第三单元 函数的简单性质
高一第三单元函数知识点
高一第三单元函数知识点在高一数学中，函数是一个十分重要的概念和知识点。
掌握函数的基本概念以及相关的性质和应用是学习数学的关键。
本文将通过讨论函数的定义和性质，探究函数在实际问题中的应用，以及解决函数相关问题的方法和技巧。
一、函数的定义和性质函数是一个将自变量和因变量相互映射的关系。
一般用f表示函数关系，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。
函数的解析式表示了自变量和因变量之间的映射规律。
函数在数学中有许多重要的性质，例如单调性、奇偶性和周期性。
单调函数表示函数在定义域内的取值是单调递增或单调递减的。
奇函数满足函数关系f(-x)=-f(x)，偶函数满足函数关系f(-x)=f(x)。
周期函数是指存在某个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)。
二、函数的应用函数在实际生活和工作中有广泛的应用。
例如，利润函数可以描述一家公司的销售额和成本之间的关系。
通过分析利润函数的性质，可以找到最大利润对应的销售额。
另外，速度函数可以描述一个物体在运动过程中的速度变化。
通过对速度函数进行积分，可以计算出物体在给定时间段内所经过的距离。
函数的应用还涉及到最值问题和图像的分析。
通过求解函数的最值，可以得到函数的最大值和最小值。
图像的分析可以通过绘制函数的图像，来观察函数的趋势、特点和变化。
通过对图像的观察和分析，可以解决诸如求解方程、解不等式和求解极限等问题。
三、解决函数相关问题的方法和技巧在解决函数相关问题时，我们可以运用一些方法和技巧来简化计算和推导过程。
其中，函数的组合和复合是常用的技巧之一。
通过将多个函数进行组合，可以构建出新的函数关系。
而函数的复合则是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，进行多次运算得到结果。
另外，函数的求导和积分也是重要的技巧之一。
函数的导数表示了函数在某一点的斜率或变化率。
通过求解导数，可以得到函数的最值点、拐点和切线方程等信息。
函数的积分则表示了函数与自变量之间的面积关系。
高一第三章函数问题知识点
高一第三章函数问题知识点函数是数学中一种重要的概念，是研究数量关系的基础工具。
在高一的第三章函数问题中，我们要学习各种函数的性质和运算规则。
本文将详细介绍高一第三章函数问题的知识点。
一、函数的定义与表示方法函数是数学中的一种映射关系，可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数的表达式。
函数可以通过函数图像、函数表、解析式等多种方式表示。
二、函数的性质1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是函数取得的所有可能的值。
2. 奇偶性：函数在对称中心点具有对称性的称为偶函数，对称中心点为原点的称为奇函数。
3. 单调性：函数在定义域上的取值随自变量的增减而增减的性质。
4. 最值与极值：函数的最值是函数取得的最大值和最小值，极值是函数在某一区间内的最大值和最小值。
5. 周期性：函数在一定的区间内有规律地重复出现的性质。
三、函数的基本运算1. 函数的四则运算：函数之间可以进行加减乘除的四则运算，结果仍为函数。
2. 函数的复合：将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成新的函数。
3. 函数的反函数：满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数之间称为互为反函数。
4. 函数的平移与伸缩：通过平移和伸缩可以改变函数的位置和形状。
四、常见函数的性质与图像1. 线性函数：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距，图像为一条直线。
2. 幂函数：y=x^n，其中n为常数，图像形状由n的正负以及大小决定。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为底数，大于1时为增长函数，小于1时为衰减函数。
4. 对数函数：y=log_a(x)，其中a为底数，反映a的x次幂等于y，常见的对数函数为以10为底的常用对数函数log(x)和以e为底的自然对数函数ln(x)。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，图像为周期性波动的曲线。
五、函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物体自由落体运动的高度与时间的关系、经济学中的供需曲线、生物学中的种群增长模型等等。
数学必修一第三章知识点总结
数学必修一第三章知识点总结第三章是关于函数的知识点总结。
1. 函数的概念：函数是一个特殊的关系，将一个数集的每个元素与另一个数集的元素对应起来。
函数可以用一个公式、图像或者表格来表示。
2. 定义域和值域：函数的定义域是指能够使函数有意义的所有输入值的集合，值域是所有函数可能的输出值的集合。
3. 函数的图像：函数的图像是将函数的输入和输出对应起来的一种形象表示。
在平面直角坐标系中，函数的图像是一条曲线或者直线。
4. 函数的性质：函数可以是奇函数、偶函数或者普通函数。
奇函数满足 f(-x) = -f(x)；偶函数满足 f(-x) = f(x)；普通函数不满足奇偶性质。
5. 函数的性质：函数可以是单调递增函数、单调递减函数、增函数或者减函数。
单调递增函数满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；单调递减函数满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2；增函数在定义域上满足 f(x1) < f(x2) 当且仅当 x1 < x2；减函数在定义域上满足 f(x1) > f(x2) 当且仅当 x1 < x2。
6. 反函数：函数的反函数将函数的输入和输出颠倒过来，即输入变为输出，输出变为输入。
反函数的定义域和值域与原函数相反。
7. 复合函数：复合函数是两个或多个函数的组合。
复合函数的定义域是能够使复合函数有意义的所有值的集合。
8. 基本初等函数：基本初等函数包括常函数、一次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
这些函数具有特定的性质和图像特征。
9. 函数的运算：函数之间可以进行加减乘除和求导等运算。
函数的运算结果仍然是一个函数，具有相应的性质和图像特征。
以上是第三章关于函数的知识点总结。
在学习函数时，需要理解函数的概念和性质，掌握常见的函数类型和图像特征，以及函数的运算和组合等操作。
同时，还需要通过练习题和实例来巩固和应用所学知识。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
高一数学第3章知识点笔记
高一数学第3章知识点笔记数学是一门需要理解和掌握的学科，而高中数学更是对基础知识的进一步拓展和应用。
高一数学的第3章是关于函数的学习，本文将对该章节中的知识点进行笔记整理。
1. 函数的定义和表示方法函数是两个集合间的一种特殊关系，通常用f(x)表示。
其中，x被称为自变量，f(x)是与之对应的因变量。
函数可以用各种图形、表格或公式来表示和描述。
2. 函数的性质（1）定义域与值域：定义域是指自变量的取值范围，值域是指所有可能因变量的取值范围。
（2）奇偶性：函数可以根据函数图像的对称性来判断奇偶性。
若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若既不满足偶函数也不满足奇函数的条件，则函数为非奇非偶函数。
（3）单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
可分为递增和递减。
若对于任意x1，x2，若x1 < x2，则f(x1) ≤f(x2)，则函数为递增；若x1 < x2，则f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减。
（4）周期性：如果存在正数T，使得对于所有x，有f(x) = f(x + T)，则函数是周期函数。
3. 基本初等函数高一数学学习的初等函数包括常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
（1）常函数：f(x) = c，其中c为常数。
它的图像是一条平行于x轴的直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为常数。
它的图像形状由n的奇偶性决定。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
（4）对数函数：f(x) = logₐx，其中a>0且a≠1。
对数函数是指数函数的逆运算。
（5）三角函数：包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
（6）反三角函数：以函数的值作为自变量，求出相应的角度。
高一第三章函数知识点
高一第三章函数知识点函数是数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中起到了至关重要的作用。
本文将对高一第三章函数的知识点进行详细介绍。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素与另一个集合的元素进行对应。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系三个要素。
其中定义域是自变量可能取值的集合，值域是函数可能取得的值的集合，对应关系将定义域中的元素和值域中的元素进行对应。
函数有几个重要的性质，包括单调性、奇偶性和周期性。
单调性指的是函数在定义域上是递增或递减的，奇偶性指的是函数的对称性，周期性指的是函数在一定区间内满足周期重复的性质。
二、常见的函数类型常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
1. 线性函数：线性函数的图像是一条直线，其一般形式为y =kx + b，其中k和b为常数。
线性函数的特点是斜率恒定，函数图像是一条直线。
2. 二次函数：二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于零。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由二次项系数a的正负决定。
3. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x，其中a为常数且a大于零且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
4. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数，其一般形式为y= loga(x)，其中a为常数且a大于零且不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的图像是周期性的曲线。
三、函数的性质与运算函数有很多重要的性质和运算。
其中，函数的奇偶性是一个重要的性质，它可以通过函数的表达式或图像进行判断。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，即关于原点对称；偶函数满足f(-x) = f(x)，即关于y轴对称。
函数之间可以进行多种运算，包括函数的和、差、积和商。
两个函数的和（差）是指将两个函数的对应值相加（相减）而得到的新函数；两个函数的积是指将两个函数的对应值相乘而得到的新函数；两个函数的商是指将两个函数的对应值相除而得到的新函数。
第3章函数的概念与性质知识点清单高一上学期数学湘教版
新教材湘教版2019版数学必修第一册第3章知识点清单目录第3章函数的概念与性质3. 1 函数3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值3. 2. 2 函数的奇偶性3. 1 函数一、函数的概念1. 函数的有关概念2. 两个函数相等两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U 都有f(x)=g(x)时，叫作相等. 也就是说，即使两个函数的对应关系形式上相同，但定义域不同，那么它们不是同一个函数.二、表示函数的方法三、简单的分段函数一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数.四、已知函数解析式求定义域 (1)如果函数的解析式是整式，那么在没有特殊说明的情况下，函数的定义域是实数集R.(2)如果函数解析式中含分式或0次幂，那么函数的定义域应使分母或0次幂的底数不为零.(3)如果函数解析式中含偶次根式，那么函数的定义域应使偶次根式有意义.(4)如果函数解析式是由几部分式子混合运算后构成，那么函数的定义域应使各部分式子都有意义，定义域为各部分自变量取值集合的交集.(5)由实际背景确定的函数，其自变量的值不仅要使解析式本身有意义，还要考虑自变量的实际意义.五、求抽象函数的定义域 1. 求抽象函数的定义域应明确的几点(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围.(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围.(3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在相同的对应关系f下的取值范围相同.2. 抽象函数定义域的求解方法(1)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，实质是已知φ(x)的取值范围为A，求x 的取值范围.(2)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，实质是已知x的取值范围为B，求φ(x)的取值范围，此范围就是f(x)的定义域.(3)已知f(φ(x))的定义域为C，求f(g(x))的定义域，实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C，求出φ(x)的取值范围D，再令g(x)的取值范围为D，求出g(x)中x的取值范围，此范围就是f(g(x))的定义域.六、函数的求值问题 1. 求自变量的值为a时的函数值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x并进行计算，即得f(a) 的值.(2)已知函数f(x)与g(x)的解析式，求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则.注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义. 2. 已知函数值a，求自变量的对应值的方法(1)已知函数f(x)的解析式时，列方程f(x)=a并求解，即可得到函数值为a时自变量的对应值.(2)已知函数f(x)与g(x)，求f(g(x))=a中的x的值时，可以由内到外，也可由外到内进行求解.七、函数解析式的求法 1. 当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式. 解题步骤如下：(1)设出含有待定系数的解析式. 如一次函数解析式设为f(x)=ax+b(a≠0)；反比例函数解析式设为f(x)=k(k≠0)；二次函数解析式可根据条件设为x①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，②顶点式：f(x)=a(xh)2+k(a≠0)，③交点式：f(x)=a(xx1)(xx2)(a≠0).(2)根据已知条件列出关于待定系数的方程或方程组.(3)解方程或方程组，得到待定系数的值.(4)将所求待定系数的值代入所设的解析式并化简整理.2. 函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式.(1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x) 中的x.(2)换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此将x用含t的式子表示，得出x=h(t)，将x=h(t)代入f(g(x))，得到f(t)的解析式，再用字母x替换字母t，便可得到f(x)的解析式.(3)配凑法：将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解析式，然后把g(x)整体代换为x，即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是整式、分式、根式等.)或f(x)的关系式，可根据已知条件再构造出另外(4)消元法(方程组法)：已知f(x)与f(1x一个等式，二者组成方程组，通过解方程组求出f(x).(5)赋值法：依题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而根据找出的一般规律求出函数解析式. 此方法主要适用于抽象函数求解析式.八、如何理解与解决分段函数问题 1. 正确理解分段函数(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2)处理分段函数的求值问题时，一定要明确自变量的取值属于哪一个区间.(3)分段函数的定义域是各段的“定义域”的并集，其值域是各段的“值域”的并集.(4)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量在区间端点处的取值情况. 2. 分段函数的求值策略(1)已知自变量的值求函数值的步骤：①确定自变量属于哪一个区间；②代入相应段的解析式求值. 当出现f(f(x0))(x0为自变量的某个值)的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知函数值求对应的自变量的值，可分别利用各段函数的解析式求得自变量的值，但应注意检验各段求出的值是否在本段函数的定义域内. 也可先判断每一段上的函数值的范围，确定相应的解析式后再求解.3. 2 函数的基本性质3. 2. 1 函数的单调性与最值一、函数的最值1. 设D是函数f(x)的定义域，I是D的一个非空的子集. 如不加说明，我们认为I是个区间.2. 如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=a处取到最大值M=f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点.3. 如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x=b处取到最小值N=f(b)，称N为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点.4. 最大值和最小值统称为最值.二、函数的单调性具有(严格的)单调性，区间I叫作y=f(x)的单调区间.三、函数单调性的判断与证明 1. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间I上的单调性的一般步骤第一步：取值，设x1，x2是区间I内的任意两个值，且x1<x2.第二步：作差，即f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1)).第三步：变形，通过因式分解、配方、分母有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.第四步：判断正负，确定f(x1)f(x2)(或f(x2)f(x1))的正负，当正负不确定时，需进行分类讨论.第五步：下结论，指出函数f(x)在给定的区间I上的单调性.注意：第一步强调取值的任意性；第二步也可以用作商法比较；第三步是关键，在变形时一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个非负数的和的形式.2. 函数单调性的等价变形>0⇔f(x)在I上是增函数；任取x1，x2∈I，且x1≠x2，那么(x1x2)·[f(x1)f(x2)]>0⇔f(x1)−f(x2)x1−x2(x1x2)[f(x1)f(x2)]<0⇔f(x1)−f(x2)<0⇔f(x)在I上是减函数.x1−x23. 常见函数的单调性由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x))，其单调性的判断方法如下表：相异时单调递减.四、函数单调性的应用 1. 利用函数的单调性解不等式(1)利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的概念，将符号f“脱掉”，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.(2)解有关抽象函数的不等式问题的一般步骤：①将不等式化为f(x1)<f(x2)的形式，其中x1，x2在f(x)的定义域D内；②若函数f(x)是D上的增函数，则x1<x2，若函数f(x)是D上的减函数，则x1>x2.2. 利用函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)利用单调性的定义：在单调区间内任取x1，x2，且x1<x2，由f(x1)f(x2)<0(或f(x1)f(x2)> 0)恒成立求参数的取值范围.(2)利用具体函数本身所具有的特征：如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式，解不等式求参数的取值范围.注意：若某个函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.根据分段函数的单调性求参数的取值范围时，一般从两方面考虑：一方面，每个分段区间上的函数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面，要考虑分界点处函数值之间的大小关系，由此列出另外的式子，从而解得参数的取值范围.五、求二次函数最值的常见类型及解法 1. 求二次函数的最大(小)值有两种类型：一种是函数的定义域为实数集R，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；另一种是函数的定义域为某一区间，这时二次函数的最大(小)值由它的单调性确定，而单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，需要进行分类讨论.2. 求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况：(1)若b2a 在区间[m，n]内，则最小值为f(−b2a)，最大值为f(m)，f(n)中的较大者.(2)若b2a<m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m).(3)若b2a>n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n).3. 2. 2 函数的奇偶性一、偶函数、奇函数的定义1. 用图象特征描述函数的奇偶性(1)如果F(x)的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，就称F(x)是偶函数.(2)如果F(x)的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，就称F(x)是奇函数.2. 用数学符号语言描述函数的奇偶性(1)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为偶函数.(2)如果对一切使F(x)有定义的x，F(x)也有定义，并且F(x)=F(x)成立，则称F(x)为奇函数.二、如何判断函数的奇偶性 1. 判断函数奇偶性的常见方法(1)定义法：(2)图象法：2. 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，必须判断每一段函数是否都具有相同的奇偶性，也可以作出函数图象，结合对称性判断.三、函数奇偶性的应用 1. 由函数的奇偶性求参数(1)函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用.(2)若函数解析式中含参数，则根据f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求参数的值；若定义域的表示中含参数，则根据定义域关于原点对称，利用关于原点对称的区间端点值之和为0求参数的值.2. 由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若函数具有奇偶性，则利用f(x)=f(x)或f(x)=f(x)求解；若所给的函数不具有奇偶性，一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值.3. 由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤(1)在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间.(2)把x对称转化到已知解析式的区间上，利用已知的解析式进行代入.(3)利用函数的奇偶性把f(x)改写成f(x)或f(x)，从而求出f(x).四、函数奇偶性与单调性的综合应用 1. 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.2. 利用函数的奇偶性与单调性比较不同单调区间内的函数值的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的一个单调区间内，然后利用单调性比较.3. 利用函数的奇偶性与单调性解决不等式问题时，一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的单调性列出不等式(组)，要注意函数的定义域对参数的影响.。
高一数学第三章知识点总结
高一数学第三章知识点总结高一数学人教版第三章知识点总结一、函数的概念1. 函数的定义- 设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y = f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
- 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{y|y = f(x),x∈ A}叫做函数的值域。
2. 函数的三要素- 定义域：- 分式函数分母不为0，如y=(1)/(x)，定义域为{x|x≠0}。
- 偶次根式函数被开方数非负，如y = √(x)，定义域为{x|x≥slant0}。
- 对数函数y=log_{a}x(a>0,a≠1)，定义域为(0,+∞)。
- 对应关系：- 函数的对应关系决定了函数的性质和图象特征。
例如y = x^2和y=(x + 1)^2，它们的对应关系不同，图象形状相同但位置不同。
- 值域：- 求值域的方法有观察法、配方法、换元法等。
例如对于函数y=x^2+2x + 3=(x + 1)^2+2，因为(x + 1)^2≥slant0，所以y≥slant2，值域为[2,+∞)。
二、函数的表示法1. 解析法- 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y = 2x+1，y=(1)/(x^2)等。
优点是简明、全面地概括了变量间的关系；便于理论分析和计算。
2. 图象法- 用图象表示两个变量之间的对应关系，如一次函数y = kx + b(k≠0)的图象是一条直线。
图象法的优点是直观形象地表示函数的变化趋势。
3. 列表法- 列出表格来表示两个变量之间的对应关系，例如某城市一天内不同时刻的气温表。
列表法的优点是不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
三、函数的单调性1. 增函数与减函数的定义- 设函数y = f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x_{1},x_{2}，当x_{1}<x_{2}时，都有f(x_{1})<f(x_{2})，那么就说函数y =f(x)在区间D上是增函数；当x_{1}<x_{2}时，都有f(x_{1})>f(x_{2})，那么就说函数y = f(x)在区间D上是减函数。
高一第三章函数知识点总结
高一第三章函数知识点总结函数是数学中的基础概念之一，也是高中数学中的核心内容之一。
在高一学习过程中，我们接触到了许多与函数相关的知识点，掌握了函数的定义、性质以及一些常用的函数类型。
接下来，我将对高一第三章的函数知识点进行总结。
一、函数的定义和性质函数是一种对应关系，通过给定的自变量得到相应的函数值。
在数学中，可以用数学公式来表示函数。
通常，我们用f(x)来表示函数，其中f是函数名，x是自变量。
函数的定义域是指自变量的取值范围，函数的值域是指函数在定义域内的所有可能取到的值。
函数值域的求解通常需要根据函数的性质和定义域进行分析。
在函数的图象上，自变量通常表示横轴，函数值通常表示纵轴。
一个函数的图象是由所有的函数值点构成的。
二、常用的函数类型1. 一次函数一次函数是最简单的函数之一。
它的形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
一次函数的图象是一条直线，斜率决定了函数的倾斜程度。
2. 二次函数二次函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图象为抛物线，开口方向和开口程度由系数a的正负值决定。
3. 三角函数三角函数是周期函数的一种，常见的有正弦函数和余弦函数。
它们的图象是波浪形状的曲线，具有周期性。
4. 指数函数与对数函数指数函数的形式为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
它的图象是增长或衰减的曲线。
对数函数是指数函数的逆运算，表示为f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为函数值。
它的图象是一条递增或递减的曲线。
三、函数的性质和应用函数的性质有很多，这里只介绍一些常见的。
1. 函数的奇偶性如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = f(x)，则称函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x，函数满足f(-x) = -f(x)，则称函数为奇函数。
如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称为非奇非偶函数。
2. 函数的单调性函数的单调性可以分为递增和递减。
函数知识点高一第三章
函数知识点高一第三章一、引言函数是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要内容。
在高一第三章函数知识点中，我们将学习函数的定义、性质及其应用等内容。
本文将介绍高一第三章函数知识点的核心内容，帮助读者更好地理解和掌握函数的基本概念和相关知识。
二、函数的定义和性质1. 函数的定义：函数是一个数学概念，用于描述两个变量之间的一种特定关系。
在函数中，一个自变量的值唯一确定一个因变量的值，表示为y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f表示函数关系。
2. 函数的性质：（1）定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
（2）奇偶性：函数关系在定义域内的对称性，称为函数的奇偶性。
（3）单调性：函数关系在定义域内的增减性，称为函数的单调性。
（4）周期性：函数关系满足一定周期性的性质，称为函数的周期性。
三、常见函数类型及其图像1. 一次函数（线性函数）：一次函数是函数关系中最简单的一种类型，表达式为y = kx + b。
其中k和b为常数，k表示斜率，b表示截距。
2. 二次函数（抛物线函数）：二次函数是函数关系中常见的一种类型，表达式为y = ax^2 +bx + c。
其中a、b、c为常数，a不为零。
3. 幂函数：幂函数是函数关系中的一种类型，表达式为y = x^a。
其中a为常数，且a不为零。
4. 指数函数：指数函数是函数关系中的一种类型，表达式为y = a^x。
其中a为常数，且a大于0且不等于1。
5. 对数函数：对数函数是函数关系中的一种类型，表达式为y = logₐ(x)。
其中a为常数，且a大于0且不等于1。
四、函数的应用1. 函数的建模：函数在实际问题中的应用，常常需要通过建立函数模型对问题进行描述和求解。
比如建立速度与时间关系的函数模型、温度与时间关系的函数模型等。
2. 函数的最值：函数的最值是指在定义域内，函数所能取到的最大值和最小值。
通过对函数表达式的分析，可以求得函数的最值，进而对实际问题进行推导和解答。
数学第三章函数知识点总结
数学第三章函数知识点总结在数学中，函数是一种特殊的数学关系，它描述了两个变量之间的对应关系。
函数在数学中扮演着非常重要的角色，它们被广泛应用于各种数学领域和实际问题中。
在数学的第三章中，我们将学习如何定义和描述函数，以及函数的性质和应用。
1. 函数的定义函数是一种特殊的数学关系，它将一个或多个输入映射到一个输出。
这种映射可以用一个数学公式、图形、表格或者文字描述。
函数通常用f(x)的形式表示，其中x是输入，f(x)是输出。
函数也可以用其他变量表示，如y = f(x)。
在数学中，函数通常有两个集合：定义域和值域。
定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
函数将定义域中的元素映射到值域中的元素。
2. 函数的表示函数可以通过各种方式来表示，最常见的是用表格、图形和公式来描述。
在函数的图形表示中，我们通常使用直角坐标系来显示函数的图像。
函数的图像是一条曲线，它显示了输入和输出之间的关系。
函数的表格表示中，我们列出了函数的输入和输出值。
函数的公式表示中，我们用数学公式来描述输入和输出之间的关系。
3. 函数的性质函数有许多重要的性质，这些性质可以帮助我们理解和分析函数。
其中一些重要的性质包括：- 定义域和值域：函数的定义域是所有可能的输入值的集合，值域是所有可能的输出值的集合。
- 单调性：函数的单调性描述了函数的增减趋势。
一个函数有可能是递增的（y随x的增加而增加）或者是递减的（y随x的增加而减小）。
- 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数在坐标系中的对称性。
一个函数有可能是奇函数（f(-x) = -f(x)）或者是偶函数（f(-x) = f(x)）。
- 周期性：周期函数是一种具有周期性的函数，它的图像在特定的区间内会周期性地重复。
4. 函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，它们被应用于各种数学领域和实际问题中。
在微积分中，函数被用来描述曲线的斜率、凹凸性和积分。
在代数中，函数被用来解方程和不等式。
函数的基本性质ppt课件
证明或判断函数单调性的方法步骤
例二：根据定义证明函数
复习巩固
1．若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增 函数，则实数a的取值范围是什么？ 练习：如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞) 上是增函数，则b的取值范围为( ) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3
一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，若存在实数M，则满足：
由图像可知，二次函数y=x²的图像上有最低点(0,0) (1)∀x∈I,都有f(x)≤M
即∀x∈R，都有f(x)≥f(0)
(2)∀x0∈I,都有f(x0)=M
那么称M是y=f(x)的最大值
则说明，函数f(x)的图像有最低点时，就有最小值
2.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b. (1)若函数f(x)的图象过点(1,4)和(2,5)，求f(x)的解析式． (2)若函数f(x)在区间[1,2]上不单调，求实数a的取值范围.
把本题(2)条件“不单调”改为“单调”， 求实数a的取值范围．
打开课本81页
小结：本节课你学到了什么？
函数的最值：
问题：观察以下图像，图像有什么特点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
像这样，函数图像在某个区间保持上升（或下降） 的性质叫做函数的单调性
研究二次函数f(x)=x2的单调性 为什么f(x1)>f(x2)?
为什么f(x1)>f(x2)?
研究二次函数f(x)=x2的单调性 请你用符号语音描述y轴右侧的性质特征
思考：函数y=-x2的单调性是怎样？如何描 述 y=|x|的单调性呢？
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间
函数单调性的定义
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 特别的，当函数f(x)在它的定义域上单调递增 时，我们就称它为增函数
高一第三章函数整理知识点
高一第三章函数整理知识点函数是数学中一个重要的概念，它在很多数学问题的解决中起到了关键作用。
高一的学生们在学习函数时需要掌握一些基本的知识点，本文将对高一第三章函数的相关知识进行整理和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握函数的概念和性质。
一、函数的定义和表示方法函数是一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
函数的定义可以用文字描述，也可以用公式表示。
常见的表示方法有：1. 用函数符号表示，比如 f(x)、g(x)等。
其中，f表示函数的名称，x表示自变量，f(x)表示函数对应于自变量x的因变量的值。
2. 用表格表示，将自变量和对应的因变量的值列成一张表格，如下所示：| 自变量x | 因变量f(x) ||--------|----------|| x1 | f(x1) || x2 | f(x2) || x3 | f(x3) |3. 用图像表示，将自变量和对应的因变量的值绘制在坐标系中，从而得到函数的图像。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数在定义域上的所有可能的因变量的值的集合。
2. 单调性：函数的单调性指的是函数在定义域上的增减关系。
若函数在定义域内递增，则称为递增函数；若函数在定义域内递减，则称为递减函数。
3. 奇偶性：函数的奇偶性指的是函数的对称性。
若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；否则，函数为非奇非偶函数。
4. 零点：对于函数f(x)，若存在一个数a，使得f(a) = 0，则称a为函数的零点。
5. 极值和最值：函数在定义域内取得的最大值和最小值分别称为函数的最大值和最小值，它们统称为极值。
三、常见的函数类型和函数图像的特点1. 一次函数（线性函数）：一次函数的函数表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数，k称为斜率，决定了函数的倾斜方向和程度；b称为截距，决定了函数的图像在y轴上的位置。
高一函数第三章知识点总结
高一函数第三章知识点总结函数是数学中一个重要而广泛应用的概念，它在高中数学学习中也占据着重要的地位。
在高一的数学学习过程中，我们学习了函数的基本概念、性质以及相关的图像和应用。
以下是对高一函数第三章知识点的总结。
1. 函数的定义及基本性质函数是一个将一个或多个数域中的元素映射到另一个数域中的元素的规则。
在函数中，我们通常用字母表示自变量，用另一个字母表示因变量。
函数的表示方式可以是显式的、隐式的或者是通过表格给出。
一个函数可以表示为 f(x)，其中 f 表示函数名称，x 表示自变量。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性和有界性等。
2. 函数的图像和性质函数的图像是函数在直角坐标系中的图形表示。
通过观察函数的图像，我们可以获得函数的性质和特点。
例如，函数的增减性和极值点可以通过图像来确定。
在高一的学习中，我们主要学习了一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的图像和性质。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距；二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，具有顶点和对称轴；幂函数的图像可能是一条直线或者是曲线，具有一些特殊的变化规律；指数函数的图像是一条递增或递减的曲线，具有一个特定的底数。
3. 函数的运算在函数的运算中，我们主要学习了函数的四则运算、复合函数和反函数。
函数的四则运算指的是函数之间的加减乘除运算。
两个函数的和、差、积和商仍然是函数，其定义域和值域也需要根据运算的规则相应调整。
复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，形成一个新的函数。
复合函数的定义域和值域需要根据两个函数的定义域和值域进行限制。
函数的反函数是指根据原函数的定义域和值域，通过交换自变量和因变量，得到一个新的函数。
反函数具有原函数的逆运算性质。
4. 函数方程与应用函数方程是给定函数特定性质的方程。
在高一的学习中，我们主要学习了一次函数方程和二次函数方程。
一次函数方程是指形如 y = kx + b 的方程，其中 k 和 b 是常数。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质知识点总结函数的基本性质基础知识：1.奇偶性1）定义：如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数；如果对于函数 $f(x)$ 定义域内的任意 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。
如果函数 $f(x)$ 不具有上述性质，则 $f(x)$ 不具有奇偶性。
如果函数同时具有上述两条性质，则 $f(x)$ 既是奇函数，又是偶函数。
注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 $x$，则 $-x$ 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系；③作出相应结论：若 $f(-x) =f(x)$ 或 $f(-x)-f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(-x)+f(x) = 0$，则 $f(x)$ 是奇函数。
3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴成轴对称；②设 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域分别是 $D_1$，$D_2$，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇2.单调性1）定义：一般地，设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$，如果对于定义域 $I$ 内的某个区间 $D$ 内的任意两个自变量$x_1$，$x_2$，当 $x_1f(x_2)$），那么就说 $f(x)$ 在区间$D$ 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间 $D$ 内的任意两个自变量 $x_1$，$x_2$；当 $x_1<x_2$ 时，总有 $f(x_1)<f(x_2)$。
函数的简单性质
03 函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意 一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
周期函数的性质
周期函数具有一些特殊的性质，如最小正周期、周期函数 的图像等。
周期函数的判定方法
代数法
通过代数运算判断函数是否 满足f(x+T)=f(x)。
导数法
利用导数判断函数是否具有 周期性。
三角函数法
利用三角函数的周期性质判 断其他函数的周期性。
常见周期函数的性质
正弦函数和余弦函数：最小正周期为 2π，图像关于y轴对称。
奇函数和偶函数的性质
奇函数在原点有定义，即 $f(0)=0$。
偶函数的图像关于y轴对 称。
奇函数的图像关于原点对 称。
奇函数在对称区间上的积 分为0，偶函数在对称区间 上的积分为其在对称轴上 函数值的2倍。
奇偶性的判定方法
定义法
根据奇偶性的定义进行判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断其奇偶性。
代数法
函数的简单性质
目录
• 函数的定义与表示 • 函数的单调性 • 函数的奇偶性 • 函数的周期性 • 函数的极限 • 函数的连续性
01 函数的定义与表示
函数的定义
函数是一种特殊的对应关系，它由一个或多个非空数集A中的每一个元素x，对应到 另一个数集B中的唯一确定的元素y。
函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
函数知识点总结初三上册
函数知识点总结初三上册一、函数的概念函数是一种对应关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
在数学中，我们通常用自变量表示输入的值，用因变量表示输出的值。
函数通常用f(x)表示，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数的定义域是指自变量可以取的值的范围，值域是指因变量可以取的值的范围。
二、函数的性质1. 单调性：函数的单调性是指函数的增减性质。
如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则称函数是单调增加的；如果对于任意的x1<x2，有f(x1)>f(x2)，则称函数是单调减少的。
2. 奇偶性：如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)，则称函数是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)，则称函数是偶函数。
3. 周期性：如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数有周期T。
三、函数的图像函数的图像是指函数在直角坐标系中的几何表示。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和特点。
常见的函数图像包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
四、函数的运算法则1. 复合函数：如果存在函数f和g，那么复合函数f(g(x))表示先对x进行g函数的运算，再对得到的结果进行f函数的运算。
2. 函数的加减乘除：如果函数f和g都定义在某个集合上，那么函数f+g、f-g、f*g、f/g分别表示函数f和g的加减乘除运算。
3. 反函数：如果函数f的定义域为A，值域为B，且在B上单射，则称f在B上有反函数。
反函数通常用f^-1(x)表示，它满足f(f^-1(x))=x。
总之，函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。
通过学习函数的概念、性质、图像和运算法则，我们能更好地理解数学中的诸多问题，并且在实际生活中能够更好地应用数学知识解决问题。
希望大家能够认真学习函数的知识，掌握函数的基本概念和运用技巧。
高一物理第三章函数知识点
高一物理第三章函数知识点函数是数学中非常重要的概念，它在物理学中的应用也非常广泛。
本文将介绍高一物理第三章中与函数相关的知识点，包括函数的定义、性质以及常见的函数类型等。
一、函数的定义与性质函数是自变量和因变量之间的一种特殊的对应关系。
一般来说，函数可以用如下的方式表示：y = f(x)其中，x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数。
函数具有以下的性质：1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量取值的范围，值域是因变量的取值范围。
2. 单调性：函数在定义域内可能是递增的、递减的或者保持不变的。
3. 奇偶性：函数可能是奇函数（关于原点对称）或者偶函数（关于y轴对称），也可能是既不奇也不偶的函数。
4. 周期性：有些函数具有周期性，即在一段特定区间内，函数值按照某种规律重复出现。
二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数的图像是一条直线。
常见的线性函数是一次函数，表示为：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
线性函数的特点是自变量的一次方和因变量存在线性关系。
2. 二次函数：二次函数的图像是一条抛物线。
常见的二次函数形式有两种：y = ax² + bx + c （一般式）y = a(x - h)² + k （顶点式）其中，a为二次函数的系数，h、k分别为抛物线的顶点坐标。
二次函数的图像可以是开口向上或者开口向下的抛物线。
3. 幂函数：幂函数的图像通常呈现出幂函数曲线的特点，形式为：y = ax^b其中，a和b分别为幂函数的系数。
幂函数的特点是自变量的指数次方和因变量存在关系。
4. 指数函数：指数函数的图像通常呈现出指数函数曲线的特点，形式为：y = a^x其中，a为底数。
指数函数的特点是自变量作为底数的指数和因变量存在关系。
5. 对数函数：对数函数的图像通常呈现出对数函数曲线的特点，形式为：y = logₐx其中，a为底数。
对数函数的特点是自变量作为真数，底数为底数的对数和因变量存在关系。
函 数 的 基 本 性 质 和 特 征
函 数 的 基 本 性 质 和 特 征一．函数的基本性质1. 函数的单调性：1212),,f x D x x D x x ∈<函数（的定义域为，任给，且 1212)(0f x f x x x ->-（）若1212()(()())0x x f x f x ⇔-->，则函数)f x （是单调递增函数；12121212)(0()(()())0f x f x x x f x f x x x -<⇔--<-（）若，则函数)f x （是单调递减函数； 2. 函数的奇偶性：函数)f x （的定义域为D ，D 关于原点为对称，()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=---∈---若（则为奇函数。
或）则为奇函数。
()),(),,(=(),()f x f x f x x a a x D f x a f a x f x -=--∈--若（则为奇偶函数。
或）则为偶函数。
3. 函数的周期性：(=()()f x T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。
(=()()f kx T f x f x T +若），则函数是以为周期的周期函数。
(=()()f x T f x f x T +-若），则函数是以2为周期的周期函数。
1(=()()f x T f x T f x +若），则函数是以2为周期的周期函数。
1(=()()f x T f x T f x +-若），则函数是以2为周期的周期函数。
(=()()m f x T m f x T f x +-≠若），(0),则函数是以2为周期的周期函数。
()()T f x T f x ϖϖ若的周期是，则的周期为。
1(()()21(f x f x T f x T f x -+=+），则是以为周期的周期函数。
） 1(()()1(f x f x T f x T f x -+=-+），则是以4为周期的周期函数。
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第三单元 函数的简单性质课前练习1．f (x )＝－x 2＋mx 在(－∞，1]上是增函数，则m 的取值范围是A ．{2}B ．(－∞，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，1] [答案] C[解析] f (x )＝－(x －m2)2＋m 24的增区间为(－∞，m 2]，由条件知m2≥1，∴m ≥2，故选C.2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 的定义域为[a －1,2a ]的偶函数，则a ＋b 的值是A ．0 B.13C ．1D ．－1 [答案] B[解析] 由函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，得b ＝0，并且a －1＝－2a ，即a ＝13，∴a ＋b 的值是13.3.若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为A ．{x |x >3或－3<x <0}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3} [答案] C[解析] 由于f (x )是偶函数，∴f (3)＝f (－3)＝1，f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴当x >0时，f (x )<1即为f (x )<f (3)，∴x >3，当x <0时，f (x )即f (x )<f (－3)，∴x <－3，故选C.4．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()01212<--x x x f x f ，则A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) [答案] A[解析] 若x 2－x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数， ∵3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)， 又f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)， ∴f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.5．设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝A ．0B ．1 C.52D ．5 [答案] C[解析] f (1)＝f (－1＋2)＝f (－1)＋f (2)＝12，又f (－1)＝－f (1)＝－12，∴f (2)＝1，∴f (5)＝f (3)＋f (2)＝f (1)＋2f (2)＝52.6．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝()()()()()()⎩⎨⎧<≥x g x f x f x g x f x ,,g ，则F (x )的最值是A ．最大值为3，最小值－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值 [答案] B [解析] 作出F (x )的图象，如图实线部分，知有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.7．如果f (x )是定义在R 上的偶函数，它在[0，＋∞)上是减函数，那么下述式子中正确的是A ．f ⎝⎛⎭⎫－34≤f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝⎛⎭⎫－34≥f (a 2－a ＋1) C ．f ⎝⎛⎭⎫－34＝f (a 2－a ＋1) D ．以上关系均不确定 8．二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3.(1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求a 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )为二次函数且f (0)＝f (2)， ∴对称轴为x ＝1.又∵f (x )最小值为1，∴可设f (x )＝a (x －1)2＋1 (a >0)∵f (0)＝3，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －1)2＋1，即f (x )＝2x 2－4x ＋3. (2)由条件知2a <1<a ＋1，∴0<a <12.例题分析例1、(1)定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x fA 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 (2)．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小 例2：已知8)(35-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f _______ 例3：①判断下列各函数的奇偶性(1).1)(23--=x x x x f (2).2)(x x f = []2,1-∈x (3)x x x f -+-=22)(②指出下列函数的单调区间()x x y 41+= ()xx y 42-= ()32223++-=x x y ()x x y 442+-=例4：已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解析式？例5．定义在(－1,1)上的函数f (x )满足：对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，求证：f (x )为奇函数．证明：由x ＝y ＝0得f (0)＋f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋01＋0×0＝f (0)， f (0)＝0，任取x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)f (x )＋f (－x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －x 1＋(－x )·x ＝f (0)＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )在(－1,1)上是奇函数．例6．设函数f (x )在定义域R 上总有f (x )＝－f (x ＋2)，且当－1<x ≤1时，f (x )＝x 2＋2.(1)当3<x ≤5时，求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(3,5]上的单调性，并予以证明． [解析] (1)∵f (x )＝－f (x ＋2)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x )＝f [(x －2)＋2]＝－f (x －2)＝－f [(x －4)＋2]＝f (x －4)． ∵－1<x ≤1时，f (x )＝x 2＋2， 又∵当3<x ≤5时，－1<x －4≤1， ∴f (x －4)＝(x －4)2＋2.∴当3<x ≤5时，f (x )＝(x －4)2＋2.(2)∵函数f (x )＝(x －4)2＋2的对称轴是x ＝4，∴函数f (x )＝(x －4)2＋2在(3,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增． 证明：任取x 1，x 2∈(3,4]，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝[(x 1－4)2＋2]－[(x 2－4)2＋2]＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－8)． ∵3<x 1<x 2≤4，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2－8<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 故函数y ＝f (x )在(3,4]上单调递减． 同理可证函数在[4,5]上单调递增．例7..若f(x)是定义在（0, +∞）上的增函数，且对一切x, y>0，满足f(yx)=f(x)－f(y). （1）求f(1)的值；（2）若f(6)=1，解不等式f(x+3)－f(31)<2. 解：（1）令x=y=1⇒f(1)=0课时练习31.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5)3.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t ) ＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 5．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是A ]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f << 7．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 8．函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上递减，则实数a 的取值范围A ．3a ≥-B ．3a ≤-C ．5a ≤D ．3a ≥ 9．如果奇函数f (x )在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f (x )在[－7，－3]上是A ．增函数，最小值为－5B ．增函数，最大值为－5C ．减函数，最小值为－5D ．减函数，最大值为－5解析：奇函数在定义域及对应定义域上的单调性一致，f (－3)＝－f (3)＝－5.答案：B 10．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函 数，则f （1）＝ 。