蕲春县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

蕲春县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）
A．34种B．35种C．120种D．140种
2．若函数y=f（x）是y=3x的反函数，则f（3）的值是（）
A．0B．1C．D．3
3．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（）
A．k＞7B．k＞6C．k＞5D．k＞4
5．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）
A ．i ≤5？
B ．i ≤4？
C ．i ≥4？
D ．i ≥5？
6． 复数Z=（i 为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，3）
C ．（3，﹣1）
D ．（2，4）
7． +（a ﹣4）0有意义，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ≥2
B ．2≤a ＜4或a ＞4
C ．a ≠2
D ．a ≠48． 直线在平面外是指（
）
A ．直线与平面没有公共点
B ．直线与平面相交
C ．直线与平面平行
D ．直线与平面最多只有一个公共点
9． 设变量x ，y 满足约束条件
，则目标函数z=4x+2y 的最大值为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．210．，分别为双曲线（，）的左、右焦点，点在双曲线上，满足，1F 2F 22
221x y a b
-=a 0b >P 120PF PF ⋅=
若 ）12PF F ∆
C. D. 11
+【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．
11．函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，当a 变动时，函数b=g （a ）的图象可以是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．若动点分别在直线： 和：上移动，则中点所),(),(2211y x B y x A 、011=-+y x 2l 01=-+y x AB M 在直线方程为（
）A ． B ． C ． D ．
06=--y x 06=++y x 06=+-y x 06=-+y x 二、填空题
13．在矩形ABCD 中，
=（1，﹣3），，则实数k= ．
14．已知函数f （x ）=
，则关于函数F （x ）=f （f （x ））的零点个数，正确的结论是 ．（写出你认为正确的所有结论的序号）
①k=0时，F （x ）恰有一个零点．②k ＜0时，F （x ）恰有2个零点．
③k ＞0时，F （x ）恰有3个零点．④k ＞0时，F （x ）恰有4个零点．
15．设向量a ＝（1，－1），b ＝（0，t ），若（2a ＋b ）·a ＝2，则t ＝________．
16．椭圆
的两焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为 ．　
17．设，在区间上任取一个实数，曲线在点处的切线斜率为，则随机()x x f x e
=[0,3]0x ()f x ()00,()x f x k 事件“”的概率为_________.0k <18．已知两个单位向量满足：，向量与的夹角为，则 .,a b 12
a b ∙=- 2a b - cos θ=三、解答题
19．（本小题满分12分）椭圆C ：＋＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，A ，B x
2a 2y 2
b 2
是C 的长轴上的两个顶点，已知|PF |＝1，k PA ·k PB ＝－.12（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的中心O 的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求三角形PMN 面积的最大值，并求此时l 的方程．20．已知椭圆E ：
+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为，点（，）在椭圆E
上．（1）求椭圆E 的方程；
（2）设过点P （2，1）的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，若AB 的中点恰好为点P ，求直线l 的方程．　
21．本小题满分10分选修：不等式选讲
45-已知函数．
2()log (12)f x x x m =++--Ⅰ当时，求函数的定义域；
7=m )(x f Ⅱ若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
x 2)(≥x f R m
22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，∠A1AD=．若O
为AD的中点，且CD⊥A1O
（Ⅰ）求证：A1O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）线段BC上是否存在一点P，使得二面角D﹣A1A﹣P为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由．　
23．在△ABC中，cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，试求该三角形面积的最大值．
24．已知函数f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）．
（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，求f（x）的值域．
蕲春县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣
=34种．
故选：A．
【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
2．【答案】B
【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，
∴函数y=3x的反函数为y=f（x）=log3x，
所以f（9）=log33=1．
故选：B．
【点评】本题给出f（x）是函数y=3x（x∈R）的反函数，求f（3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图
【试题解析】由题知：
所以m可以取：0，1，2．
故答案为：C
4．【答案】C
【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前1 0
第一圈2 2 是
第二圈3 7 是
第三圈4 18 是
第四圈5 41 是
第五圈6 88 否
故退出循环的条件应为k＞5？
故答案选C．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
5．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
i=1，sum=0，s=0
满足条件，i=2，sum=1，s=
满足条件，i=3，sum=2，s=+
满足条件，i=4，sum=3，s=++
满足条件，i=5，sum=4，s=+++=1﹣+﹣+﹣+﹣=．
由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4．
故选：B．
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
6．【答案】A
【解析】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，
∴，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
8．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D ．
9． 【答案】B
【解析】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z 取得最大值10．
10．【答案】D 【解析】∵，∴，即为直角三角形，∴，120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥12PF F ∆222212124PF PF F F c +==，则，
12||2PF PF a -=222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-.所以内切圆半径
2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-12PF F ∆
，外接圆半径.，整理，得12122
PF PF F F r c +-==R c =c =
，∴双曲线的离心率，故选D.2(4c a
=+1e =+11．【答案】B
【解析】解：根据选项可知a ≤0
a 变动时，函数y=2|x|的定义域为[a ，b]，值域为[1，16]，
∴2|b|=16，b=4
故选B ．
【点评】本题主要考查了指数函数的定义域和值域，同时考查了函数图象，属于基础题．
12．【答案】D
【解析】
考点：直线方程
二、填空题
13．【答案】　4　．
【解析】解：如图所示，
在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，
∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），
∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平面向量的数量积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．
14．【答案】　②④　
【解析】解：
①当k=0时，，当x≤0时，f（x）=1，则f（f（x））=f（1）==0，
此时有无穷多个零点，故①错误；
②当k＜0时，（Ⅰ）当x≤0时，f（x）=kx+1≥1，
此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）当0＜x≤1时，，此时
f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，可得：x=，满足；
（Ⅲ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1＞0，此时无零点．
综上可得，当k＜0时，函数有两零点，故②正确；
③当k＞0时，（Ⅰ）当x≤时，kx+1≤0，此时f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：，满足；
（Ⅱ）当时，kx+1＞0，此时f（f（x））=f（kx+1）=，令f（f（x））=0，可得：x=0，满足；
（Ⅲ）当0＜x≤1时，，此时f（f（x））=f（）=，令f（f（x））=0，
可得：x=，满足；
（Ⅳ）当x＞1时，，此时f（f（x））=f（）=k+1，令f（f（x））=0得：x=
＞1，满足；
综上可得：当k＞0时，函数有4个零点．故③错误，④正确．
故答案为：②④．
【点评】本题考查复合函数的零点问题．考查了分类讨论和转化的思想方法，要求比较高，属于难题．
15．【答案】
【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1）
＝2×1＋（－2＋t）·（－1）
＝4－t ＝2，∴t ＝2.
答案：2
16．【答案】　20　．
【解析】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF 2的周长=4a ．
∴△PQF 2的周长=20．，
故答案为20．
【点评】作出草图，结合图形求解事半功倍．
17．【答案】3
5
【解析】解析：本题考查几何概率的计算与切线斜率的计算．
，由得，，∴随机事件“”的概率为．0001()x x k f x e -'==
0()0f x '<01x >0k <23
18．【答案】．【解析】
考点：向量的夹角．
【名师点睛】平面向量数量积的类型及求法
（1）求平面向量的数量积有三种方法：一是定义；二是坐标运算公式
cos a b a b θ⋅= ；三是利用数量积的几何意义．1212a b x x y y ⋅=+ （2）求较复杂的平面向量的数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相减公式进行化简
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：
（1）可设P 的坐标为（c ，m ），
则＋＝1，c 2a 2m 2b 2
∴m ＝±，b 2a ∵|PF |＝1 ，
即|m |＝1，∴b 2＝a ，①
又A ，B 的坐标分别为（－a ，0），（a ，0），
由k PA ·k PB ＝－得12·＝－，即b 2＝a 2，②b 2a c ＋a b 2a c －a 1212由①②解得a ＝2，b ＝，
2∴椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 22
（2）当l 与y 轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P 的坐标为P （，1），此时S △PMN ＝×2×＝212222.
当l 不与y 轴重合时，设其方程为y ＝kx ，代入C 的方程得＋＝1，即x ＝±，x 24k 2x 2221＋2k 2
∴y ＝±，2k 1＋2k 2即M （，），N （，），21＋2k 22k 1＋2k 2－21＋2k 2－2k 1＋2k 2∴|MN |＝ (41＋2k 2)2
＋(4k 1＋2k 2)
2 ＝4，1＋k 21＋2k
2点P （，1）到l ：kx －y ＝0的距离d ＝，∴S △PMN ＝|MN |d ＝·2|2k －1|k 2＋112124·1＋k 21
＋2k 2|2k －1|k 2＋1＝2·＝2 |2k －1|1＋2k 22k 2＋1－22k 1＋2k 2
＝2 ，1－22k 1＋2k 2
当k ＞0时，≤＝1，22k 1＋2k 222k 22k 此时S ≥0显然成立，
当k ＝0时，S ＝2.
当k ＜0时，≤＝1，－22k 1＋2k 21＋2k 21＋2k 2
当且仅当2k 2＝1，即k ＝－时，取等号．22此时S ≤2，综上所述0≤S ≤2.
22即当k ＝－时，△
PMN 的面积的最大值为2，此时l 的方程为y ＝－x .22222
20．【答案】 【解析】解：（1）由题得=
， =1，又a 2=b 2+c 2，
解得a 2=8，b 2=4．∴椭圆方程为：．（2）设直线的斜率为k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
∴
， =1，两式相减得
=0，∵P 是AB 中点，∴x 1+x 2=4，y 1+y 2=2，
=k ，代入上式得：4+4k=0，解得k=﹣1，
∴直线l ：x+y ﹣3=0．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、中点坐标坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】
【解析】Ⅰ当时，函数的定义域即为不等式的解集.[来 由于7m =)(x f 1270x x ++-->，或，1(1)(2)70x x x ≤-⎧⎨-+--->⎩12(1)(2)70
x x x -<<⎧⎨+--->⎩
或. 所以，无解，或. 2(1)(2)70
x x x ≥⎧⎨++-->⎩3x <-4x > 综上，函数的定义域为)(x f (,3)(4,)
-∞-+∞ Ⅱ若使的解集是，则只需恒成立.
2)(≥x f R min (124)m x x ≤++--由于
124(1)(2)41x x x x ++--≥+---=- 所以的取值范围是.
m (,1]-∞-22．【答案】
【解析】满分（13分）．
（Ⅰ）证明：∵∠A 1AD=
，且AA 1=2，AO=1，∴A 1O=
=，…（2分）
∴+AD 2=AA 12，∴A 1O ⊥AD ．…（3分）
又A 1O ⊥CD ，且CD ∩AD=D ，
∴A 1O ⊥平面ABCD ．…（5分）
（Ⅱ）解：过O 作Ox ∥AB ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz （如图），
则A （0，﹣1，0），A 1（0，0，
），…（6分）设P （1，m ，0）m ∈[﹣1，1]，平面A 1AP 的法向量为=（x ，y ，z ），∵=， =（1，m+1，0），
且
取z=1，得=．…（8分）又A 1O ⊥平面ABCD ，A 1O ⊂平面A 1ADD 1
∴平面A 1ADD 1⊥平面ABCD ．
又CD ⊥AD ，且平面A 1ADD 1∩平面ABCD=AD ，
∴CD ⊥平面A 1ADD 1．
不妨设平面A 1ADD 1的法向量为
=（1，0，0）．…（10分）
由题意得==，…（12分）
解得m=1或m=﹣3（舍去）．
∴当BP 的长为2时，二面角D ﹣A 1A ﹣P 的值为．…（13分）
【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想．
23．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵cos2A﹣3cos（B+C）﹣1=0．
∴2cos2A+3cosA﹣2=0，…2分
∴解得：cosA=，或﹣2（舍去），…4分
又∵0＜A＜π，
∴A=…6分
（2）∵a=2RsinA=，…
又∵a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc，
∴bc≤3，当且仅当b=c时取等号，…
∴S△ABC=bcsinA=bc≤，
∴三角形面积的最大值为．…
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+（1﹣2sin2x）=sin2x+cos2x
=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+），
由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）得：kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
故f（x）的单调减区间为：[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
（Ⅱ）当x∈[﹣，]时，（2x+）∈[0，]，2sin（2x+）∈[0，2]，
所以，f（x）的值域为[0，2]．。