Cantor集的性质及应用

令 E = [ 0 ,1 ] - G ,由 G的作法知 , E 中任一数 ,其
小数点后任一数字都不是“2”,且 E 与 Cantor 集的构
造完全类似 ,由性质 2 及性质 6 有
(1) E 的基数是 c ;
(2) E 可测 ,且μE = 0 ,事实上
μE = 1
- μG = 1
-
∞
∑μGn
n- 1
“2”(约定采用 0. 2 = 0. 1999 …,0. 62 = 0. 61999 …等表
示) ,于是按照 Cantor 集的方法作一开集 G ,
∞
∑ G =
Gn .
n=1
其中 , G1 = (0. 2 ,0. 3) 是将[ 0 ,1 ]分成十等分所得
的第三个开区间 ,显然 G1 中任一小数点后第一位数
手续进行到第
n
次后
,剩下的是
2n
个
长度
为
1 3n
的小
闭区间 ,对于以 P 中某点 x 为中心的无论怎样小的开
区间 (x - δ,x +δ)
,当
n
充
分大时总有
1 3n
< 2δ,因此这
收稿日期 :2003 - 11 - 12
个小区间不可能包含在 P 中 。
性质 6 : P 是可测集且测度为零 。第 n 次挖去的
刘小洋 ,江 南
(连云港师范高等专科学校 数学系 , 江苏 连云港 222006)
摘 要 :文章总结归纳了 Cantor 集的一些重要性质 ,并举例说明如何利用 Cantor 集的性质来解决实变函数中的一 些典型问题 。 关键词 :Cantor 集 ;基数 ;测度 ;积分 中图分类号 :O174. 1 文献标识码 :A
函数的可积性问题 。下面给出的几道例题分为三种
类型分别利用了 Cantor 集的某些优良性质来解决以
上三部分内容中一些典型问题 。
3. 1 研究集合的有关性质
如完备性 、基数 、测度等 (当然重点是讨论集合的
测度) ,为了推广区间长度的概念 ,对一般点集建立一
种能反映集合的“容量”、与长度概念相当的度量 ,这
1
∫β 1 f ( x) dx = α
3 2
,
1
β
β
∫ ∫ 2
3
f ( x) dx = f ( x) dx
α
α
2
3
1
=
32 2
,
β
β
∫ ∫ 4
5
f ( x) dx = f ( x) dx
α
α
4
5
β
∫6
= f ( x) dx α 6
β
∫7
= f ( x) dx α 7
1
=
33 2
,
……………
求和得 :
(Department of Mathematics , Lianyungang Teachers College , Lianyungang 222006 ,China)
Abstract : This article sums up some important qualities of Cantor set ,and explains how to make use of them to solve the typical problems in real variable function by instances. Key words : Cantor set ;cardinal number ;measure ;integral
1 Cantor 集的主要性质
性质 1 :P 非空 。在 P 的构造过程中 ,被挖去的开
区间的端点及 0 、1 都不会被除去而留在 P 内 。
性质 2 :P 的基数为 C。已知 (0 ,1) 和 a 进位无限
小数全体是一一对应的 ,考虑三进位小数表示法 ,由
P 的作法 ,每次都是把区间三等分 ,然后去掉中间的
作者简介 :刘小洋 (1979 - ) ,江苏泰州人 ,连云港师范高等专科学校数学系教师 ; 江 南 (1979 - ) ,江苏连云港人 ,连云港师范高等专科学校数学系教师.
The quality and Application of Cantor Set
LIU Xiao - yang ,J IANG nan
∞β
n
f ( x) dx +
f ( x) dx .
p
n=1
α
n
∫ 由 Cantor 集的性质 8 有 f ( x) dx = 0 ,又由于 p
f (x) 在 (αn β, n ) 上黎曼可积 ,因此
β
β
∫ ∫ n
n
(L) f ( x) dx = ( R) f ( x) dx .
α
α
n
n
等于相应三角形的面积.
2004 第
年6 2期
月
连云港师范高等专科学校学报 Journal of Lianyungang Teachers College
J
une ,2004 No. 2
文章编号 :1009 - 7740 (2004) 02 - 0070 - 04
Cantor 集的性质及应用
∫1 f ( x) dx 0
=
1 2
[
1 3
+
2 32
+
22 33
+
…+
2n- 1 3n
+
…]
=
1 6
[1 +
2 3
+
( 2 )2 3
+
…+
( 2 ) n- 1 3
…]
=
1 2
.
参考文献 : [1 ]张喜堂. 实变函数论的典型问题与方法[M] . 湖北 :华中师范大学出版社 ,2002. [2 ]魏国强 ,胡善文. 实变函数简明教程[ Z] . 上海 :华东师范大学出版社 ,2001. [3 ]周明强. 实变函数[M] . 北京 :北京大学出版社 ,1996. [4 ]郑维行 ,王声望. 实变函数与泛函分析概要[M] . 北京 :人民大学出版社 ,1981.
集上的任何函数 Lebesgue 可积 ,且积分值为零 。
3 Cantor 集性质的应用
实变函数论的中心问题是建立一种新型的积分
理论 ,从而扩大函数的可积性范围 ,诸如 Dirichlet 函
数 D (x) 之类的点点不连续的函数也能求出其积分
值 ,而我们建立新积分的思路就是从研究集合的测
度 ,到定义在可测集上函数的可测性 ,最终讨论可测
1 9
,
2 9
)
及
(
7 9
,
8 9
)
,然后将余下的四个闭区间同法处理 ,
如此无限进行下去 ,所剩下的集合 P 称为 Cantor 三分
集 (简称 Cantor 集) ;如图 :
被挖去的集
G=
(
1 3
,
2 3
)
∪(
1 9
,
2 9
)
∪(
7 9
,
8 9
)
∪…是
一个开集 ,且有 P = [ 0 ,1 ] - G
开区间 。所以去掉的点 ,即 G 中的点在用三进位小
数表示时 ,必出现 1 这个数字 ,令 A 为三进位无限小
数中不出现数字 1 的全体 ,即 :
A = {x = 0 ,a1 a2 …an …;ai 是 0 或 2 ;i = 1 ,2 , …,x
为无限小数}
则 A < (0 ,1 ] < [ 0 ,1 ]且 A ∩G = . 故 A < [ 0 ,1 ] -
1 9
,
2 9
)
∪( 7 9
,
8 9
)
∪…
∞ 2n- 1
= ∪ ∪Ik(n) n=1 k=1
为可数个互不相交的开区间的并集 ,故 G 为开
集 ,而 P = [ 0 ,1 ] - G为闭集 。
性质 4 :P 是完备集 。被挖去的开集 G 没有相邻
接的构成区间 ,故 P 没有孤立点 。
性质 5 :P 是疏朗集 。在 P 的构造过程中 “, 挖去”
∞
2 n- 1
=
ρ μ(
∪I
( k
n)
)
n- 1
k=1
=
∞ n=1
1· 3
( 2 ) n- 1 3
= 1.
因此 μP =μ( [ 0 ,1 ]) - μG = 0 。
性质 7 : P 上的任何函数均是可测函数 。零测度
集上的任何函数都是可测函数 。
性质 8 : P 上的任何函数 Lebesgue 可积 。零测度
0 引言 本文主要归纳了 Cantor 的主要性质 ,并举例说明
了如何利用 Cantor 集的性质来解决实变函数中的一 些典型问题 ,其中 Cantor 集是指 :将闭区间[ 0 ,1 ]三等
分
,挖去中间的开区间
(
1 3
,
2 3
)
,再将余下的两个闭区
间
[
0
Байду номын сангаас
,
1 3
]及[
2 3
,1 ]各三等分 ,挖去中间的开区间 (
开区间记为
I(n)
k
,共有 2n - 1 个 ,每个小区间的测度μIk(n)
=
1 3n
,这
2n - 1 个互不相交的开区间的并集的测度μ
2 n- 1
(
∪I
( n) k
)
k=1
=
2n- 1 3n
=
1 3
·( 2 ) n- 1 3
·{
I
( k
n)
}
是
G 的构成
∑ 区间 ,从 μG =
ρμI
( k
n)
n,k
G= P. 但 A 显然与二进位无限小数全体可建立一一对
应 ,只要令
x = 0. a1 a2
…ak
…{→y = 0.
a1 2
a2 2
…ak 2
…
=
=
即可 。故 A = C. 而 A < P < [ 0 ,1 ] ,由伯恩斯坦定理 ,P
= C. 性质 3 :P 是闭集 。因
G =
(1 3
,
2 3
)
∪(
种度量既要发展长度的概念 ,又必须保留长度概念的
一些最基本的性质 ,也就是集合的“测度”,测度理论
是建立新型积分理论的基础 。
例 1 设在[ 0 ,1 ]中作点集 :
E = {x| 在 x 的十进位小数表示中只出现 9 个数
码} ,试问 E 的测度与基数是多少 ?
解 :不妨设 x 在的十进位制小数中不出现数字
=1
-
n∑∞- 1 91n0-n1
= 0.
例 2 试作一闭集 F Α[ 0 ,1 ] ,使 F 中不含任何开
区间
,且μF =
1 4
;
解 :仿照 Cantor 集的作法步骤完成 F 的构作
间的并 ,. . . ,
Gn
是
2n -
1
个长为
1 3n
的区间的并
,.
.
.
由积分的完
全可加性得 :
∫ ∫ ∑∫ 1 f ( x) dx = 0
73
字是“2”;将 [ 0 ,1 ]十等分并去掉 G1 后所余下的 9 个
区间分别再十等分 ,各自的第三个开区间之并记为
G2 ,G2 中任一数 ,其小数点后第二位数字是“2”…,将
余下的 9n - 1 个区间每个进行十等分 ,取各自的第三开
区间 ,它们的并记为 Gn ,则 Gn 中任一数 ,其小数点后
第 n 位数字是“2”; …