【成才之路】高中数学(人教版必修5)配套练习：1.2应用举例第1课时

测得水深 CF＝ 110m，求∠ DEF 的余弦值．
[解析 ] 由题意可得 DE 2＝502 ＋1202＝ 1302， DF 2＝ 1702＋302＝ 29800， EF2＝ 1202＋ 902 ＝1502，
第一章 1.2 第 1 课时
一、选择题
1．某次测量中， A 在 B 的北偏东 55°，则 B 在 A 的 ( )
A ．北偏西 35° C．南偏西 35° [答案 ] D
B ．北偏东 55° D ．南偏西 55°
[解析 ] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．
α＝ 55°，则 β＝ α＝ 55°.所以 B 在
A 的南偏西 55°.故应选 D．
2．两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°， 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( )
A ． a km
B ． 3a km
C． 2a km
D ．2a km
[答案 ] B
1 2)
＝
13，所以
MN＝
13km.
3．一船自西向东匀速航行，上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68n mile 的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这只船的航行速度为 ( )
17 6 A ． 2 n mile/h
B ． 34 6n mile/h
17 2 C． 2 n mile/h
[解析 ] 在△ ASB 中，∠ SBA＝ 115°，∠ S＝ 45°.由正弦定理，得 SB＝ AsBinsi4n520°＝°16s.1ins4in520° ° ≈ 7.787(n mile) ．设点 S 到直线 AB 的距离为 h，则 h＝ SBsin65 °≈ 7.06(n mile) ．
∵h>6.5n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行 .
的位置， 船在 B 点观测灯塔
A 的方位角为
110°，航行 1 2
h 到达
C 点，
观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是 ( )
A ． 10km
B ． 10 2km
C． 15km
D ．15 2km
[答案 ] B
[解析 ] 在△ ABC 中， BC＝ 40×12＝ 20(km) ，∠ ABC ＝140°－ 110°＝ 30°，∠ ACB＝(180 °－
(1)在△ ABD 中，由已知∠ ADB＝ 60°，则 B＝ 45°. 由正弦定理，得 AD ＝AsBinsi6n045°＝°24(n mile)
(2)在△ ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝ AD 2＋ AC2－ 2AD×ACcos30°
＝242＋(8 3)2－ 2× 24× 8 3× 23＝ (8 3)2，
A ． 10km
B ． 3km
C． 10 5km
D ．10 7km
[答案 ] D
[解析 ] 在△ ABC 中， AB＝ 10，BC＝ 20，∠ ABC＝ 120°，则由余弦定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2－2AB·BCcos∠ ABC＝ 100＋ 400－ 2×10× 20cos120°
＝
100＋
AC＝ 2，BC＝ 3，
∴AB 2＝ AC2＋ BC2－ 2AC·BC·cos150°＝ 13， ∴AB ＝ 13.
2．甲船在湖中 B 岛的正南 A 处， AB＝ 3km ，甲船以 8km /h 的速度向正北方向航行，同时 乙船从 B岛出发，以 12kmh/ 的速度向北偏东 60°方向驶去，则行驶 15min 时，两船的距离是 ( )
∴
BD
＝ AD ＝
20，20× 90
60＝
40 3
(min)
．
6.如图，一艘船上午
在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°处，之后它继续沿正北方
向匀速航行，上午
到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°处，且与它相距 4 2
n mile ，则此船的航行速度是 ________n mile/h.
400－
2×
10×
20×
(
－
1 2)＝
700，
∴AC ＝10 7，即 A、 C 两地的距离为 10 7km.
6．要直接测量河岸之间的距离 (河的两岸可视为平行 )，由于受地理条件和测量工具的限 制，可采用如下办法： 如图所示， 在河的一岸边选取 A、B 两点， 观察对岸的点 C，测得∠ CAB ＝ 45°，∠ CBA＝ 75°，且 AB＝ 120m 由此可得河宽为 (精确到 1m)( )
A ． 7km
B ． 13km
C． 19km
D ． 10－ 3 3km
[答案 ] B
[解析 ] 由题意知 AM ＝8× 15＝ 2， BN＝ 12×15＝ 3，MB＝ AB－ AM＝ 3－ 2＝ 1，所以由余
60
60
弦定理得
MN
2＝
MB
2＋
BN
2－
2
MB
·BNcos120°＝
1
＋
9－
2
×
1
×
3×
(－
一、选择题
1．已知船 A 在灯塔 C 北偏东 85°且到 C 的距离为 2km ，船 B 在灯塔 C 西偏北 25°且到 C 的距离为 3km ，则 A、B 两船的距离为 ( )
A ． 2 3km
B ． 3 2km
C． 15km [答案 ] D
D ． 13km
[解析 ] 如图可知∠ ACB＝ 85°＋ (90 °－ 25°)＝ 150°，
则 AB ＝ 24× 15＝ 6，∠ ASB＝ 35°，由正弦定理 60
6 sin35
＝°
BS sin30
，°可得
BS≈5.2(km) ．
三、解答题
9．如图，我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD＝ 6 000
m．∠ ACD＝ 45°，∠ ADC＝ 75°，目标出现于地面 B 处时测得∠ BCD ＝ 30°，∠ BDC ＝ 15°.求炮 兵阵地到目标的距离． (结果保留根号 )
有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时
90n mile. 此时海盗船距观测站 10 7n mile,20min 后
测得海盗船距观测站 20n mlie ，再过 ________min ，海盗船到达商船．
40 [答案 ] 3
[解析 ] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于
A、B、C 处， 20min 后，海盗
0.5 4．某观察站 C 与两灯塔 A、B 的距离分别为 300m 和 500m，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏
东 30°，灯塔 B 在观察站 C 正西方向，则两灯塔 A、 B 间的距离为 ( )
A ． 500m
B ． 600m
C． 700m
D ．800m
[答案 ] C
[解析 ] 根据题意画出图形如图．
[分析 ] 由于∠ ADC ＝75°，∠ BDC ＝ 15°，∴∠ ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ ABD 为 Rt△作为突破口可简化计算．
[解析 ]
在△ ACD
中，∠
CAD
＝60°，
AD ＝
CD ·sin45 ＝° sin60 °
6 3 CD．
在△ BCD
中，∠
CBD ＝ 135°， BD ＝CD ·sin30 ＝° sin135 °
D ．34 2n mile/h
[答案 ] A
[解析 ]
如图所示，在△
PMN
PM 中， sin45
＝ MN °sin120
， °
3
68× ∴MN ＝
2
＝ 34
2
6，∴
v＝ MN＝ 17
4
2
6 (n
mile/h) ．
2
4．如图，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角 (从指北方 向顺时针转到目标方向线的水平角 )为 140°的方向航行． 为了确定船
在△ ABC 中， BC ＝500， AC＝ 300，∠ ACB＝120°， 由余弦定理得， AB2＝AC 2＋BC 2－ 2AC·BCcos120°
＝
300
2＋
500
2－
2×
300
×
500×
(
－
1 2)
＝490 000 ，∴ AB＝ 700(m) ．
5．已知 A、 B 两地的距离为 10km ，B、C 两地的距离为 20km ，现测得∠ ABC＝ 120 °，则 A、 C 两地的距离为 ( )
[答案 ] 16
[解析 ] 在△ ABS 中，∠ A＝ 30°，∠ ABS＝ 105°，
∴∠ ASB＝ 45°，
∵BS＝ 4 2， BS ＝ AB ， sinA sin∠ ASB
2
∴AB ＝BS·ssinin∠AASB＝4
2× 2 1 ＝ 8，
2
∵上午
在 A 地，
在 B 地，
∴航行 0.5 小时的路程为 8n mile ，
A ． 5n mlie
B ． 5 3n mlie
C． 10n mlie
D ．10 3n mlie
[答案 ] C
[解析 ] 如图，依题意有∠ BAC ＝ 60°，∠ BAD ＝ 75°，
∴∠ CAD ＝∠ CDA ＝ 15°，从而 CD＝CA ＝10， 在 Rt △ ABC 中，求得 AB＝ 5， ∴这艘船的速度是 5 ＝ 10(n mlie/h) ．
船到达 D 处，在△ ADC 中， AC＝ 10 7， AD ＝ 20， CD ＝30，由余弦定理，得
cos∠
ADC
＝
AD
2＋ CD 2－ AC 2AD ×CD
2
＝
400＋ 2×
900－
700 ＝
20× 30
1 2
.
∴∠ ADC ＝60°，在△ ABD 中，由已知得∠ ABD ＝ 30°，
∠BAD ＝ 60°－ 30°＝ 30°，
140 °)＋ 65°＝ 105 °， 则 A＝ 180°－ (30 °＋ 105°)＝ 45°. 由正弦定理，得
AC
BC ·sin∠ ＝ sinA
ABC
＝
20·sin30 ＝°10 sin45 °
2(km) ．
二、填空题
5．海上一观测站测得方位角 240 °的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方
[解析 ] ∠ ACB＝ 120°， AC＝ BC＝ a，由余弦定理可得 AB ＝ 3a(km) ．
3．一船向正北航行，看见正西方向有相距 继续航行半小时后， 看见一灯塔在船的南偏西 则这艘船的速度是每小时 ( )
10n mlie 的两个灯塔恰好与它在一条直线上， 60°方向上， 另一灯塔在船的南偏西 75°方向上，
22CD ，
∠ADB ＝ 90°.
在 Rt △ ABD 中， AB＝
AD 2＋ BD 2＝
42 6 CD
＝1 000 42(m) ．
10．一艘船以 32.2n mile/h 的速度向正北航行． 在 A 处看灯塔 S在船的北偏东 20°的方向， 30min 后航行到 B 处，在 B 处看灯塔在船的北偏东 65°的方向， 已知距离此灯塔 6.5n mile 以外 的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？
A ． 170m
B ． 98m
C． 95m
D ．86m
[答案 ] C
[解析 ] 在△ ABC 中， AB＝ 120，∠ CAB＝45°，∠ CBA＝ 75°，则∠ ACB＝60°，由正弦定
ห้องสมุดไป่ตู้，得 BC ＝120sin45 ＝°40 6. sin60 °
设△ ABC 中， AB 边上的高为 h，则 h 即为河宽， ∴h＝ BC·sin∠ CBA＝ 40 6× sin75 °≈ 95(m) 二、填空题 7．如图所示，为了测量河的宽度 BC，最适宜测量的两个数据是 ________．
[答案 ] AC 与∠ A． [解析 ] 由图可知， AB 与 BC 不能直接测量． 8．一船以 24 km/h 的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东 30°方向 上， 15 min 后到点 B 处望见灯塔在船的北偏东 65°方向上，则船在点 B 时与灯塔 S 的距离是 ______ km.( 精确到 0.1 km) [答案 ] 5.2 [解析 ] 作出示意图如图．由题意知，
∴此船的航速为 16n mile/h. 三、解答题
7．海上某货轮在 A 处看灯塔 B，在货轮北偏东 75°，距离为 12 6n mile ；在 A 处看灯塔
C，在货轮的北偏西 30°，距离为 8 3n mile ；货轮向正北由 A 处航行到 D 处时看灯塔 B 的方 位角为 120°.求：
(1)A 处与 D 处的距离； (2)灯塔 C 与 D 处之间的距离． [解析 ] 由题意，画出示意图，如图所示．
∴CD ＝ 8 3(n mile)
答： A 处与 D 处之间距离为 24n mile ，灯塔 C 与 D 处之间的距离为 8 3n mile.
8．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的
A、B、C 三点进行测量，已
知 AB ＝50m， BC＝ 120m，于 A 处测得水深 AD＝ 80m ，于 B 处测得水深 BE＝ 200m，于 C 处