四川省内江市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

内江2024—2025学年（上）高2026届第一次月考
数学试题（答案在最后）
考试时间：120分钟满分：150分
第I 卷选择题（满分58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.空间向量()()1,1,1,1,3,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =（）
A.1
B.2-
C.0
D.2
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量垂直的坐标公式列式计算即可.
【详解】因为向量()()1,1,1,1,3,a b x =-= ，且a b ⊥ ，
所以()1113120a b x x ⋅=⨯+-⨯+⨯=-= ，解得2x =.
故选：D.
2.已知正方形ABCD PA ⊥平面,2ABCD PA =，则PC 与平面ABCD 所成角是（
）
A.30o
B.45
C.60o
D.90
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面角的知识求得正确答案.
【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，
所以PA AC ⊥，故PCA ∠是PC 与平面ABCD 所成角，
由于正方形ABCD ，所以2AC PA ===，
所以45PCA ∠=︒.
故选：B
3.已知圆A 的方程为224210x y x y +--+=，圆B 的方程为22210260x y x y m ++-+-=，若圆A 与圆B 外切，则m 的值为（
）A.1
B.9
C.10
D.16【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的圆心和半径，再由两圆外切列方程可求得结果.
【详解】由224210x y x y +--+=，得22(2)(1)4x y -+-=，
所以圆心(2,1)A ，半径12r =，
由22210260x y x y m ++-+-=，得22(1)(5)(0)x y m m ++-=>，
所以圆心(1,5)B -，半径2r m =
，因为圆A 与圆B 外切，所以12r r AB +=，即222(12)(51)5m +=
--+-，3m =，得9m =，
故选：B
4.在斜三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 中，2,AC AB AC AB ==⊥，且12CC =，11π3A AB A AC ∠=∠=，则线段1BC 的长度是（）
A.23
B.3
C.3
D.4
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据几何图形，利用基底向量表示1BC ，再根据数量积公式，求模长.
【详解】111BC BC BB AC AB AA =+=-+ ，
()()
22222111112BC AC AB AA AC AB AA AC AA AC AB AB AA =-+=+++⋅-⋅-⋅ ,114442*********⎛⎫=+++⨯⨯--⨯⨯= ⎪⎝
⎭,
所以1BC =故选：A
5.已知直线的方程为()sin 20,R x y αα-+=∈，则该直线的倾斜角θ的取值范围是（
）A.ππ3π0,,424⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎣⎦⎝⎦ B.3π0,4⎡⎤⎢⎣⎦C.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D
【解析】
【分析】由题意得tan sin (R)θαα=∈，进一步得tan [1,1]θ∈-，从而可求出倾斜角θ的取值范围.
【详解】因为直线的方程为()sin 20,R x y αα-+=∈，直线的倾斜角为θ，
所以tan sin (R)θαα=∈，
因为当R α∈时，sin [1,1]α∈-，
所以tan [1,1]θ∈-，
因为[0,π)θ∈，所以π3π0,
,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
，故选：D
6.已知圆221:(3)(5)1C x y ++-=，圆222:(6)(3)4C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 的动点，P 为直线60x y --=上的动点，则PM PN +的最小值为（）
A .6 B.10 C.13 D.16
【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的圆心和半径，数形结合得到PM PN +的最小值为1212PC PC r r +--的最小值，求出()16,3C 关于直线60x y --=的对称点的坐标，从而得到12PC PC +的最小值，进而得到PM PN +的最小值.
【详解】221:(3)(5)1C x y ++-=的圆心为()13,5C -，半径11r =，
222:(6)(3)4C x y -+-=的圆心为()26,3C ，半径22r =，如图所示，PM PN +的最小值为1212123PC PC r r PC PC +--=+-的最小值，
设点()26,3C 关于直线60x y --=的对称点为(),A m n ，则6360223116m n n m ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩
，解得90m n =⎧⎨=⎩，故 ，连接1AC ，则1AC 即为12PC PC +的最小值，故12PC PC +
13=，
故
PM PN +的最小值为13310-=.
故选：B
7.
在Rt ABC △中，AB BC D ==为AC 的中点.将ABD △沿BD 进行旋转，得到三棱锥C ABD -，当二面角A BD C --为
2π3时，C ABD -的外接球的表面积为（）A.16π
B.40π3
C.20π
D.32π3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得该三棱锥的面ACD ，是边长为1的正三角形，BD ⊥平面ACD ，将三棱锥B ACD -补形成直三棱柱，三棱锥的外接球球心就是直三棱柱的外接球球心，求出其半径可得解.
【详解】由题意CD BD ⊥，AD BD ⊥
，二面角A BD C --的平面角是ADC ∠，
2π3
ADC ∴∠=，将ABD △沿BD 进行旋转，得到三棱锥C ABD -，所以2AD DC BD ===，由余弦定理可得：222
12cos12044222122AC AD DC AD DC ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭，因为CD BD ⊥，AD BD ⊥，CD BD D =I ，,CD BD ⊂平面ACD ，BD ⊥平面ACD ，
将三棱锥B ACD -补形成直三棱柱，
三棱锥的外接球球心就是直三棱柱的外接球球心，
取ACD 外接圆的圆心E ，BGH V 外接圆的圆心F ，
根据对称性知三棱柱的外接球球心O 是EF 的中点，
2BD = ，1EO ∴=，
点E 是ACD
外心，22sin120AC EC ∴==︒，在Rt OEC △
中，
OC =
==
即R =三棱锥C ABD -的外接球的表面积为24π4π520πS
R ==⨯=.
故选：C .
8.已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为1，点1C 关于平面ABCD 对称的点为2C ，矩形11AA CC 内（包括边界）的点P 满足12PC PC ⊥，记直线AP 与平面ABCD 所成线面角为θ.当θ最大时，过直线AP 做平面α平行于直线BD ，则此时平面α截正方体所形成图形的周长为（）
A.232
++ B.23+C.22232
D.32
-【答案】C
【解析】【分析】作出图形，分析可知，点P 在矩形11AA CC 内的轨迹是以点C 为圆心，半径为1的圆在矩形11AA C C 内的圆弧，当AP 与圆弧相切于点P 时，QAC ∠最大，即θ取最大值，然后作出截面，计算出各边边长，相加可得出截面的周长.【详解】如下图所示：
因为矩形11AA CC 内（包括边界）的点P 满足12PC PC ⊥，
则点P 在矩形11AA CC 内的轨迹是以点C 为圆心，半径为1的圆在矩形11AA C C 内的圆弧，
设直线AP 交11A C 于点Q ，过点Q 作1//QH AA ，交AC 于点H ，
因为1AA ⊥平面ABCD ，则QH ⊥平面ABCD ，
所以，AP 与平面ABCD 所成的角为QAC ∠，
由图可知，当AP 与圆弧相切于点P 时，QAC ∠最大，即θ取最大值，
连接CP ，则CP AQ ⊥，易知AC =，则1AP ===，
所以，PAC 是等腰直角三角形，则π4QAC ∠=
，在矩形11AA C C 中，11//A C AC ，则1π4AQA QAC ∠=∠=
，又因为1π2
AA Q ∠=，所以，1AA Q △是等腰直角三角形，则111A Q AA ==，
所以，1111
1C Q AC AQ =-=，因为11//BB DD 且11BB D D =，故四边形11BB D D 为平行四边形，则11//B D BD ，
设平面α分别交棱1BB 、1DD 于点E 、N ，连接EN ,
因为//BD α，BD ⊂平面11BB D D ，平面11BB D D EN α= ，则//BD EN ，故11//B D EN ，
设截面α分别交直线11A B 、11A D 于点M 、G ，
因为11//B D EN ，11B D α⊄，EN α⊂，所以，11//B D α，
因为11B D ⊂平面1111D C B A ，平面1111A B C D MG α= ，则11//MG B D ，
设11MG B C F = ，11MG C D G = ，则1111π4
C FG C B
D ∠=∠=
，同理可得1π4C GF ∠=，故1C FG △为等腰直角三角形，易知11
11AC B D ⊥，而11//FG B D ，则1C Q FG ⊥，则Q 为FG 的中点，
所以，)1221FG C Q ==，则)
112221222C F C G FG ===⨯=-，
故(1111121B F B C C F =-=--
=，因为11π4MFB C FG ∠=∠=，且1π2MB F ∠=，则1MB F 为等腰直角三角形，
所以，11BM B F ==-，则111111A M A B MB =+=+-=，
因为1EB ⊥平面ABCD ，1MB 、1FB ⊂平面ABCD ，则11EB MB ⊥，11EB FB ⊥，
则EF EM ===，
所以，AE EF AE EM AM +=+==
==
同理可得AN NG +=
故截面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的周长为
2AE EF AN NG FG FG ++++==
，
故选：C.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面
角θ满足sin h l θ=
（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<> .
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且4,2PD CD AD ===，,M N 分别为,PA PC 的中点，G 为线段PB 上的动点，则（）
A.四面体N BCD -每个面都是直角三角形
B.DG MN
⊥C.当点G 异于P 点时，//AC 平面MNG
D.直线PB 和平面DAC 【答案】BC
【解析】
【分析】因为PD CD ≠则当N 为PC 中点时，ND 与PC 不垂直，则选项A 可以判断；由图形可知，可
以建立以点D 为原点空间直角坐标系，则找到DG 与MN 的向量进行垂直判断，即可得到选项B ；因为,M N
分别为,PA PC 的中点，则可证明//AC 平面MNG 判断C 选项；利用直线PB 的方向向量和平面DAC 的法向量，代入夹角公式即可计算出夹角的正弦值，再根据同角三角函数值得求解，即可判断D.
【详解】因为4PD =，2CD =，在PDC △中，N 为PC 中点，由于只有在等腰三角形中底面上的高才能垂直底面，由于PDC △不是等腰，则ND 与PC 不垂直，则在四面体N BCD -有的面不是直角三角形，故A 不正确；
,M N 分别为,PA PC 的中点，则在PAC 中，//MN AC
因为AC ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，
所以//AC 平面MNG .C 正确
以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z
轴建立空间直角坐标系，
则()1,0,2M ，()0,1,2N ，()0,0,0D ，()
1,1,2G ()1,1,0MN =- ，()1,1,2DG = ，则()1111020MN DG ⋅=⨯-+⨯+⨯= ，
则可判断DG MN ⊥.B 正确；
()0,0,4P ，()2,2,0B 则方向向量为()2,2,4PB =- .
平面DAC 的法向量()
0,0,1n = 设直线PB 和平面DAC 所成角为θ，
则6sin 3PB n PB n θ⋅===
，则6
3tan θ===，D 错误.
故选：BC
10.点()00,P x y 是圆22:86210C x y x y +--+=上的动点，则下面正确的有（
）
A.圆的半径为3
B.003
y x -既没有最大值，也没有最小值C.002x y +
的范围是11⎡-+⎣D.2200023x y x +++的最大值为72
【答案】BC
【解析】
【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A 错误.设003
y k x =-，则转化为直线与圆有交点，可算得003
y k x =-既没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.对于选项C 和D ，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断.
【详解】圆22:86210C x y x y +--+=转化为()()22
434x y -+-=，则圆的圆心为()4,3，半径为2，选项A 错误.设003y k x =-，则直线()003y k x =-与圆有交点，即
2≤，整理得23650k k +-≥，解得3263k --≤或3263
k -+≥.既003
y x -没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.设042sin x θ=+，032cos y
θ=+，
则()002114sin 2cos 11x y θθθϕ+=++=++，其中1tan 2
ϕ=.则0
02x y +
的取值范围为11⎡-+⎣，选项C 正确.
又22000086210x y x y +--+=，则22
00008621x y x y
+=+-，因此
()2200000231061820sin 12cos 4040
x y x x y θθθα+++=+-=++=++其中3tan 5α=
.则2200023x
y x +++的最大值为40，选项D 错误.
故选：BC.
11.已知圆()()()2
2
:234R C x k y k k -+-+=∈，点()()2,410,R P t t t -∈.过点P 作圆C 的两条切线
,,,PA PB A B 为切点，则下列说法正确的有（
）
A.当1k =时，不存在实数t ，使得线段AB 的长度为整数
B.若M 是圆C 上任意一点，则PM 的最小值为
755
C.当1k =-时，不存在点P ，使得PAB 的面积为1
D.当1k =-且2N t ∈时，若在圆C 上总是存在点Q ，使得π6CPQ ∠=，则此时1,12t ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭
【答案】ACD 【解析】
【分析】求出P 点轨迹，利用几何面积转换从而可得到AB 的取值范围，即可对A 项判断；求出圆心C 的轨迹方程为23y x =-，然后即可求出PM 的最小值，即可对B 项判断；画出圆C 及切线，利用几何条件，从而可对C 、D 项判断.
【详解】对于A 项：当1k =时，圆C ：()()2
2
114x y -++=，圆心()1,1C -，半径2r =，
由点()()2,410,R P t t t -∈得P 的轨迹方程为：210y x =-，如下图：
由
1·22
ACP PC AB S PA AC ==⋅= PC 最小时，AB 最小，
PC 的最小值为圆心C 到210y x =-的距离75
5
d =
=，此时：429
37
AB =
>，又因为：24AB r <=，故42947AB ⎡⎫
∈⎪⎢
⎪⎣⎭
，所以当1k =时，不存在实数t ，使得线段AB 的长度为整
数，故A 项正确；
对于B 项：圆心(),23C k k -得圆心C 的轨迹方程为23y x =-，所以C 到直线210y x =-的距离为
75
5
=
，所以M 是圆上任意一点，则PM 的最小值为：
75
25
-，故B 项错误；对于C 项：当1k =-，圆C ：()()2
2
154x y +++=，由A 项知P 的轨迹方程为：210y x =-，如下图：
由：
1·22
ACP PC AB S PA AC ==⋅= ，故PC 最小时，AB 最小，
PC 的最小值为圆心C 755=，设PC x =，由A 项知AB x
=，
进而可得PAB 中AB 边上的高为24x h x -=，所以221444412PAB x S x x x -⎫=⨯⨯=-⎪⎭
，
因为：75
5PC x =≥
，所以得：242292911549PAB S x ⎫=-≥>⎪⎭
，故C 项正确；
对于D 项：由题设可得π
6
CPA ∠≥
，故4PC ≤，
4≤，解得：
931931
1010
t +≤≤
，又因为2N t ∈，所以：1,12t ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，故D 项正确.
故选：ACD.
第II 卷非选择题（满分92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知直线6:30l x y --=与圆22:(1)(2)5C x y -+-=，则直线l 被圆C 所截得的弦长为__________.
【答案】10【解析】
【分析】求出圆心到直线6:30l x y --=的距离，再结合勾股定理可求弦长.【详解】圆C 的圆心坐标为(1,2)，半径为5，圆心到直线6:30l x y --=的距离为：
22
3126102
31⨯--=
+，所以直线l 被圆截得的弦长为：2
1025102⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭
，
故答案为：10.
13.在三棱锥P ABC -中，N 在线段PA 上，满足3,PA PN M =是平面ABC 内任意一点，
452PM PN xPB PC =++
，则实数x =__________.
【答案】13
【解析】
【分析】根据空间向量运算、四点共面等知识求得正确答案.【详解】依题意，452PM PN xPB PC =++
，
则515114424342x x PM PN PB PC PA PB PC
=++⨯++=
511242
x PA PB PC ++=
，由于,,,A B C M 四点共面，所以
5111,12423
x x ++==.故答案为：
1
3
14.如图，在ABC V 中，22,6,12AC BC CA BC ==⋅=-
，过AC 中点M 的动直线l 与线段AB 交于
点N ，将AMN 沿直线l 向上翻折至1A MN ，使得点1A 在平面BCMN 内的射影H 落在线段BC 上，则斜线1A M 与平面BCMN 所成角的正弦值的取值范围为__________.
【答案】220,5⎛⎤
⎥
⎝⎦
【解析】
【分析】首先根据正余弦定理求解三角形，再以点B 为原点，建立空间直角坐标系，并求出点A '的轨迹方程，并利用AA MN '⊥，求得点A '的坐标的范围，相结合后，即可求解线面角正弦值的取值范围.
【详解】()226cos π12CA BC C ⋅=⨯⨯-=- ，得2
cos 2C =，即π4C =，
ABC V 中，根据余弦定理，222cos 25AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=，
根据正弦定理，
sin sin AC AB B C =，得5sin 5
B =
如图，以底面点B 为空间原点建系，根据底面几何关系，得点()4,2,0A ,()6,0,0C ,
设点(),,A x y z '，翻折后点A '的投影(),0,0H x 在x 轴上，所以A '的纵坐标为0，即(),0,A x z '，()5,1,0M ，由MC AM A M '==，根据两点间距离公式，()()
()()
22
22
26501501x z -+-=-+-+，
整理为()2
251
x z -+=如右图，在翻折过程中AMN A MN '≅ ，作AE MN ⊥于点E ，则A E MN '⊥，并且AE A E E '= ，,AE A E '⊂平面A AE '，所以MN ⊥平面A AE '，AA '⊂平面A AE ',
所以MN AA '⊥，即0MN AA '⋅=
，其中()4,2,AA x z '=-- ，
又动点N 在线段AB 上动，设1,,02N a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故15,1,02MN a a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，且[)0,4a ∈，
由0MN AA '⋅=
，得()()1
452102
x a a ⎛⎫----= ⎪⎝⎭
，32252,55x a ⎛⎤=+
∈ ⎥-⎝⎦
，又因为()2
2
51x z -+=，对应的z 的取值为40,5⎛⎤
⎥⎝⎦，即40,5A H ⎛⎤'∈ ⎥⎝⎦
,sin A H A MH A M '⎛'∠=
∈ '⎝.则斜线1A M 与平面BCMN
所成角的正弦值的取值范围为⎛
⎝
.
故答案为：⎛
⎝
【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量解决角的问题，关键1，求点A '的轨迹，关键2，根据几何关系可得MN AA '⊥，根据坐标运算，即可求解.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知直线1l 经过()()2,8,3,2A B --两点，()122,6,3l l l ⊥∈.（1）求直线1l 和直线2l 的一般式方程；
（2）已知直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍，求直线3l 的一般式方程.
【答案】（1）240x y --=；2120x y +-=（2）0x y -=或4200x y +-=【解析】
【分析】（1）根据直线1l 过两点从而可求解其一般式方程，由12l l ⊥，()26,3l ∈可求出2l 的一般方程；（2）求出直线1l 和2l 的交点，再结合3l 在坐标轴上截距，从而可求解.【小问1详解】
由题意可得，直线1l 的斜率为128
232
k +=
=+,
所以得其方程为()223y x -=-，整理化简得其一般式方程为：240x y --=，因为12l l ⊥，所以：可设2l 的方程为：20x y m ++=，又因为()26,3l ∈，所以：12m =-，得2l 一般式方程为2120x y +-=，综上：12:240,:2120l x y l x y --=+-=.【小问2详解】联立2402120x y x y --=⎧⎨
+-=⎩，得4
4x y =⎧⎨=⎩
，所以交点坐标是()4,4，由题意知()34,4l ∈，
（i ）当直线3l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍且为0时，即()30,0l ∈，此时3l 的方程为0x y -=；
（ii ）当直线3l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的4倍且不为0时，此时可设直线3l 的方程为
()104x y a a a +=≠，因为()34,4l ∈，所以：44
14a a
+=，得：5a =，满足条件，此时3l 的方程为4200x y +-=，综上，3l 的方程为0x y -=或4200x y +-=.
16.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABD △是边长为3的正三角形，,,BC CD BC CD PD AB ⊥=⊥，平面PBD ⊥平面ABCD .
（1）求证：PD ⊥平面ABCD ；
（2）若4PD =，求二面角C PB D --的平面角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）
5
4
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明即可；
（2）以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，建立如图空间直角坐标系，分别求出面PBD 和面PBC ，由二面角的向量公式结合同角三角函数的基本关系即可得出答案.
【小问1详解】
连接AC 交BD 于点O ，由平面几何知识易知AC BD ⊥，又平面ABCD ⊥平面,PBD BD 是交线，AC ⊂平面ABCD ，
AC ∴⊥平面PBD ，又PD ⊂平面PBD ，
AC PD ∴⊥，又,,,PD AB AC AB A AC AB ⊥⋂=⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD ；
【小问2详解】
如图，以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y
轴，建立如图空间直角坐标系，
若4PD =，则3333,0,0,0,,0,0,,0,0,,42222C D B P ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭易知()11,0,0n =u r
是平面PBD 的一个法向量，()
33,,0,0,3,422BC BP ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设()2,,n x y z =u u r
是平面PBC 的一个法向量则2200n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33022340
x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令4x =-，则4,3y z ==-，
所以()
24,4,3n =--
12
1212441cos ,41n n n n n n ⋅-∴==
二面角C PB D --的平面角为锐角，
∴二面角C PB D --的平面角的余弦值为41，
∴二面角C PB D --的平面角的正弦值为541
41∴二面角C PB D --的平面角的正切值为
54
.17.已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点(1,0)A ．（1）求圆C 的圆心坐标和半径；
（2）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
（3）若直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）圆心为(3,4)，半径为2；（2）1x =或3430x y --=；（3）2，10x y --=或770x y --=【解析】
【分析】（1）由圆的一般方程化成标准方程即可求解；
（2）先考虑直线斜率不存在时是否满足要求，再考虑直线斜率存在时，利用圆心到直线距离求出直线l 的方程；
（3）方法一：设出直线方程，利用垂径定理得到ABC V 的面积函数S =结论可得面积的最大值及此时直线l 的方程；
方法二：利用三角形面积公式表达出2sin CPQ S PCQ =∠ ，得到当90PCQ ∠=︒时，CPQ S △取最大值2，
此时点C 到l ，利用点到直线距离求出直线斜率，得到此时直线l 的方程.【小问1详解】
由22:68210C x y x y +--+=可得：()()2
2
:344C x y -+-=所以圆心的圆心坐标为()3,4，半径为2；【小问2详解】
①若直线l 的斜率不存在，则直线l ：1x =，符合题意；
②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为 䒢 ，即kx y k 0--=，由题意知，圆心()3,4到已知直线l 的距离等于半径2，
2=，解得34
k =
，所求直线l 的方程是1x =或3430x y --
=；【小问3详解】
方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线l 方程为kx y k 0--=，则圆心到直l
的距离d =，
又∵三角形CPQ
面积
1
2
S d =⨯⨯==(
)22
422
d d +-≤
=，
当且仅当224d d
=-，即d =时取等号，三角形CPQ 的面积的最大值为2，
=，有1k =，或7k =，
此时直线l 方程为10x y --=，或770x y --=．方法二：11
sin 4sin 2sin 22
CPQ S CP CQ PCQ PCQ PCQ =
⋅⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠ ，当90PCQ ∠=︒时，CPQ S △取最大值2，此时点C
到l ，设l ：kx y k 0--=，
=，解得1k =或7k =，
故所求直线l 的方程为10x y --=或770x y --=.
18.如图，已知SA 垂直于梯形ABCD 所在的平面，矩形SADE 的对角线交于点F ，G 为SB 的中点，
π2∠=∠=
ABC BAD ，1
12
SA AB BC AD ====.
（1）求证：//BD 平面A E G ；
（2）在线段EG （不含端点）上是否存在一点H ，使得平面ABH 与平面SCD 所成角的正弦值为30
6
？若存在，求出GH 的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；
（2）存在满足题意的点H ，此时||4
GH =.【解析】
【分析】（1）由题意以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，接着求出BD
和平面A E G 的一个法向量m
，计算0BD m ⋅=
即可得证.
（2）设,01GH GE λλ=<< 求出AH ，由SC 和CD 求出平面SCD 的一个法向量1n ，由AB 和AH
求出平面ABH 的一个法向量2n ，接着由平面ABH 与平面SCD 所成角的正弦值为30
6
得126cos ,6n n = ，
进而求出λ，从而得解.【小问1详解】
由题意可以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
∴(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(0,2,1)E ，11,0,22G ⎛⎫
⎪⎝
⎭，()0,0,1S ， ，
∴(1,2,0)BD =- ，(0,2,1)AE = ，11,0,2
2AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，设平面A E G 的法向量为(,,)m x y z = ，则m AE m AG
⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以2011022m AE y z m AG x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，令1x =，则11,,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴()11120102
BD m ⋅=-⨯+⨯+⨯-= ，∵BD ⊄平面A E G ，∴//BD 平面A E G .
【小问2详解】
由（1）得11,2,22GE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,0,2
2AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(1,1,1)SC =- ，(1,1,0)CD =- ，(1,0,0)AB = ，假设在线段EG （不含端点）上存在一点H ，使得平面ABH 与平面SCD 所成角的正弦值为306，则11,2,,0122GH GE λλλλλ⎛⎫==-<< ⎪⎝⎭ ，11(1),2,(1)22AH AG GE λλλλ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭
，设平面SCD 法向量 ，则11n SC n CD
⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以111111100
n SC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则1(1,1,2)n = ，设平面ABH 法向量()2222,,n x y z = ，则22n AH n AB
⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，所以22222
211(1)2(1)0220n AH x y z n AB x λλλ⎧⋅=-+++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令21+y λ=，则2(0,1,4)n λλ=+- ，设平面ABH 与平面SCD
所成角为θ，则sin 6
θ=，所以
121212cos cos ,=6n n n n n n θ⋅=== ，整理得(21)0λλ-=，∵01λ<<，∴12
λ=.
故存在满足题意的点H
，此时1111,2,22
224GH GH GE ⎛⎫===- ⎪⎝⎭ .19.已知圆22:4O x y +=和点()2,4M .
（1）过点M 向圆O 引切线，求切线的方程；（2）点N 是圆O 上任意一点，S 在线段NM 的延长线上，且点M 是线段SN 的中点，求S 点运动的轨迹E 的方程；
（3）设圆O 与x 轴交于,C D 两点，线段MO 上的点T 上满足16TC DT CM MD ⋅=⋅ ，若T ∈直线l ，且直线l 与（2）中曲线E 交于,A B 两点，满足3TA AB = .试探究是否存在这样的直线l ，若存在，请说明理由并写出直线l 的斜率，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2x =和34130
x y -+=（2）22(4)(8)4
x y -+-=（3
）存在，理由见解析，810389k -=
或810389
k +=【解析】
【分析】（1）根据直线与圆相切的几何意义，讨论直线斜率存在与不存在两种情况，计算可得；
（2）设点(),S x y ，点()00,N x y ，根据中点建立等式，用含x 的式子表示0x ，含y 的式子表示0y 后代入点N 满足的方程中，化简计算即可；（3）根据题意先求出T 点坐标，再设出直线方程，直线与曲线联立方程组求出12,x x ，根据3TA AB = ，建
立等式求解即可.
【小问1详解】
当斜率不存在时，显然2x =与圆22:4O x y +=相切；
当斜率存在时，设切线为()24y k x =-+，由圆心到切线的距离为2
，
2=，解得34k =，则()3144
y x =-+，整理得34130x y -+=.综上，切线方程为2x =和34130x y -+=.
【小问2详解】
设点(),S x y ，点()00,N x y ，点()2,4M 且点M 是线段SN 的中点，
0000242842x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩
，由题意，点N 是圆O 上任意一点，22004x y ∴+=，即22(4)(8)4x y -+-=，符合题意，
S ∴点运动的轨迹E 的方程为22(4)(8)4x y -+-=；
【小问3详解】
由题设，()2,0C -，()2,0D ,设(),T x y ,
()2,TC x y =--- ,()2,DT x y =- ，()4,4CM = ，()0,4MD =- ，
因为16TC DT CM MD ⋅=⋅ ,得()2216416x y --=-，即225x y +=,
因为T 在线段MO 上，所以 h ，即()1,2T ，
若存在l ，由题意可不妨设l 的方程为()21y k x -=-，如图所示k
为正数，
联立()()()()()
222222211212812480484y k x k x k k x k k x y ⎧-=-⎪⇒+-+++++=⎨-+-=⎪⎩，2536320k k ∆=-+->（i ）
设()()112212,,,,2A x y B x y x x ≤<.由求根公式
()21221285363221k k x k ++-=
+，()222212853632
21k k x k +++=+.
12124313432
x x TA AB y y =+⎧=⇒⎨=+⎩
所以()()2222212853632
212853632
4312121k k k k k k ++-+++=+++，
化简得：126k =+（ii ）（ii ）在（i ）的限制下有解，故存在这样的直线l ，并且可以解得直线l 的斜率8102841389k -=或8102841389k +=.。