ch22

正弦电流： 正弦电流： i = I m sin(ωt + ψ ) 复数： 复数： A = A ∠ ϕ
+j A
ω
ψ 设： A = I m ，
=ϕ
0
ϕ =ψ
A = Im
+1
且使复数A在复平面上以 且使复数 在复平面上以ω的角频率逆时针旋转 起来。则旋转复数A即表征电流 的三要素。 起来。则旋转复数 即表征电流 i 的三要素。 通常电路中的电压、电流都是同频率的正弦量， 通常电路中的电压、电流都是同频率的正弦量， 且是已知的，故用复数A在复平面上只表示出 且是已知的，故用复数 在复平面上只表示出 i 初始 位置即可。所以复数可以表示正弦量。 位置即可。所以复数可以表示正弦量。 用于表示正弦量的复数称为相量
jϕ
二、复数运算
A1 = a1 + jb1 A1 = A1 ϕ 1
A2 = a 2 + jb2
A2 = A2 ϕ 2
加减运算： 加减运算： A1 ± A2 = (a1 ± a 2 ) + j(b1 ± b2 ) 乘法运算： 乘法运算： A1 ⋅ A2 = A1 A2 A1 A1 除法运算： 除法运算： = ϕ1 − ϕ 2 A2 A2
∑ i = 0 ←→ ∑ I = 0 ∑ u = 0 ←→ ∑U = 0
基尔霍夫 定律的相 量形式
= 65.5 2 sin( 314 t+ 10.37 )A
0
注意： 注意： 1. 只有同频率的正弦量，才能应用对应 只有同频率的正弦量， 同频率的正弦量 的相量来进行代数运算。 的相量来进行代数运算。 2. 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上 3. 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。 正弦量与相量是对应关系 是对应关系， 不是相等关系 关系。 4. 可推广到多个同频率的正弦量运算。 可推广到多个同频率的正弦量运算。
u i
用波形图求和： 用波形图求和： 求和
i1 i2
i = i1 + i2
ωt
0
便于交流电路计算的正弦 量的表示法？ 量的表示法？相量表示法
Hale Waihona Puke 2.2.1 复数一、复数及其表示
为复数则 设A为复数则： A = a + jb 为复数 其中： 实部， 虚部。 其中：a ------实部， b ------虚部。 实部 虚部 虚数单位 j= −1 ------虚数单位 在复平面上可以用一向量 表示复数A，如右图： 表示复数 ，如右图：
角频率 不变
= I m1 sin(ω t + ψ 1 ) + I m2 sin(ω t + ψ 2 ) = I m sin(ω t + ψ )
故计算时正弦量可用幅值 初相角两个特征量来确定 故计算时正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定 正弦量可用幅值和
设有正弦电流 复数
i = I m sin(ωt + ψ )
0
60 600 I2 = 2 70.7 60 0 0 2）& = & + I （2）I = I + I&2 = I 60 − 30 + 1 2 2 2
i2 = 60sin(314 t+ 600 )A
70.7 I1 = − 300 2
= 64.5+ j11.8
= 65.5 10.370 A
（3） i ）
+j
幅模 b
A
a = A cos ϕ
b = A sin ϕ
2
A
0
ϕ
a +1
A = a +b
2
b tan ϕ = a
幅角
复数的几种形式： 复数的几种形式： 代数式 A = a + jb -------------------------代数式 指数式 A = A e -------------------------指数式 三角式 A = A cos ϕ + j A sin ϕ -------三角式 A= A ϕ --------------------极坐标式 极坐标式
∴ j 称为旋转因子 称为旋转因子
-------用复数表示的正弦量 2.2.2 相量 -------用复数表示的正弦量 一个复数由模 幅角两个特征量确定。 一个复数由模和幅角两个特征量确定。 两个特征量确定 一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。 一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。 幅值 三个要素 在分析计算线性电路时， 在分析计算线性电路时，电路中各部分电压 和电流都是与电源同频率的正弦量，因此， 和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是 同频率的正弦量 已知的，计算时可不必考虑。 已知的，计算时可不必考虑。 如 ： i = i1 + i 2
2.2 正弦量的 相量表示法
2.2.1 复数 2.2.2 相量
引言
设： i1 = I m1 sin(ω t + ψ 1 )
i 2 = I m2 sin(ω t + ψ 2 )
计算过程 复杂 作图过程繁杂 且不易准确
则： i = i1 + i 2 = I m1 sin(ω t + ψ 1 ) + I m2 sin(ω t + ψ 2 ) = I m sin(ω t + ψ )
利用正弦量的相量表示法， 利用正弦量的相量表示法，所以方便地进行正 弦交流电路的计算。 弦交流电路的计算。 通常用加点的大写字母来表示相量。 通常用加点的大写字母来表示相量。
i = I m sin(ωt + ψ )
Im = Im∠ψ ---最大值相量 最大值相量
I = I ∠ψ
---有效值相量 有效值相量
ϕ1 + ϕ 2
三、旋转因子
e
jϕ
模为1， 的复数） = 1 ϕ （模为 ，辐角为 ϕ的复数）
故任一个复数乘以 故任一个复数乘以
e
jϕ
等于把其逆时针 逆时针旋转 等于把其逆时针旋转 ϕ 角。 jA
+j
A +1
e
±j
π
2
= ± j = ±∠
π
2
= ±∠90
0
–jA
∴
相当于把A逆时针旋转90度 逆时针旋转 j A 相当于把 逆时针旋转 度
u = 10 2 sin(ω t+ 600 )V
画出相量图。 画出相量图。 解： I = 20∠300 ( A)
U = 10∠60 (V )
0
600
0
I
300
1
相量图
注意
♀只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。 同频率的正弦量才能画在同一相量图上 ♀正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。 正弦量与相量是对应关系，而不是相等关系。 对应关系
i 例： u
= 10 2 sin(ω t+ 45 )A V
0
试画出其波形图，并用相量表示。 试画出其波形图，并用相量表示。 解： U = 10∠450 (V )
U m = 10 2∠45 (V )
0
2.2.3 相量图 相量和复数一样，可以在复平面上用矢量 相量和复数一样，
来表示，表示相量的几何图形称为相量图。 来表示，表示相量的几何图形称为相量图。 j 例2.1 i = 20 2 sin(ω t+ 300 )A U
A = A ∠ϕ
+j A
ω
ψ 若： A = I m ，
=ϕ
0
ϕ =ψ
A = Im
+1
则复数A在虚轴上的投影即是电流 的初始值 则复数 在虚轴上的投影即是电流i的初始值； 在虚轴上的投影即是电流 的初始值； 此时复数A表征了电流 的两个要素：幅值和初相。 表征了电流i的两个要素 此时复数 表征了电流 的两个要素：幅值和初相。 若使复数A在复平面上以 若使复数 在复平面上以ω的角频率逆时针旋转 起来，则复数A任一时刻在虚轴上的投影即是电流 起来，则复数A任一时刻在虚轴上的投影即是电流i 虚轴上的投影即是电流 在该时刻的瞬时值； 复数A旋转一圈时，电流i则 在该时刻的瞬时值；当复数A旋转一圈时，电流 则 按正弦规律交变了一个周期。因此，旋转复数A表 按正弦规律交变了一个周期。因此，旋转复数 表 的三个要素：角频率、幅值和初相。 征了电流 i 的三个要素：角频率、幅值和初相。
U = 10∠600 (V )
u = 10 2 sin(ω t+ 600 )V
u = 10 2sin(ωt + 600 ) ≠ 10 600
例2.2 i = 70.7sin(314 t− 300 )A 求： i = i + i 1 1 2
i2 = 60sin(314 t+ 600 )A
解（1） i = 70.7sin(314 t− 30 )A ） 1