南京市玄武区2019年中考一模数学试题及答案

2019年第二学期 九年级数学
注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰
有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．计算1－(－2)2÷4的结果为
A ．2
B ．5
4
C ．0
D ．－34
2．南京规划地铁6号线由栖霞山站开往南京南站，全长32100米，这个数据用科学计数法
表示为 A ．321×102 B ．32.1×103 C ．3.21×104 D ．3.21×105 3．一元二次方程2x 2＋3x ＋1＝0的根的情况是
A ．有两个相等的实数根
B ．有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定 4．下列运算结果正确的是
A ．a 2＋a 3＝a 5
B ．a 2·a 3＝a 6
C ．a 3÷a 2＝a
D ．(a 2)3＝a 5
5．如图，将矩形ABCD 绕点A 逆时针旋转90°至矩形AEFG ，点D 的旋转路径为 ⌒DG
，若AB ＝1，BC ＝2，则阴影部分的面积为 A ．π3＋32
B ．1＋
32
C ．π2
D ．π3
＋1
6．如图，将正六边形ABCDEF 放入平面直角坐标系后，若点A 、B 、E 的坐标分别为 （a ，b ）、（3，1）、（－a ，b ），则点D 的坐标为
A ．（1，3）
B ．（3，－1）
C ．（－1，－3）
D ．（－3，1
）
B （第6题）
（第5题）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．分解因式2x 2＋4x ＋2＝ ▲ ．
8．满足不等式组⎩⎨⎧x ＋2＜1，2(x －1)＞－8
的整数解为 ▲ ．
9．已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是 ▲ ．
10．计算
12－3
3
＝ ▲ ． 11．若关于x 的方程x 2＋mx ＋5＝0有一个根为1，则该方程的另一根为 ▲ ． 12．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 直径，若∠ABC ＝50°，
则∠CAD ＝ ▲ °．
13．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 的中点，EF 与BD 相交于点M ，若△DEM
的面积为1，则□ABCD 的面积为 ▲ ．
14．如图，A （a ，b ）、B （1，4）（a ＞1）是反比例函数y ＝k
x （x ＞0）图像上两点，过A 、B
分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AE 、BD 交于点G ．则四边形ACDG 的面积随着a 的增大而 ▲ ．（填“减小”、“不变”或“增大”） 15．二次函数y ＝a (x －b )2＋c （a ＜0）的图像经过点（1，1）和（3，3），则b 的取值范围
是 ▲ ．
16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，P 为△ABC 内一个动点，∠P AB ＝∠PBC ，
则CP 的最小值为 ▲ ．
（第12题）
A
C
D
E F M （第13题）
（第14题）
（第16题）
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解方程组 ⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1； （2）解方程 1x －1＝2x ＋3．
18．（6分）计算x x 2－1÷⎝⎛⎭
⎫
1＋1x －1．
19．（7分）一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都
相同．求下列事件的概率：
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球； （2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．
20．（8分）某公司在某市五个区投放共享单车供市民使用，投放量的分布及投放后的使用
情况统计如下．
（1）该公司在全市一共投放了 ▲ 万辆共享单车；
（2）在扇形统计图中，B 区所对应扇形的圆心角为 ▲ °；
（3）该公司在全市投放的共享单车的使用量占投放量的85%，请计算C 区共享单车的
使用量并补全条形统计图．
各区共享单车投放量分布扇形统计图 （第20题） 各区共享单车投放量及使用量条形统计图
21．（8分）如图，在□ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE ＝
CG ，AH ＝CF ，且EG 平分∠HEF ． （1）求证：△AEH ≌△CGF ； （2）求证：四边形EFGH 是菱形．
22．（7分）用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”． 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB
求证：CD ＝
1
2
AB ．
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2．
A
B C D
H
E G
F （第21题） A
C （第22题）
23．（9分）同时点燃甲乙两根蜡烛，蜡烛燃烧剩下的长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的
关系如图所示．
（1）求乙蜡烛剩下的长度y 与燃烧时间x 的函数表达式； （2）求点P 的坐标，并说明其实际意义；
（3）求点燃多长时间，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍．
24．（8分）定义：在△ABC 中，∠C ＝30°，我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比叫做∠A
的邻弦，记作thi A ，即thi A ＝∠A 的对边∠C 的对边＝BC
AB ．请解答下列问题：
已知：在△ABC 中，∠C ＝30°．
（1）若∠A ＝45°，求thi A 的值；
（2）若thi A ＝3，则∠A ＝ ▲ °；
（3）若∠A 是锐角，探究thi A 与sin A 的数量关系．
25．（8分）A 厂一月份产值为16万元，因管理不善，二、三月份产值的月平均下降率为x
（0＜x ＜1）．B 厂一月份产值为12万元，二月份产值下降率为x ，经过技术革新，三月份产值增长，增长率为2x ．三月份A 、B 两厂产值分别为y A 、y B （单位：万元）． （1）分别写出y A 、y B 与x 的函数表达式； （2）当y A ＝y B 时，求x 的值；
（3）当x 为何值时，三月份A 、B 两厂产值的差距最大？最大值是多少万元？
min ） y （（第23题）
26．（8分）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且CD ·BC
＝AC ·CE ，以E 为圆心，DE 长为半径作圆，⊙E 经过点B ，与AB 、BC 分别交于点F 、G ．
（1）求证：AC 是⊙E 的切线； （2）若AF ＝4，CG ＝5，
①求⊙E 的半径；
②若Rt △ABC 的内切圆圆心为I ，则IE ＝ ▲ ．
27．（9分）在△ABC 中，D 为BC 边上一点．
（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，将△ABC 沿着AD 折叠，点C 落在AB 边
上．请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）；
（2）如图②，将△ABC 沿着过点D 的直线折叠，点C 落在AB 边上的E 处．
①若DE ⊥AB ，垂足为E ，请用直尺和圆规作出点D （不写作法，保留作图痕迹）； ②若AB ＝42，BC ＝6，∠B ＝45°，则CD 的取值范围是 ▲ ．
（第26题）
① ② （第27题）
A
B C
① ②
数学试题参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7． 2(x ＋1)2 8．－2 9．4 10．2－ 3 11． 5 12．40 13．16 14．增大 15．b ＞2 16．2－1 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题10分）
（1）解方程组: ⎩⎨⎧x ＋2y ＝3，2x －y ＝1．
解： 由②得 y ＝2x —1 ③ 将③代入①得：x +2(2x －1)＝3
x ＝1 ………2分 将 x ＝1代入②得y ＝1 ………4分
∴该方程组的解为：⎩⎨⎧x ＝1，
y ＝1． ……5分
（2）方程两边同乘(x －1)(x ＋3)得：x ＋3＝2(x －1) ………2分 解得x ＝5 ………4分
检验：当x ＝5时，(x －1)(x ＋3)≠0
所以x ＝5是原方程的解 ……5分
18．（本题6分） 解：x x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1＋
1
x －1 ＝x (x ＋1)(x －1)÷⎝⎛⎭⎫x －1x －1＋1x －1 ＝x (x ＋1)(x －1)÷x
x －1 ＝x
(x ＋1)(x －1)·x －1x
＝1
x ＋1．……6分 19.（本题7分）
（1）解： 搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有
的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件A )的结果有2种， 所以P(A )＝
2 4 ＝ 1
2
．……3分 （2）解：搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、
(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为事件B )的结果只有1种，所以P(B )＝
1
6 ． ……7分
20．（本题8分） （1） 4 ……2分 （2） 36 ……4分
（3）图略 4×85%－0.8－0.3－0.9－0.7＝0.7（万辆）
答： C 区共享单车的使用量为0.7万辆． ……8分 21．（本题8分）
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A ＝∠C ．
又∵AE ＝CG ，AH ＝CF ，
∴△AEH ≌△CGF ． ……3分
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ． ∵AE ＝CG ，AH ＝CF ， ∴EB ＝DG ，HD ＝BF ． ∴△BEF ≌△DGH ． ∴EF ＝HG ．
又∵△AEH ≌△CGF ， ∴EH ＝GF ．
∴四边形HEFG 为平行四边形． ……5分 ∴EH ∥FG ， ∴∠HEG ＝∠FGE ． ∵EG 平分∠HEF ， ∴∠HEG ＝∠FEG ， ∴∠FGE ＝∠FEG ， ∴EF ＝GF ，
∴EFGH 是菱形． ……8分
22．（本题7分） ①EC ＝EB ； ②∠A ＋∠B ＝90° ……2分 证法2：延长CD 至点E ，使得DE ＝CD ，连接AE 、BE ．
∵AD ＝DB ，DE ＝CD ． ∴四边形ACBE 是平行四边形． 又∵∠ACB ＝90°， ∴□ACBE 是矩形． ∴AB ＝CE ， 又∵CD ＝1
2
CE
∴CD ＝1
2
AB ……7分
23．（本题9分）
解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ．
根据题意，当x ＝0时，y ＝40；当x ＝50时，y ＝0． 所以⎩⎨⎧40＝b 0＝50k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－0.8b ＝40
．
所以，y 与x 之间的函数表达式为y ＝－0.8x ＋40． ……3分
（2） P （20，24） 点燃20分钟，甲乙两根蜡烛剩下的长度都是24 cm ．……5分 （3）设甲蜡烛剩下的长度y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲＝mx ＋n ． 根据题意，当x ＝0时，y 甲＝48；当x ＝20时，y 甲＝24．
所以⎩⎨⎧48＝n 24＝20m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝－1.2
n ＝48．所以，y 甲与x 之间的函数表达式为y 甲＝－1.2x ＋48．
因为甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍，
所以 －1.2x ＋48＝1.1(－0.8x ＋40) 解得 x ＝12.5
答：点燃12.5分钟，甲蜡烛剩下长度是乙蜡烛剩下长度的1.1倍． ……9分 24．（本题8分）
（第22题）
E
解：（1）如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ．
在Rt △BHC 中，sin C ＝BH BC ＝1
2，即BC ＝2BH ．
在Rt △BHA 中，sin A ＝BH AB ＝2
2，即AB ＝2BH ．
∴thi A ＝BC
AB
＝2． ……3分
（2）60或120． ……5分 （3）在Rt △ABC 中，thi A ＝BC
AB
．
在Rt △BHA 中，sin A ＝BH
AB
．
在Rt △BHC 中，sin C ＝BH BC ＝1
2，即BC ＝2BH ．
∴thi A ＝2sin A ． ……8分
25．（本题8分）
（1）y A ＝16(1－x )2， y B ＝12(1－x ) (1＋2x )． ……2分 （2）由题意得 16(1－x )2＝12(1－x ) (1＋2x )
解得：x 1＝1
10， x 2＝1．
∵0＜x ＜1，∴x ＝
1
10
． ……4分 （3）当0＜x ＜1
10
时，y A ＞y B ，且0＜y A －y B ＜4．
当1
10
＜x ＜1时，y B ＞y A ， y B －y A ＝12(1－x ) (1＋2x )－16(1－x )2＝4(1－x )(10x －1)＝－40(
)
x －1120
2
＋
8110
． ∵－40＜0，1
10＜x ＜1 ，
∴当x ＝
11
20
时， y B －y A 取最大值，最大值为8.1． ……6分 ∵8.1＞4 ∴当x ＝
11
20
时，三月份A 、B 两厂产值的差距最大，最大值是8.1万元． ……8分 26．（本题8分） （1）证明：
∵ CD ·BC ＝AC ·CE ∴ CD CA ＝CE
CB
∵∠DCE ＝∠ACB ． ∴△CDE ∽△CAB ∴∠EDC ＝∠A ＝90° ∴ED ⊥AC
又∵点D 在⊙O 上，
∴AC 与⊙E 相切于点D ．……………… 3分 （2）过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，
∴BH ＝FH ．
在四边形AHED 中，∠AHE ＝∠A ＝∠ADE ＝90°， ∴四边形AHED 为矩形， ∴ED ＝HA ，ED ∥AB ， ∴∠B ＝∠DEC ．
B
A
C
H
C
（第26题）
设⊙O 的半径为r ，则EB ＝ED ＝EG ＝r ， ∴BH ＝FH ＝r －4，EC ＝r ＋5． 在△BHE 和△EDC 中，
∵∠B ＝∠DEC ，∠BHE ＝∠EDC ， ∴△BHE ∽△EDC ． ∴
BH ED ＝BE EC ，即 r －4 r ＝r
r ＋5
． ∴r ＝20．
即⊙E 的半径为20……………………………………………………6分 （3）130 ……………………………………………………8分 27．（本题9分）
（1） （2）①
……2分
……6分
② 62－6≤CD ≤5． ……9分
A
C
B
D。