高考一轮复习学案 第6讲 函数的奇偶性与周期性（原卷版）

第6讲函数的奇偶性和周期性（原卷版）
考点内容解读要求常考题型1．函数奇偶性的定
义
结合具体函数，了解函数奇偶性的定义．Ⅰ选择题，填空题2．奇偶性的应用会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性Ⅱ选择题，填空题
3．函数的周期性
了解函数的周期性定义及会判断、应用函数
的周期性Ⅱ
选择题，填空
题，大题某小问
1．奇偶性的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫作偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫作奇函数．
奇函数的图像关于对称；偶函数的图像关于对称．
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的条件；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(奇函数)或(偶函数))是否成立．2．奇偶性的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的，偶函数在关于原点对称的区间上的．
(2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和是，两个奇函数的积是；
②两个偶函数的和、积都是；
③一个奇函数，一个偶函数的积是．
(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则．
(4)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
(5)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性 ． 3．周期性
(1)周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为 ，称 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的 ．
考点一、函数奇偶性的判断 例1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝9－x2＋x2－9； (2)f(x)＝(x ＋1)
1－x
1＋x
； (3)f(x)＝4－x2
|x ＋3|－3
．
【答案】(1)由⎩
⎪⎨⎪
⎧
9－x2≥0x2－9≥0，得x ＝±3． ∴f(x)的定义域为{－3,3}．
又f(3)＋f(－3)＝0，f(3)－f(－3)＝0． 即f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数，又是偶函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
1－x 1＋x ≥0
1＋x ≠0
，得－1<x ≤1．
∵f(x)的定义域(－1,1]不关于原点对称．∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由⎩
⎪⎨⎪⎧
4－x2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0．
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．∴f(x)＝4－x2x ＋3－3
＝4－x2
x ．
∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)是奇函数．
【解析】确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证
f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立． 类题通法
1．判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 2．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式． 变式训练
1．下列函数：①f(x)＝1－x2＋x2－1；②f(x)＝x3－x ；③f(x)＝ln(x ＋x2＋1)；④f(x)＝3x －3－x 2；⑤f(x)＝lg 1－x 1＋x
．其中奇函数的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 考点二、函数的奇偶性与周期性
例2．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)．当x ∈[0,2]时，f(x)＝2x －x2．
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)．
【答案】(1)证明：∵f(x ＋2)＝－f(x)，∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解：∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x －8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x －8，即f(x)＝x2－6x ＋8，x ∈[2,4]． (3)解：∵f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1．
又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1．
【解析】判断函数的周期只需证明f(x ＋T)＝f(x) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题． (1)只需证明f(x ＋T)＝f(x)，即可说明f(x)是周期函数；
(2)由f(x)在[0,2]上的解析式求得f(x)在[－2,0]上的解析式，进而求f(x)在[2,4]上的解析式；(3)
由周期性求和． 类题通法
判断函数的周期只需证明f(x ＋T)＝f(x) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题． 变式训练
1．已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a －3
a ＋1，则实数a 的
取值范围为( )
A ．(－1，4)
B ．(－2，0)
C ．(－1，0)
D ．(－1，2) 考点三、函数性质的综合应用
例3．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ． (1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调区间．
【答案】(1)由f(x ＋2)＝－f(x)得，f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4． (2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，
得：f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函数y ＝f(x)的图像关于直线x ＝1对称．
又当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示． 当－4≤x ≤4时，f(x)的图像与x 轴围成的图形面积为S ， 则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4．
(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1] (k ∈Z)， 单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3] (k ∈Z)．
【解析】可以先确定函数的周期性，求f(π)；然后根据函
数图像的对称性、周期性画出函数图像，求图形面积、写单调区间． 类题通法
函数性质的综合问题，可以利用函数的周期性、对称性确定函数图像，充分利用已知区间上函数的性质，体现了转化思想． 变式训练
1．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ） A ．f(－25)<f(11)<f(80) B ．f(80)<f(11)<f(－25) C ．f(11)<f(80)<f(－25) D ．f(－25)<f(80)<f(11)
2．函数y ＝f(x)(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f(1)＝0，求不等式f [x (x －1
2)]<0的解集．
1．下列函数为偶函数的是
( )
A ．y ＝sin x
B ．y ＝x 3
C ．y ＝ex
D ．y ＝ln x2＋1
2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为
( )
A ．y ＝cos 2x ，x ∈R
B ．y ＝log2|x|，x ∈R 且x≠0
C ．y ＝
ex －e －x
2
，x ∈R
D ．y ＝x3＋1，x ∈R
3．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2
B ．2
C ．－98
D ．98
4．设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x ，则f(1)等于( ) A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
5．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)＝f(x －1)，则f(2013)＋f(2015)的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．0
D ．无法计算
6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范
围是
( )
A ．a<－1或a ≥2
3
B ．a<－1
C ．－1<a ≤2
3
D ．a ≤2
3
7．在函数y ＝xcos x ，y ＝ex ＋x2，y ＝lg x2－2，y ＝xsin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
8．设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )
A ．奇函数，且在(0，1)内是增函数
B ．奇函数，且在(0，1)内是减函数
C ．偶函数，且在(0，1)内是增函数
D ．偶函数，且在(0，1)内是减函数
9．设函数f(x)＝x(ex ＋ae －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．
10．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝______．
11．若f(x)＝(x ＋a)(x －4)为偶函数，则实数a ＝________．
12．判断下列函数的奇偶性。

(1) f(x)＝ 3－x2＋
x2－3；
(2) f(x)＝
4－x2
|x ＋3|－3
；
(3) f(x)＝(x ＋1) 1－x
1＋x
．
13．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)满足条件f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝－f(x)，且函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x －3
4为奇函数，给出以下四个命题：
①函数f(x)是周期函数； ②函数f(x)的图像关于点⎝⎛⎭⎫－3
4，0对称； ③函数f(x)为R 上的偶函数； ④函数f(x)为R 上的单调函数． 其中真命题的序号为________．
14．已知函数f(x)＝x2＋a
x
(x≠0)．
(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x＝1对称．
(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；
(2)若f(x)＝x (0<x≤1)，求x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式．
16．函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D．有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．。