2019-2020学年天津市河西区高一下学期期中数学试卷(解析版)

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷
一、选择题（共9小题）.
f f _ _________________ . 如、，,、， 一 一-
、
1.如果？？ ？那两个单位向量，则 ？力？受定（
）
A.相等
B.平行
C.方向相同
D.长度相等
2,若复数z= （x 2
-1） + （x-1） i 为纯虚数，则实数 x 的值为（ ）
3.在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级
1000名学生收看比赛的情
况用随机抽样方式进行调查，样本容量为
50,将数据分组整理后，列表如表:
从表中可以得出正确的结论为（ ）
A.表中m 的数值为8
B.估计观看比赛不低于 4场的学生约为360人
C.估计观看比赛不低于
4场的学生约为720人
5 .若a, b 贝，i 为虚数单位，且（a+i ） i=b+i,则（
）
A. a=1, b= 1
B. a=- 1, b= 1
C. a = 1, b= _
1 D. a=-1, b
=一 6 .小波一星期的总开支分布图如图
1所示，一星期的食品开支如图 2所示，则小波一星期
的鸡蛋开支占总开支的百分比为（
）
A. 一 1
B. 0
C. 1
D. T 或 1 观看场数
0123456 观看人数占调查人数的
8%
百分比
10%
20%
26% m% 12%
6%
7
2%
D.估计观看比赛场数的众数为
2
4.甲、乙两个元件构成一并联电路，设
示电路故障的事件为（
）
A.EUF
B.EA??
E= "甲元件故障”，
F= "乙元件故障“，则表
C. ??u??
D. En F
7 .设A 、B 是两个概率大于 0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A.事件 A? B,则 P （A ） v P （B ） 8 .若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立 C.若A 和B 相互独立，则 A 和B 一定不互斥 D. P (A) +P (B) < 1
的形状为（
的值为（
11 .某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向,
名学生.
12 .将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两
次，记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y.则事件“x+yw3”的概率为.
?? c 一
13 .在三角形ABC 中，角A, B, C 所对应的长分别为 a, b, c,若a= 2, B= 6? c = 2
v??
贝 U b =.
14 .已知 游 石髭夹角为2??勺两个单位向量，??=谆-痴? ??= k?!?+流 若?? ??=0, 一 一 3
则实数k 的值为.
15 .如图，在平面四边形 ABCD 中，AB ± BC , ADXCD, / BAD = 120。

，AB = AD = 1.若
.
., _ ................................... 一. f
—>
…一,
点E 为边CD 上的动点，则？???????取小值为 .
A. 30%
B. 10%
C. 3%
D.不能确定
8.设4ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为
a, b, c,若 bcosC+ccosB = asinA,贝ABC
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
9.已知向量?? ?是两个不共线的向量，且向
量 , , ■ ■
m??-3?有??+ (2—m) ?共线，贝U 实数 m , ,
■ ■ , , ■ ■
A. - 1 或 3
B. V??
C. T 或 4
D. 3或 4
二、填空题：本大题共
6个小题，每小题 4分，共24分.
10. i 是虚数单位，复数
6+7?? 1+2??
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300的样本进行调查，已知该校一年级、 年级、三年级、四年级的本科生人数之比为
4: 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取
三、解答题：本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.
16.随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如
下：
30, 42, 41, 36, 44, 40, 37, 37, 25, 45, 29, 43, 31, 36, 49, 34, 33, 43, 38, 42, 32, 34, 46, 39, 36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组频数频率
[25, 30] 3 0.12
(30, 35] 5 0.20
(35, 40] 8 0.32
(40, 45] n1 f1
(45, 50] n2 f2
(1)确定样本频率分布表中n i, n2, f i和f2的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区
间( 30, 35］的概率.
17.在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙
同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率.
18.在4ABC中的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知B = 30° , b=。

？c=2,
解这个三角形.
T T T 、一一，一
19.已知？？？?= (2, 1) , ????=(1, 7), ????=(5，1)，设C 是直线OP 上的一点(其
中O为坐标原点)
,一 f f 一一，一，一,… f
(1)求使？？？？?？?？到取小值时的????
(2)根据(1)中求出的点C,求cos/ACB.
, 1 L
20.设Z1是虚数，Z2= Z1+ ??是头数，且-1WZ2W1.
(1)求忆1|的值以及Z1的实部的取值范围；
1-??
(2)若3= H?1,求证3为纯虚数；
1 + ??1
(3)求Z2 - 32的最小值.
、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.如果？？ ？那两个单位向量，则 ？内？厂定( )
【分析】根据？？ ？把两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案. 解：因为？？ ？冕两个单位向量; , , ■ ■ 只能得到其模长相等，其他没法确定； 故选： D ．
2,若复数z= (x 2
-1) + (x-1) i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )
【分析】复数z= (x 2
-1) + (x-1) i 为纯虚数，复数的实部为 0,虚部不等于0,求解
即可．
解：由复数Z= (x 2
-1) + (x-1) i 为纯虚数,
{???-??= ?赤B x =_ 1 l?0 ??w ??
故选： A ．
1000 名学生收看比赛的情 50，将数据分组整理后，列表如表：
观看场数
百分比
从表中可以得出正确的结论为(
A.表中m 的数值为8
D ．估计观看比赛场数的众数为 2
【分析】由频率分布表的性质，求出 m=12;先由频率分布表求出观看比赛不低于
36% ，由此估计观看比赛不低于
4 场的学生约为 360 人；出现频率最
高的为3.
A.相等
B ．平行
C ．方向相同
D ．长度相等
A. 一 1
B ． 0
C ． 1 D. T 或 1
3．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年
况用随机抽样方式进行调查，样本容量为
观看人数占调查人数的
8%
10% 20% 26% m% 12% 6% 2%
B ．估计观看比赛不低于 4 场的学生约为 360 人
C ．估计观看比赛不低于 4场的学生约为 720 人
4场
解：由频率分布表的性质，得：
m= 100- 8- 10 - 20- 26- 16- 6- 2= 12,故A 错误；
•••观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2% =36%,
，估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000X 36% = 360人，故B正确，C错误；
出现频率最高的为3.故D错误；
故选：B.
4.甲、乙两个元件构成一并联电路，设E= "甲元件故障"，F= "乙元件故障“，则表示电路故障的
事件为（）
A.EUF B . E A ?? C. ??U ?? D. EPF
【分析】由并联电路性质得：电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障.
解：甲、乙两个元件构成一并联电路，设E= "甲元件故障"，F= "乙元件故障“，则电路故障为甲、乙两个元件同时发生故障，
・♦・表示电路故障的事件为EH F .
故选：D.
5.若a, b€R, i为虚数单位，且（a+i） i=b+i,则（）
A. a=1, b= 1
B. a=- 1, b= 1
C. a = 1, b=- 1
D. a=-1, b=- 1
【分析】根据所给的关于复数的等式，整理出等式左边的复数乘法运算，根据复数相等
的充要条件，即实部和虚部分别相等，得到a, b的值.
解：（a+i） i = b+i,
ai — 1 = b+i,
•• a = 1, b= — 1,
故选：C.
6.小波一星期的总开支分布图如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期
的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）
【分析】计算鸡蛋占食品开支的百分比，利用一星期的食品开支占总开支的百分比，即
可求得一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比
解：根据一星期的食品开支图，可知鸡蛋占食品开支的百分比为
???% ,
•••一星期的食品开支占总开支的百分比为30% ,
・•・一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为30% X 10% = 3% .
故选：C.
7.设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是( A.事件
A? B,则P (A) V P (B)
B.若A和B互斥，则A和B 一定相互独立
C.若A和B相互独立，则A和B 一定不互斥
D. P (A) +P (B) W 1
【分析】根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概型与性质进行判断.
解：若事件B包含事件
若事件A、B互斥，则
若事件A、B相互独立，
若事件A, B相互独立，
误.
故选：C.
8.设4ABC的内角A, B, C所对的边分别为
的形状为(
(A) P (B) >0,故B错误，C
正确；
P (B) 贝U P (A) +P
(B) >1,故D 错
a, b, c,若bcosC+ccosB = asinA,则△ ABC
C. 3%
D.不能确定
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定30
30+40+100+80+50
A,则P (A) w P (B),故A 错误;
P (AB) = 0,
则P (AB) = P
且P (A) >2,
【分析】由条件利用正弦定理可得 sin BcosC+sinCcosB = sinAsinA,再由两角和的正弦公 式、诱导公式求得 sinA=1,可得A= 2?由此可得△ ABC 的形状. 解：△ ABC 的内角A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,
bcosC+ccosB = asinA,则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB = sinAsinA,
??.
即sin (B+C) = sinAsinA,可得sinA=1,故A=-；故二角形为直角二角形， 故选：B.
T — — ________________ . *
................. 一 一 ，一
T
T ...........
.. .........
9 .已知向量?? ??!两个不共线的向重，且向重 m??-3?有??+ (2-m) ?共线，则头数 m
的值为(
)
A. - 1 或 3
B. V??
C.- 1或 4
D.3或 4
【分析】利用向量共线定理即可得出. 解：,一向重 m??- 3?+??+ (2—m) ?#线，
，存在实数 k 使得：m?2 3??=k[??+ (2-m) ??, , , ■
■ L ■ ■
■ J
Z
化为：(m — k) ??+ [ - 3 - k (2 — m) ]??= ??
, — f .................. .
.............. ....
,一向重？？ ？?！两个不共线的向重, ??- ??= ??
一｛-?? - ??(?? ??) = ??
二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 4分，共24分.
10 . i 是虚数单位，复数617??= 4-i .
1+2??
【分析】根据复数的运算法则计算即可.
6+7?? (6+7??)(1-2??) 6+14+7??-12?? 20-5??
= = = =4 - i, 1+2?? (1+2??)(1-2??) 5 5 故答案为：4- i
11 .某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为
300的样本进行调查，已知该校一年级、二
解得m = 3或-1. 解:
年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4: 5: 5: 6,则应从一年级本科生中抽取60 名学生.
【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例,再用样本容量乘以该比列,
即为所求.
故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300X 1 = 60,
5
，
故答案为：60.
12 .将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1
次，记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y.则事件“x+yW3”的概率为 一
12—
【分析】基本事件总数 n = 6X6 = 36,利用列举法求出事件
（x, y ）有3个，由此能求出事件“ x+yW3”的概率.
两次,
记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y.
基本事件总数 n = 6x 6=36,
事件“ x+yw3”包含的基本事件（x, y ）有:
，- 1 故答案为：上
12
则b= 2
【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出 解：由余弦定理可知 b 2= a 2
+ c 2
- 2accosB = 22+(??J????-
因为b 是三角形的边长，所以 b=2. 故答案为：2.
14 .已知??? 碗夹角为2??勺两个单位向量，??=办?- 2如 ？?= k??+ 如 若？? ??=0, 3
. (5)
则实数k 的值为_5
4
【分析】利用向量的数量积公式求出 ？??????利用向量的运算律求出 力？？列出方程求
解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为
4+5+5+6
1
=
1, 2, 3, 4, 5, 6)先后抛掷两
x+yW3”包含的基本事件
解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为
1, 2, 3, 4, 5, 6) 先后抛掷
(1,1), (1,2), ( 2, 1),共 3个,
则事件“x+yw 3”的概率为p= A = 36 1
12
13.在三角形ABC 中，角A, B, C 所对应的长分别为 a, b,
c,
?? a= 2, B=
6, c= 2，?？
b 即可.
_ _ _ V3 .
2X 2X 2v??x _23 =4.
出k.
解：:风 ？??^夹角为2??勺两个单位向量
3
???-?
5
= ??
2
解得??= 4
5
故答案为
：5
4
15 .如图，在平面四边形 ABCD 中，AB^BC, ADXCD, / BAD = 120。

，AB = AD = 1.若
. . 一- — ―—一，•， - 21
点E 为边CD 上的动点，则???? ????取小值为 一
一16
A, B, E 的坐标，再设 E (0, m),
则可将???? ???整理成m 的函数，然后求其最小值.
___________ 3 0 V3
??????????，？??= ??????????3 °
一?????= (?3?- ?????(????+ ???
=?????-
—— —— —??
?????????+ ???????- ????
5
=???? - ・・・・. ?????= ??
解：因为 AB ± BC , AD XCD, / BAD = 120° , AB=AD= 1. 故如图，建立如图所示的坐标系.则
A (1, 0) ,连接 AC,易证 Rt △ ACD 9 RtAC
B , / DA
C = / DAB = 60 °
BAx = 60 ° , ... ???? ??????????????? X B = 1+1 X
•・??(3，£)•
6
【分析】可建立坐标系，然后根据给的条件求
设E (0, m) , ( 2k ??< v?? .
•- 二 3 一点
- ？??? (-?? , ??)，？??？(- 2, ??-2)• • •????????= 3+ ????- 3??=(m
- 3)2+ -2i- 2 2 4
16
下:
37, 25, 45, 29, 43, 31, 36, 49, 34, 33, 43, 38, 42, 32, 34, 46, 39, 36.
(3)根据样本频率分布直方图， 求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区
分组
频数
频率
[25, 30] 3 0.12 (30, 35] 5 0.20 (35, 40] 8 0.32 (40, 45] n 1 f 1 (45, 50]
n 2
f 2
)确定样本频率分体表中
n 1，n 2, f 1和 f 2的值;
根据上述数据得到样本的频率分布表如下:
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图;
(1 故当
49分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤. 16.随机观测生产某种零件的某工厂
25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如
30, 42, 41, 36, 44, 40, 37, ??=慨时，？??? ??W 最小值为急 一， 21 故答案为
：21
三、解答题：本大题共 5小题，共
间( 30, 35］的概率.
【分析】(1)利用所给数据，可得样本频率分布表中
n i, n 2, f i 和f 2的值;
(1) (40, 45］的频数 n i = 7,频率 f i = 0.28; (45, 50］的频数 n 2=2,频率 f 2= 0.08；
频率分布直方图:
(3)设在该厂任取 4人，没有一人的日加工零件数落在区间(
少有一人的日加工零件数落在区间(
30, 35］为事件,
............................... (5)
1
已知该厂每人日加工零件数落在区间( 30, 35］的概率为 —=-,
25
5
=?或??- 5)??= 0.4096
P (刃 =1— p(A)= 1 - 0, 4096=0.5904,
・♦•在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30, 35］的概率0.5904.
17 .在一次猜灯谜活动中，共有 20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了
12个，乙
同学猜对了 8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
(1)任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率.
【分析】(1)设事件A 表示“甲猜对"，事件B 表示“乙猜对"，则P (A) = — = 3, P 20 5 (B)=袅=|,任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为: 20 5 (金+P (4P (B),由此能求出结果.
(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为 (2) 根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图; (3) 利用对立事件可求概率.
解
: 30, 35］为事件A,则至
P (A??+ ???? = P (A) P
P (冏? = P (?0 P (?2 .由此能求
出结果
解：(1)设事件A表示“甲猜对"，事件B表示“乙猜对”，
则P (A) = 12= 9, P (B) = _8_ 20
5,
5 20
，任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为:
P (A??+ ???? = P (A) P (为+P (?? P (B) = 3X(??- 2) + (1- 3 x| = 43
5 5 5 5 25
(2)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P (???? = P (为P (力=(1-3)( 1- 2)= ?. 5 5 25
18.在^ABC中的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知B = 30° , b=为？c=2, 解这个三
角形.
【分析】根据正弦定理求得C,进而得到A,根据余弦定理求得a即可.
解：由正弦定理可得sinC= ??inB=，乂 1=巨， ?? 2 2
因为bvc,则C=135° 或45° ,所以A=15° 或105° ;
根据余弦定理可得cosB= ?吊+?乎-??［即Y3 =空42_,解得a= V?? 1(为?+ 1舍)， 2???? 2
4??
故该三角形a=用1, A=15° , C=135° 或a=魂？1, A=105° , C = 45° . f f f 、一一，一
19.已知???? (2, 1) , ????= (1, 7) , ????= (5, 1),设C 是直线OP 上的一点(其中O为坐
标原点)
,一 f f 一一，一，一,… f
(1)求使？？？？?？?？到取小值时的？？?？
(2)根据(1)中求出的点C,求cos/ACB.
【分析】(1)根据题意设点？?(?? 2??)从而将？??？？?撅量积的坐标表不求出来，可得
一个关于x的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案；
. 一 f 一一■”一……一一一一
(2)根据(1)中的点C,可以求得？??？？??？坐标，利用向量的数量积即可求得cos/
ACB的值.
解：(1) --1 ???? (??, ??)则直线OP的方程为y= 1??
••.C是直线OP上的一点，则设点？？(?? 1??)
•,.???? ???? ????= (??- ?? ??- 2??) ???= ???? ????= (??- ?? ?? ^??)
•.???????= (1—x) (5-x)+(7-1?? (1-1?? =5???- ????+????? 4… =5(??- ????- ??
4
， . — —— 一一，•，
.・.当x= 4时，？??？？??？至U 取小值，此时 C ( 4, 2),
■ ????= (?? ??> (2)由(1)可知，C (4, 2),
• •???? (-??, ??) ????= (??, - ??)
_____ , -2???????
... ?????? / =?????.:
|?????|????
故 co
s/ACB
=-4
T 1Z
（1）求忆1|的值以及Z 1的实部的取值范围;
3= 1??1
，求证0为纯虚数;
1 + ??1
，、〜 ？？、，，？？、
（1）设 Z 1= a+bi, （a, b e —、选择题，且 bw0）,贝U Z2= （a + ?2+?彳）+（b- ?2 ?
彳）
值范围为[- 1 2].
利用基本不等式即可得出答案.
(1)设 Z1=a+bi, ( a, bCR,且 bw0)
因为Z 2是实数,
-3-5 ________
(-3) 2+52 叫2+(-1) 2
20.设Z 1是虚数，Z 2= Z 1 +
??心
实数，且-1WZ 2W 1. (3)求
Z2 — 32的最小值.
【分析】 i,因为 Z 2是实数，所以a 2
+b 2
=1,即Z|=1,
且z 2= 2a,由-1 w z 2< 1, z 1的实部的取
(2) 3 =
1-??1 _ 1-??-???? 1-??2-??2
-2???? 1+??i
1+
??+???? (1+??)2
+??2
恚?由此证明3= 1
粉是纯虚数. ??+1 1 + ??1 (3) Z2 —
0)2= ( a+
?? ??+?彳)+ (b ?? ?2+?歹
且？2=2(a+1)+ 系-3, ??+1 ??+1 '
a+1
解: _ . 1 .... Z 2= Z 1+ —= (a+bi) + ? ?
1 .. ---- =(a+bi) ??+????' ---- ) ??-???? ??-???? + (??+????)(??-???为a+bi )+ ??+?孑= ?? a ??+??2) ??
)i,
因为bwo,所以a 1 2
+b 2
=1, 即 |z i|= 1,且 z 2= 2a,
即4的实部的取值范围为［-J
(2)证明：a 2
+b 2
=1,
1-??1 _ 1-??-????_ 1-??2-??2
-2???? ???? 1+??1 1+??+???? (1+??)2+??2 ??+1 因为-J <a< 1, bw 0, 所以.益为纯虚数.
1+??1
c ?? ??
(3) Z 2 — w 2= ( a + ??+??2)+ (b - ??+?个)I -(
?2
(b- b) I+ -——2
1-??2
2
(??+1)
1-??
??+1 二 2??(??+1)+(1-??) " ??+1 2??+??+1 =~??71 -
=1+型
??+1 =1 2(??+1)2
-4??-2
+ ??+1
=
1 2(??+1)2
-4(??+1)+2
+
??+1
=1+2 (a+1) - 4+ -2—
??+1
2
_ 1 3
=2(a+1)+
诉-3, a+1 Q[ £],
当 2 (a+1) = 时，即 a= 0 时，z 2- w 2
最小=1.
??+1
所以b-
?? ??+??2 ?名+??2-1 ”即 b(-^)
=0,
由一1WZ 2W 1,得—1W 2a< 1,
解得-
“ 2 ??
+r
=2a+ =2a+
=2a+。