2019-2020学年数学人教A版选修2-3作业与测评：第一章 单元质量测评 Word版含解析

姓名，年级：
时间：
第一章单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分150分,考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A＝｛1,2，3，4｝，B＝{5,6,7},C＝｛8,9｝．现在从这三个集合中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（)
A．24个 B．36个 C．26个 D．27个
答案C
解析从三个集合中取出两个集合，有C错误!＝3种取法．分别是集合A、B;集合A、C;集合B、C。

当取出A、B时，从这两个集合各取一个元素,有C错误!×C错误!＝12个;
当取出A、C时，从这两个集合各取一个元素,有C1，4×C错误!＝8个；
当取出B、C时，从这两个集合各取一个元素，有C错误!×C错误!＝6个；
一共可以组成12＋8＋6＝26个集合．
2．（x3＋x2＋x＋1)（y2＋y＋1）（z＋1）展开后的不同项数为（) A．9 B．12 C．18 D．24
答案D
解析分三步:第一步，从(x3＋x2＋x＋1）中任取一项,有4种方法；第二步，从(y2＋y＋1）中任取一项,有3种方法;第三步，从（z＋1）中任取一项有2种方法．
根据分步乘法计数原理共有4×3×2＝24（项)．故选D.
3．10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛,要求老队员至多1人入选且新队员甲不能入选的选法有（）A．77种 B．144种 C．35种 D．72种
答案A
解析分两类，第一类:有1名老队员2名新队员，共有C错误!·C错误!＝42种选法；第二类:3人全部是新队员，共有C错误!＝35种选法;于是共有42＋35＝77种选法．
4．若实数a＝2－错误!，则a10－2C错误!a9＋22C错误!a8－…＋210等于( ) A．32 B．－32 C．1024 D．512
答案A
解析由二项式定理,得a10－2C错误!a9＋22C错误!a8－…＋210＝C错误!(－2）
0a10＋C1
10(－2）1a9＋C2
10(－2)
2a8＋…＋C错误!（－2)10＝（a－2)10＝(－错误!)10
＝25＝32.
5．某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2,两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试,那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为( ) A．96 B．180 C．360 D．720
答案B
解析由这6个数字组成的六位数个数为错误!＝180,即最多尝试次数为180.故选B.
6．已知在错误!n的展开式中,第6项为常数项,则展开式中所有的有理项共有（)
A．5项 B．4项 C．3项 D．2项
答案C
解析T r＋1＝C错误!x错误!错误!r＝C错误!错误!r x错误!，由第6项为常数项，得当r＝5时，错误!＝0，得n＝10。

令错误!＝k∈Z，则10－2r＝3k，即r＝5－错误!k，故k应为偶数．又0≤r≤10，故k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.故第3项，第6项与第9项为有理项，选C.
7．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
答案A
解析分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C错误!＝4种放球方法;②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C错误!＝6种放球方法．
∴共有C错误!＋C错误!＝10种不同的放球方法．
8．形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1，2,3，4,5可构成不重复的五位“波浪数"的个数为（)
A．20 B．18 C．16 D．11
答案C
解析由题可知，十位和千位只能是4,5或3,5，若十位和千位排4，5，则其他位置任意排1，2，3，这样的数的个数为A22A错误!＝12;若十位和千位排5,3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1,2在其余位置上任意排列,则这样的数的个数为A错误!A错误!＝4。

综上，共有16个．9．已知（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n,若a0＋a1＋a2＋…＋a n＝16，则自然数n等于（)
A．6 B．5 C．4 D．3
答案C
解析令x＝1，得2n＝16，则n＝4.故选C.
10．已知错误!8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（）
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
答案C
解析T r＋1＝(－a）r C错误!x8－2r，令8－2r＝0⇒r＝4。

∴T5＝C错误!(－a)4＝1120,∴a＝±2.当a＝2时，各项系数的和为(1－2)8＝1；当a＝－2时，各项系数的和为(1＋2)8＝38.
11．已知直线ax＋by－1＝0（a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有交点，且交点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有（)
A．66条 B．72条 C．74条 D．78条
答案B
解析先考虑x≥0，y≥0时，圆上横、纵坐标均为整数的点有(1,7)(5,5）(7,1），依圆的对称性知,圆上共有3×4＝12个点的横、纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线有C2，12＝66(条),过每一点的切线共有12条，又考虑到直线ax＋by－1＝0不经过原点，而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有66＋12－6＝72（条）．12．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72 B．96 C．108 D．144
答案C
解析从2,4，6三个偶数中选一个数放在个位，有C1，3种方法,将其余两个偶数全排列，有A错误!种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有A错误!种方法，当1，3相邻且不与5相邻时有A2，2·A2，3种方法，故满足题意的偶数个数有C1，3·A错误!(A错误!＋A错误!·A错误!)＝108个．
第Ⅱ卷（非选择题,共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．若错误!n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于________．答案7
解析二项式的通项为T r＋1＝C r n（2x3)n－r·错误!r＝C错误!2n－r·x错误!，令3n－错误!r＝0，即r＝错误!n,而r∈N＊。

∴n为7的整数倍，即最小的正数n 等于7.
14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别赴世博会的三个不同场馆服务,不同的分配方案有________种．（用数字作答）答案90
解析先分组错误!,再把三组分配乘以A错误!得：错误!·A错误!＝90种．15．设二项式错误!6的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a＝________.
答案－3
解析因为二项式错误!6的展开式中x2的系数为A＝C错误!a2＝15a2;常数项为B＝－C错误!a3＝－20a3.
因为B＝4A，所以－20a3＝4×15a2,所以a＝－3。

16．如图,在排成4×4方阵的16个点中,中心4个点在某一圆内,其余12个点在圆外,在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有1个顶点在圆内的三角形共有________个．
答案312
解析分为三类:①3个顶点在圆内的三角形有C错误!＝4个；②2个顶点在圆内的三角形有C错误!C错误!＝60个；③1个顶点在圆内的三角形有C错误!（C212－4）＝248个．所以至少有1个顶点在圆内的三角形共有4＋60＋248＝312个．
三、解答题（本小题共6小题,共70分)
17．(本小题满分10分)某校高中部,高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法?
（2）三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？
(3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法?
解（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第
二类从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理可得，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．
(2）每种选法分三步：第一步从高一年级选1个班,有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班,有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．
(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法;第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．
18．(本小题满分12分)已知（1＋2错误!)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的错误!，试求展开式中二项式系数最大的项．
解二项式的通项为T k＋1＝C错误!(2k)x错误!,由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍,是第k＋2项系数的错误!，
∴错误!解得n＝7.
∴展开式中二项式系数最大两项是：
T4＝C错误!(2错误!)3＝280x错误!与T5＝C错误!(2错误!）4＝560x2。

19．(本小题满分12分）如图所示,在以AB为直径的半圆周上,有异于A，B的六个点C1，C2,…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1,D2，D3，D4，则：
(1）以这12个点（包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边
形?
(2)以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形?其中含C1的有多少个？
解(1)构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：
①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C错误!个四边形,
②三个点从C1，C2,…，C6中取出，另一个点从D1,D2，D3,D4，A,B中取出有C3，6C错误!个四边形,
③二个点从C1，C2，…，C6中取出,另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B 中取出有C错误!C错误!个四边形．
故满足条件的四边形共C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝360（个）．
(2)类似于（1)可分三种情况讨论得三角形个数为C36＋C错误!C错误!＋C错误! C14＝116个．其中含点C1的有C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!＝36(个）．20．（本小题满分12分）已知（a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于错误! 5的展开式的常数项,并且(a2＋1)n的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．
解错误!5展开式的常数项为C错误!错误!·错误!4＝16。

（a2＋1）n展开式的系数之和2n＝16，
n＝4.
∴（a2＋1)n展开式的系数最大的项为C错误!(a2）2×12＝6a4＝54，∴a＝±错误!.
21．(本小题满分12分）已知（1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n(n∈N*），且a2＝60,求：
（1）n的值；
(2）－错误!＋错误!－错误!＋…＋（－1)n错误!的值．
解（1)因为T3＝C错误!（－2x)2＝a2x2，
所以a2＝C错误!（－2)2＝60，
化简可得n(n－1）＝30,且n∈N*，
解得n＝6。

(2)T k＋1＝C k6(－2x）k＝a k x k,
所以a k＝C k，6(－2)k，
所以（－1）k错误!＝C错误!，
－错误!＋错误!－错误!＋…＋(－1)n错误!＝C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝26－1＝63.
22．（本小题满分12分)已知错误!n，
（1）若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
解（1）因为C错误!＋C错误!＝2C错误!，
所以n2－21n＋98＝0,
所以n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5。

所以T4的系数为C37错误!423＝错误!,
T5的系数为C4，7错误!324＝70，
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8。

所以T8的系数为C错误!错误!727＝3432.
（2)因为C错误!＋C错误!＋C错误!＝79，
所以n2＋n－156＝0，
所以n＝12或n＝－13(舍去）．
设T k＋1项的系数最大，因为错误!12＝错误!12(1＋4x）12,
所以错误!所以9.4≤k≤10.4，所以k＝10，所以展开式中系数最大的项为T11，
T11＝C1012·错误!2·210·x10＝16896x10。