专题7.13：解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展

4. 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：x2＋y2－(6－2m)x－4my＋5m2－6m＝0，直线 l 经
过点 (1，0)．若对任意的实数 m，定直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值，则直线 l 的方程为
________. 2x＋y－2＝0
【探究拓展】
探究 1：已知 F1 、 F2 分别为椭圆 C1 :
（ 1） 若 直 线 l 过 点 A(4, 0) ， 且 被 圆 C1 截 得 的 弦 长 为 线 l 的方程；
2 3，求直
（2）设 P 为平面上的点，满足：存在过点 P 的无穷多对互
相垂直的直
线 l1 和 l2 ，它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交，且直线 l1 被圆 C1 与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点
又
|
MF1
|
5 3
,则y015 ……②,3
由①②解得 x0
2 6 3
, y0

2 3
椭圆 C1 的两个焦点 F1(0,1) , F2 (0, 1) ,点 M 椭圆上,
由椭圆定义 2a | MF1 | | MF2 |
( 2 6 0)2 ( 2 1)2
3
3
( 2 6 0)2 ( 2 1)2 4
(x

x1 ,
y

y1 )

( x2

x,
y2

y)
,即

x1
y1

x2 y2
(1 )x (1 ) y
⑤ ⑦得 : x12 2 x22 (1 2 )x
⑥ ⑧得 : y12 2 y22 3y(1 2 ) 两 式 相 加 得
直线 BO 的方程为 y
2
3c
x ，线段 AC 的中点坐标为 ( ,
2c )，
3
44
3c 2c AC 的中点坐标 ( , ) 满足直线 BO 的方程，即直线 BO 平分线段 AC．
44
（2）设过 P 的直线 l 与椭圆交于两个不同点的坐标为 M (x1, y1), N (x2, y2 ) ，点 Q(x, y) ，
（1）求与圆 C 相切，且与直线 l 垂直的直线方程； ks5u PB
（2）在直线 OA 上（ O 为坐标原点），存在定点 B （不同于点 A ），满足：对于圆 C 上任一点 P ，都有 PA
为一常数，试求所有满足条件的点 B 的坐标.
拓展：在直角坐标系 xOy 中，椭圆
x2 9

y2 4
1的左、右焦点分别是 F1, F2 ，点
心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。
故有：
|
3k
1
n

km
|

|

4 k

5

n

1 k
m
|
，
k2 1
1 k2
1
化简得： (2 m n)k m n 3,或(m n 8)k m n 5
2 m n 0 m- n+8=0 k ,或 关于 的方程有无穷多解，有：
1 2
1 2
由于 m，n，C 为常数，所以点 Q 恒在直线 2mx 3ny 6c2 0 上．
【说明】（1）若特殊化处理，令 c 1，此时椭圆方程为 x2 y2 1，设 P(3, 2) ，其它条件不变，可得 32
点 Q 恒在直线 2x 2 y 2 0 上．
（2）若一般化处理，对于椭圆
（2）设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) , Q(x, y) ,
由
AP

PB
可得:
(1
x1 , 3

y1 )

( x2
1,
y2

3)
,即

x1
y1

x2 y2
1 3(1
)
由
AQ

QB
可得:
4
（1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于点 C.半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y 轴右侧，圆 M 被 y 轴截得的弦长为 3r. ① 求⊙M 的方程； ② 当 r 变化时，是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切？如果存在，求出定直线 l 的方程；如果不存在，说 明理由．
______________.
3.
已知椭圆 C : x2 y2 a2 b2
1(a b 0) ， 点 A, F 分 别 是 椭 圆 C 的 左 顶 点 和 左 焦 点 ， 点 P 是 圆
O : x 2 y 2 b2 上的动点，若 PA 为常数，则椭圆的离心率为___________. PF
x2 a2

y2 b2
1(a

b

0) ，椭圆外的一点
P（m，n）（m，n
为常数），过
P
的动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M，N，在线段 MN 上取点 Q，满足 MP MQ ，则点 Q 恒在定直线 PN QN
mx a2

ny b2
1上．（极点和极线问题）
探究 2：平面直角坐标系 xoy 中，圆 C1 : (x 3)2 ( y 1)2 4 和圆 C2 : (x 4)2 ( y 5)2 4 .
解 ： (1)设 直 线 l 的 方 程 为 ： y k(x 4) ， 即
截得的弦长 P 的坐标.
kx y 4k 0
由 垂 径 定 理 ， 得 ： 圆 心 C1 到 直 线 l 的 距 离
d 42 (2 3 )2 1， 2
结合点到直线距离公式，得： | 3k 1 4k | 1, k2 1
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
y n k(x m), y n 1 (x m) ，即： kx y n km 0, 1 x y n 1 m 0
k
k
k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆
1
1
1
1
∴ mx x12 2 x22 , ny y12 2 y22 ，
1 2
1 2
∴ 2mx 3ny 2x12 2 2x22 3y12 3 2 y22 2x12 3y12 2 (2x22 3y22 ) 6c2 ，
则 2x12 3y12 6c2 ， 2x22 3y22 6c2 ．
∵ MP MQ ，∴设 MP MQ ，则 MP PN, MQ QN
PN QN
PN QN
求得 m x1 x2 , x x1 x2 ， n y1 y2 , y y1 y2 ，
与 x 轴的负半轴交于点 A ，轨迹 C 上有不同的两点 P 和 Q ，且 AP AQ 0 （1） 求轨迹 C 的方程； （2） 直线 PQ 是否过 x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定
点，请说明理由.
变式 2：已知圆 C : x2 y2 9 ，点 A(5, 0) ，直线 l : x 2 y 0 .
3
3
∴ a 2 ,又 c 1 ,∴ b2
a2
c2
3 , ∴椭圆 C1 的方程为
y2 4

x2 3
1.
方法
2：由 C2
:
x2

4y
知
F1 (0,1)
,设
M
(x0 ,
y0 )(x0

0)
,因
M
在抛物线 C2
上,故
x02

4 y0
…①又 |
MF1
|
5 3
,则
y0
1

5 3
……②,
m n 3 0 m+n- 5=0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解之得：点 P 坐标为 ( 3 ,13) 或 (5 , 1) . 22 2 2
变式 1：在直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F1 ( 3,0) ， F2 ( 3,0) 的距离之和为 4 ，点 M 的轨迹是 C ，
A 为椭圆的左顶点，圆 O
的方程为 x2 y 2 4 ，是否存在不同于点 A 的定点 B ，对于圆 O 上任一点 P ，都有 PB 为一常数，若存 PA
在，试求所有满足条件的点 B 的坐标；若不存在，说明理由.
变式 3：在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： 2 2x －y＋3＋ 8 2 ＝0 和圆 C1 ： x2 ＋ y2 ＋8x＋F＝
化简得： 24k 2 7k 0, k 0, or, k 7 24
求直线 l 的方程为： y 0 或 y 7 (x 4) ，即 y 0 或 7x 24 y 28 0 24
(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ，直线 l 、 l 的方程分别为： 1 2
变式
2：已知椭圆
E：
x2 a2

y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3 3 ，它的上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1, F2 ，
直线 AF1，AF2 分别交椭圆于点 B，C． （1）求证直线 BO 平分线段 AC； （2）设点 P（m，n）（m，n 为常数）在直线 BO 上且在椭
直线 l 与椭圆交于两个不同点 MN，在，线段 MN 上取点 Q，
专题 7.13：解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展
【问题提出】
1. 无论 k 取任何实数，直线 (1 4k)x (2 3k) y (2 14k) 0 必经过一个定点，则这个定点的坐标为
__________.
2. 已 知 直 线 l : 2ax by a b 0 ； 圆 C : x 2 y 2 2x 1 0 ， 则 直 线 l 与 圆 C 的 位 置 关 系 为
由①②解得 x0
2 6 3
, y0

2 .
3
(2)2 (2 6 )2 而点 M 椭圆上,故有 3 3 1 即
4

8
1 …③, 又 c 1 ,则 b2 a2 1 …④
a2
b2
9a2 3b2
由③④可解得 a2
4 , b2
3 ,∴椭圆 C1 的方程为
y2 4

x2 3
1
(x12 y12 ) 2 (x22 y22 ) (1 2 )(x 3y) 又 点 A, B 在 圆 x2 y2 3 上 ， 且 1,所 以 x12 y12 3 ,
x22 y22 3 即 x 3y 3 , ∴点 Q 总在定直线 x 3y 3 上. 变式 1：在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 A(－4,0)、B(4,0)，动点 P 与 A、B 两点连线的斜率之积为 1 .
0．若直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ．设圆 C1 和 x 轴相交于 A，B 两点，点 P 为圆 C1 上不同于 A，B 的
F1
B
y
A
圆外，过
P P的 动
F2 N
满足
O
x
Q
C
M
MP MQ ，试证明点 Q 恒在一定直线上． PN QN
解：（1）由题意， c 3 ，则 a 3c ， b2 a2 c2 2c2 ， a2
故椭圆方程为 x2 y2 1，即 2x2 3y2 6c2 0 ，其中 A(0, 3c2 2c2
点 Q ,满足: AP PB , AQ QB ,( 0 且 1).求证:点 Q 总在某定直线上.
解：方法 1：由 C2 : x2 4 y 知 F1(0,1) ,设 M (x0 , y0 )(x0 0) ,
因 M 在抛物线 C2 上,故 x02 4 y0 …①
2c) ， F1(c,0) ，
∴直线 AF1 的斜率为 2 ，此时直线 AF1 的方程为 y 2(x c) ，
联立
2x2 y
3y2 2(x
6c2 c),

0,
得
2x2

3cx

0
，解得
x1

0
（舍）和
x2


3 2
c
，即
B(
3 2
c,
2 c) ，由
2
对称性知 C( 3 c, 2 c) ． 22
y2 a2

x2 b2
1(a b 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线 C2
: x2
4y 的
焦点,点
M
是 C1 与 C2
在第二象限的交点,且 |
MF1
|
5 3
.
（1）求椭圆 C1 的方程.
（2）已知点 P(1,3) 和圆 O : x2 y2 b2 ,过点 P 的动直线 l 与圆 O 相交于不同的两点 A, B ,在线段 AB 上取一