. （2）由-+22-+22
4
2
k x k πππππ≤≤，即3-++8
8
k x k π
π
ππ≤≤
，()f x 单
调递增，
故()f x 的单调递增区间区间为3[-,+
],8
8
k k k Z π
π
ππ∈. 【变式2】设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝6
π处取得最大值2，其图象
与x 轴的相邻两个交点的距离为2
π． （1）求f (x )的解析式；
（2）求函数g (x )＝)
6
π(1
sin cos 624+--x f x x 的值域．
【解析】（1）由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πx
ω
=，解
得ω＝2．
因f (x )在6
π=x 处取得最大值2，所以A ＝2，从而
1)6
π
2sin(=+⨯
ϕ， 所以Z ∈+=+k k π,22π3πϕ．又由－π＜φ≤π得6
π=
ϕ．
故f (x )的解析式为f (x ))6
π
2sin(2+=x ．
（2）g (x )＝)2
π2sin(21sin cos 624+--x x x x x x 2cos 22
cos cos 624-+= 因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2
x ≠2
1
，故g (x )的值域为
⎥⎦
⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,4747,1．。