人教A版高中数学必修四期中联考.doc

2010—2011学年下学期“9+4”联合体期中联考
高一数学试卷
命题学校：仙桃中学 命题教师：肖胜利
考试时间：2011年4月27日上午7:40—9:40 试卷满分：150分
一、选择题（本大题共10个小题，每题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

） 1、已知集合3|
01x M x x +⎧
⎫
=<⎨⎬-⎩⎭
，{}|3N x x =≤-，则集合{}|1x x ≥=（ ） A 、M N I B 、M N U C 、()M C M N I D 、()M C M N U 2、函数2
ln(1)34
x y x x +=
--+的定义域为（ ）
A 、(4,1)--
B 、(4,1)-
C 、(1,1)-
D 、(]1,1-
3、已知幂函数()y f x =的图像过点(4,2)，则函数(1cos )y f x =+的最小正周期是（ ）
A 、4π
B 、2π
C 、π
D 、
2
π 4、若二次函数2
()f x ax bx c =++的对称轴为1x =，且其图像过点(2,0)，则(1)
(1)
f f -的值是（ ）
A 、3-
B 、2-
C 、2
D 、3
5、已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21x
f x =-，则2(lo
g 12)f =（ ）
O D C
B
A A 、13
B 、4
3
C 、2
D 、11
6、已知ABC ∆满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u r
，则ABC ∆的形状是（ ）
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、非直角三角形
7、设函数()cos sin f x x x =-，把()f x 的图像向右平移m 个单位后，图像恰好为函数
sin cos y x x =+的图像，则m 的值可以是（ ）
A 、
4π B 、34π C 、π D 、2
π
8、等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -=（ ）
A 、24
B 、22
C 、20
D 、8-
9、已知1x >，1y >，且
1ln 4x ，1
4
，ln y 成等比数列，则xy （ ） A 、有最大值e B 、有最大值e C 、有最小值e D 、有最小值e
10、函数2
2()()()(02)x
x
f x e a e
a a -=-+-<<的最小值为（ ）
A 、22a -
B 、22(1)a -
C 、22a -
D 、22(1)a --
二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分。

答案应写成最简结果） 11、若不等式
1
0x m x m
-+<+的解集为{}3,4x x x <>或，则m = 。

12、已知α、β均为锐角，4sin 5α=
，5cos()13
αβ+=，则sin β= 。

13、对一切实数x ，不等式2
10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是 。

14、等比数列{}n a 中，公比2q =，前3项和为21，则345a a a ++= 。

15、有一解三角形的题因纸张破损，有一条件不清，且具体如下： 在ABC ∆中，已知3a =
，045B =， ，求角A 。

经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示0
60A =，试将条件补完整。

三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16、（本题满分12分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，现将其裁剪为等腰梯形ABCD 的
形状。

它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。

（1）写出这个梯形的周长y 与腰长x 之间的函数关系式，并求出定义域； （2）求y 的最大值。

17、（本题满分12分）在锐角ABC ∆中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
且3(tan tan )1tan tan A B A B -=+⋅。

（1）若2
2
2
a a
b
c b -=-，求A 、B 、C 的大小；
（2）已知向量(sin ,cos )m A A =u r ，(cos ,sin )n B B =r
，求32m n -u r r 的取值范围。

18、（本题满分12分）若函数2
()sin sin cos (0)f x ax ax ax a =->的图像与直线y m =（m
为常数）相切，并且切点的横坐标依次成公差为2
π
的等差数列。

（1）求m 的值；
（2）若点00(,)A x y 是()y f x =的图像的对称中心，且030,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求点A 的坐标。

19、（本题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，21a =，且
1111
(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥，
2n
n n
b a =。

（1）证明：
11112
n n a a --=； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S 。

20、（本题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =，11
(14124)16
n n n a a a +=
+++（n N *∈）。

（1）设124n n b a =+，求证：{}3n b -成等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式n a 。

21、（本题满分14分）已知定义域为R 的偶函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，其图像均
在x 轴上方，对任意m ，[)0,n ∈+∞，都有[]()()n
f m n f m ⋅=，且(2)4f =。

（1）求(0)f 、(1)f -的值；
（2）解关于x 的不等式2
2
2224kx f
x ⎡⎤⎛⎫+≥⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
，其中(1,1)k ∈-。

2010—2011学年下学期“9+4”联合体期中联考
高一数学参考答案及评分标准
1—10、D C B A A B D A C B
11、3- 12、
16
65
13、[)2,-+∞ 14、84 15、622c +=
16、解：连BD ，过D 作DE AB ⊥于E ，
则2AD AE AB =⋅，
∴24x AE =，2
42
x CD =-，
故2
482x y x =-++（022x <<）。

………………………………………………6分 （2）221
48(2)1022
x y x x =-++=--+，在(0,2)上单调递增，在(2,22)单调递减，∴当2x =时，max 10y =。

…………………………………………………12分 17、解：tan tan 3tan()1tan tan 3A B A B A B --=
=+⋅，∴6
A B π
-=。

………………………2分
（1）2
2
2
2cos a b ab C c +-=，∴3
C π
=，………………………………………4分
23A B π+=
，又6A B π-=，∴512A π=，4
B π=。

………………………………6分 （2）⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=+-=⋅-=-62sin 1213)sin(12131213232
πA B A n m n
m ……8分
00220026262002262A A B A A C A πππππππππππ⎧⎧
<<<<⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
<<⇒<-<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪
<<<-+<⎪⎪⎩⎩。

……………………………10分
5266
6A π
π
π<-
<
，1262sin 126≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-<πA a ，7231<-≤n m 。

………12分
18、解：212()sin sin cos sin 2224f x ax ax ax ax π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝
⎭………………………3分 （1）依题意知12
22
m =
±。

…………………………………………………………6分 （2）∵切点的横坐标成公差为2
π
的等差数列，∴222T a ππ=
=，故2a =。

……8分
令0044
()12
x k k Z y ππ⎧+=⎪⎪∈⎨
⎪=⎪⎩，030,1,2,34164k x k πππ⎡⎤=-∈⇒=⎢⎥⎣⎦。

……………11分 故点A 的坐标为31,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭，71,162π⎛⎫ ⎪⎝⎭或111,162π⎛⎫
⎪⎝⎭。

……………………………12分 19、解：（1）
21...12211111=-==-=-++--a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ，∴1111
2
n n a a --=。

………6分
（2）由（1）知1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以12为首项，1
2为公差的等差数列， ∴
12
n n
a =，12n n
b n -=⨯。

……………………………………………………………9分 12102...232221-⨯++⨯+⨯+⨯=n n n S ， n n n n n S 22)1(...22212121⨯+⨯-++⨯+⨯=
-，
∴1
2
1
121222
22(1)2112
n
n n
n n n S n n n ---=++++-⨯=-⨯=---L ，
∴(1)21n
n S n =-+。

…………………………………………………………………12分
20、解：（1）由124n n b a =+，得2124n n b a -=，代入11
(14124)16
n n n a a a +=+++，
得22
2211111144(3)241624n n n n n b b b b b ++⎛⎫--=+⨯+⇒=+ ⎪⎝⎭
，∴123n n b b +=+。

……5分
∴12(3)3n n b b +-=-，又112415b =+⨯=，则1320b -=≠。

………………7分
∴{}3n b -是以2为首项，
1
2为公比的等比数列。

…………………………………8分 （2）由（1）得1132n n b --=，∴11
32
n n b -=+，…………………………………10分
则2
12111
243423
n n n n b a -==⨯++。

…………………………………………………13分 21、解：（1）由题意知对任意x R ∈，()0f x >，
又对任意m ，[)0,n ∈+∞，都有[]()()n
f mn f m =，
则[]0
(0)(0)1f f ==，………………………………………………………………2分
[]2
(2)(12)(1)4f f f =⨯==，∴(1)2f =，则(1)2f -=。

……………………6分
（2）2
2
2
222(1)244kx kx f f f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
++≥⇒≥±⎢⎥ ⎪ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
……………………………9分
∵()f x 为偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，∴
2
214
kx x +≥+，
即2
2
(1)40k x kx -+≥ ………………………………………………………………11分 当10k -<<时，原不等式的解集为24,01k k ⎡⎤
⎢
⎥-⎣⎦
； 当0k =时，原不等式的解集为{}0；
当01k <<时，原不等式的解集为240,
1k k ⎡
⎤⎢⎥-⎣⎦。

…………………………………14分。