不等式的性质、解集与解法

不等式的性质、解集与解法
不等式的基本性质及其解集
⼀、不等式的性质
1．不等式的两边都加上（或减去）同⼀个数或整式，不等号的⽅向不变． c a b a +?> c
a b a c b +?<+, c b +
2．不等式的两边都乘以（或除以）同⼀个正数，不等号的⽅向不变。

若：0,>>c b a ，可得ac bc ．
3．不等式的两边都乘以（或除以）同⼀个负数，不等号的⽅向改变．
若ac c b a ?<>0, bc ．⼆．不等式的解集
1．定义：⼀般的，⼀个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
2．解与解集的联系：解集和解那个的范围⼤.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表⽰⽅法. 1-≤x ①⽤不等式表⽰。

如1-≤x 或x <-1等。

x <
②⽤数轴表⽰.（注意实⼼圈与空⼼圈的区别） 4.解⼀元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需
要变号。

典型例题
例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围. ②不等式a x <2的解集为7
例2.（1）如果关于x 的⽅程x m m x +-=+2432的解为⼤于4的数，求m 的取值范围.
（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.
例3．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同⼀平⾯直⾓坐标系中的图象如图所⽰，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（）。

A 、x ＞－1
B 、x ＜－1
C 、x ＜－2
D 、⽆法确定例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为⾮负数，求k 的取值范围．
思考题．设c b a ,,均为正数，若a
c b
c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的⼤⼩．
y k 2x
(第3题图)
【经典练习】
⼀、选择题（每⼩题2分，共36分）
1、“x 的2倍与3的差不⼤于8”列出的不等式是（） A 、2x －3≤8 B 、2x －3≥8 C 、2x －3＜8 D 、2x －3＞8
2、下列不等式⼀定成⽴的是（） A 、5a ＞4a
B 、x +2＜x +3
C 、－a ＞－2a
D 、
a
a 24> 3、如果x ＜－3，那么下列不等式成⽴的是（） A 、x 2＞－3x B 、x 2≥－3x C 、x 2＜－3x D 、x 2≤－3x 4、不等式－3x +6＞0的正整数解有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、⽆数多个 *5、若m 满⾜|m |＞m ，则m ⼀定是（） A 、正数 B 、负数 C 、⾮负数 D 、任意有理数 6、在数轴上与到原点的距离⼩于8的点对应的x 满⾜（） A 、－8＜x ＜8 B 、x ＜－8或x ＞8 C 、x ＜8 D 、x ＞8
**7、要使函数y =（2m －3）x +（3n +1）的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为（）
A 、m ＞
23，n ＞－31
B 、m ＞3，n ＞－3
C 、m ＜23，n ＜－31
D 、m ＜23，n ＞－3
1
*8、下列说法中，正确的有（）.
①若0ab <，则0,0;a b <<②若0,0a b <>，则0ab <；③若22,a b m m <则a b <；④若a b <，
则22
am bm <;⑤若0a b <<，则0a b +<；⑥若0a b +<，则0a b <<.
A 、4个
B 、3个
C 、2个
D 、1个 9、下列说法正确的是（）. A 、5是不等式x+5＞10的解集 B 、x ＜5是不等式x-5＞0的解集 C 、x ≥5是不等式-x ≤-5的解集
D 、x ＞3是不等式x-3≥0的解集
10、若a-b ＜0，则下列各式中⼀定正确的是（）.
A 、a ＞b
B 、ab ＞0
C 、a
b
＜0 D 、-a ＞-b
11 不等式5x-1≤24的正整数解有（）.
A 、4个
B 、5个
C 、6个
D 、⽆限多个 **12 实数b 满⾜|b |<3，并且实数a 使得a －4x D 、 x 2<－4x
*14、关于x 的⽅程
2435
x a x b
++=的解不是负数，则a 与b 的关系是（） A 、
35a b > B 、 b ≥5
3a
C 、5a =3b
D 、5a ≥3b 15、在不等式100>5x 中，能使不等式成⽴的x 的最⼤正整数值为（）. A 、18 B 、19 C 、20 D 、21 16、下列不等式中，错误的是（）. A 、57-<-
B 、5>3
C 、0a 12>+
D 、a a ->
**17、已知5x －m ≤0只有两个正整数解，则m 的取值范围是（） A 、10+- C 、
2
x
141x 2+=
+ D 、x 6
1x 31x 21
>+
⼆、填空题（每⼩题2分，共36分）
1、不等式6－2x ＞0的解集是________.
2、当x ________时，代数式
5
2
3--x 的值是⾮正数. 3、当m ________时，不等式（2－m ）x ＜8的解集为x ＞m
-28
. 4、若x =
2
3
+a ，y =32+a ，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.
5、已知三⾓形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.
6、已知⼀次函数y =（m +4）x －3+n （其中x 是⾃变量），当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下⽅.
*7、某种商品的价格第⼀年上升了10%，第⼆年下降了（m －5）%（m ＞5）后，仍不低于原价，则m 的值应为
________.
8、5m-3是⾮负数，⽤不等式表⽰为______. 9、不等式
238654x
--<
-<-的解集为______.
10、当a b >，则2
ab b <成⽴的条件是______.
*11、明明的语⽂、外语两科的平均分为m 分，若使语⽂、外语、数学三科的平均分超过n 分，则数学分数a （分）应满⾜的关系式是_________.（m >n ） 12、设a ＜b ，⽤“＜”或“＞”|号填空：
11
(1)_____;(2)100_____100;
22
(3)1.5_____1.5;(4)_____.
1212a b a b a b
a b --++--
13、不等式的性质：
（1）如果a>b, 那么a+c b+c. （2）如果m>n, p>0, 那么mp np. （3） . 14、若-3x +4<-2x -5,则-x ______-9.
15、已知直线y=kx+b 经过点（2，0），且k <0，则当x ______时，y <0. 16、不等式x <3的⾮负整数解是________.
17、不等式|x |-2≤3的正整数解是____________.
18、在2y 2-3y +1>0, y 2+2y +1=0,-6<-2, 27ab<2, 2312x x +- ,
21
03
y y --<,7x +5≥5x +6中, ⼀元⼀次不等式有_____个,它们是_____________________.
三、解答题
1、解下列不等式，并把解集在数轴上表⽰出来：（每题4分共16分）（1）3（1-x ）-2（x+8）<2；（2）3（x+3）-5（x-1） ≥7；（3）132+-x ≤4
2
+x ；
（4）)69(6
1
23--x x ≥7+x ．
3、（6分）在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每⼀道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛。

⼀实验中学25名学⽣通过了预选赛，他们分别可能答对了多少道题？
作业
1．如果关于x 的⽅程7332+=-+x m x 的解为不⼤于2的⾮负数，那么（）
A 、6=m
B 、7,6,5=m
C 、⽆解
D 、75≤≤m 2．如果关于x 的⽅程52)4(3+=+a x 的解⼤于关于x 的⽅程3
)
43(4)14(-=+x a x a 的解，那么（）
A 、2>a
B 、2
C 、187<
a D 、18
7
>a 3．如果22,7
2
35>+->-c a a ，那么（）
A 、c a c a +<-
B 、a c a c +<-
C 、ac ac ->
D 、a a 23> 4．若b a b a ><>,0,0，那么b a b a --,,,的⼤⼩顺序是（）
A 、b a a b >->>-
B 、b a b a ->->>
C 、a b a b ->->>
D 、a b b a ->>->
5．已知0)24(1832=-+++k y x x ，求当k 为何值时，y 的值是⾮负数？
6.（1）关于x 的⽅程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围. (2)不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.。