江苏省扬州市江都区砖桥中学高三数学理月考试题含解析

江苏省扬州市江都区砖桥中学高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在等差数列{a n}中，，，则{a n}的前6项和为（）
A. 6
B. 9
C. 10
D. 11
参考答案：
B
【分析】
利用等差数列{a n}通项公式列方程组求出a1，d，由此能求出{a n}的前6项和．
【详解】∵在等差数列{a n}中，a5，a2+a4＝2，
∴，
解得a1，d，
∴{a n}的前6项和S6的值：
615×1．
故选B．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．
2. 已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是:( )
A. 若m//n，nα，则m// α
B. 若α⊥β,αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.
C.若l⊥n ，m⊥n, 则l//m
D. 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β
参考答案：
D
略
3. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图示程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数）．若输出的结果为786，则由此可估计π的近似值为（）A．3.126 B．3.144 C．3.213 D．3.151
参考答案：
B
4. 已知函数，若存在正数满足，使在的值域为
，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 已知实数x，y满足，则的最大值为（）
A．7 B．1 C. 10 D．0
参考答案：
C
由约束条件作出可行域如图，
由题得A（10，0），
化目标函数z=x+为y=﹣2x+2z，由图可知，当直线y=﹣2x+2z过点A时，直线在y轴上的
截距最大，z有最大值为10．
故答案：C
6. 在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD= 60o，E为CD的中点．若·=1，则AB的长为
A．B．C．1 D．2
参考答案：
B
略
7. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）
A．24里B．12里C．6里D．3里
参考答案：
C
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
【解答】解：记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比的等比数列，
由S6=378，得，解得：a1=192，∴，
故选：C．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．
8. 设都是正数，，，则的大小关系是 ( )．
A． B． C．
D．
参考答案：
A
略
9. 函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，则f（1），f（2.5），f
（3.5）的大关系是（）
A．f（2.5）＜f（1）＜f（3.5）B．f（2.5）＞f（1）＞f（3.5）C．f（3.5）＞f（2.5）＞f（1）D．f（1）＞f（3.5）＞f（2.5）
参考答案：
B
【考点】3F：函数单调性的性质；3J：偶函数．
【分析】根据函数y=f（x+2）是偶函数，知x=2是其对称轴，又函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，可知其在（2，4）上为减函数，
而2.5，3.5∈（2，4），1?（2，4），而f（1）=f（3），根据函数的单调性可得结果．
【解答】解：因为函数y=f（x）在（0，2）上是增函数，函数y=f（x+2）是偶函数，
所以x=2是对称轴，在（2，4）上为减函数，
f（2.5）＞f（1）=f（3）＞f（3.5）．
故选B．
【点评】考查函数的奇偶性和单调性，并且根据函数的单调性比较函数值的大小，属基础题．
10. 设函数有两个极值点，若点为坐标原点，点
在圆上运动时，则函数图象的切线斜率的最大值为
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
D
考点：1、利用导数研究函数的切线斜率；2、数形结合切线斜率的最值.
【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率数、形结合切线斜率的最值，属于难题. 求曲线切线的方程一般步骤是：（1）求出在
处的导数，即
在点
出的切线
斜率（当曲线
在
处的切线与
轴平行时，在
处导数不存在，切线方程为
）；
（2）由点斜式求得切线方程
.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将最小正周期为的函数的图象向左平移
个
单位，得到偶函数图象，则满足题意的
的一个可能值为。

参考答案：
12. 函数的定义域为_____▲____
．
参考答案：
13. 已知函数
①若
，则实数
； ②在①的条件下，若直线与
的图象有且只有一个交点，则实数
的取值范围
是 ．
参考答案：
① -1；②
【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】因为
①
②
由图可知
故答案为：① -1；②
14. 在△OAB 中，O 为坐标原点，A (1，cos θ)，B (sin θ，1)，θ∈(0，
]，则当△OAB 的面积达到最大
值时，θ等于_________________.
参考答案：
略
15.
点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 。

参考答案：
答案:
16. 如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1，O2，分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点．则异面直线AF与所成的角的余弦值为
参考答案：
17. 已知集合，则▲．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数。

（1）若，求函数的最大值和最小值，并写出相应的x的值；
（2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值。

参考答案：19. 山东省《体育高考方案》于2012年2月份公布，方案要求以学校为单位进行体育测
试，某校对高三1班同学按照高考测试项目按百分制进行了预备测试，并对50分以上
的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若90～100分数段的人数为2人.
(Ⅰ) 请估计一下这组数据的平均数
M；
(Ⅱ) 现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第
五组)中任意选出两人，形成一个小组.若选出的两人成绩差大于20，则称这两人为“帮扶
组”，试求选出的两人为“帮扶组”的概率.
参考答案：
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：50～60分的频率为0.1，60～70分的频率为0.25，
70～80分的频率为0.45，80～90分的频率为0.15，90～100分的频率为
0.05；…………………………………………………………………… 2分
∴这组数据的平均数M=55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73（分）
…………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）∵90～100分数段的人数为2人，频率为0.05；
∴参加测试的总人数为=40人，…………………………………… 5分
∴50～60分数段的人数为40×0.1=4人，………………………………… 6分
设第一组50～60分数段的同学为A1,A2,A3,A4；第五组90～100分数段的同学为
B1,B2…………………………………………………………………… 7分
则从中选出两人的选法有：
(A1，A2)，(A1，A3),(A1，A4),(A1，B1),(A1，B2),(A2，A3),(A2，A4),(A2，B1),(A2，B2),(A3，
A4),(A3，B1),(A3，B2),(A4，B1),(A4，B2),(B1，B2)，共15种；……
…………………………………………………………………………………9分
其中两人成绩差大于20的选法有：(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1),(A2,B2),
(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2)共8种……………………………………… 11分
则选出的两人为“帮扶组”的概率为P=……………………………… 12分
略
20. (12分)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
参考答案：
解(1)令x1＝x2>0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
由于当x>1时，f(x)<0，
所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，
因此f(x1)<f(x2)，
所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．
(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数，
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．
由f ＝f(x1)－f(x2)得f＝f(9)－f(3)，
而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.
∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.
略
21. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且，.
（1）求a n；
（2）若数列{b n}满足：，，求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）等差数列的公差设为，根据条件列式求解即可；
（2）根据条件可得，进而利用等比数列求和公式求和即可.
【详解】（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，，
可得，，解得，，
则；
（2）数列满足：，，
可得，，即为，可得，
则前项和.
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的求解，属于基础题.
22. x的二次方程x2+z1x+z2+m=0中,z1，z2，m均是复数，且z－4z2=16+20i，设这个方程的两个根α、β，满足|α－β|=2,求|m|的最大值和最小值.
参考答案：
7+，7－
解：设m=a+bi(a，b∈R)．则△=z12－4z2－4m=16+20i－4a－4bi=4[(4－a)+(5－b)i]．设△的平方根为u+vi．(u，v∈R)
即(u+vi)2=4[(4－a)+(5－b)i]．
|α－β|=2，?|α－β|2=28，?|(4－a)+(5－b)i|=7，?(a－4)2+(b－5)2=72，
即表示复数m的点在圆(a－4)2+(b－5)2=72上，该点与原点距离的最大值为7+，最小值为7－．。