2022年北京市新高考数学试题及答案解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U
A =（ ）
A ．(2,1]-
B ．(3,2)
[1,3)-- C ．[2,1)- D ．(3,2](1,3)--
2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．25
3．若直线210x y +-=是圆2
2
()1x a y -+=的一条对称轴，则a =（ ）
A ．
12 B ．1
2
- C ．1 D ．1- 4．已知函数1
()12x
f x =
+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x -+= B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3
f x f x --=
5．已知函数2
2
()cos sin f x x x =-，则（ ） A ．()f x 在ππ,26⎛⎫-
- ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在ππ,412⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 在π0,
3⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减 D ．()f x 在π7π,412⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
6．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和
lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确
的是（ ）
A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态
B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态
C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态
D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态
8．若4
4
3
2
43210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ） A ．40 B ．41 C ．40- D ．41-
9．已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC △及其内部的点构成的集合．设集合{5}T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）
A ．
3π
4
B ．π
C ．2π
D ．3π 10．在ABC △中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC △所在平面内的动点，且
1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是（ ）
A ．[5,3]-
B ．[3,5]-
C ．[6,4]-
D ．[4,6]-
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11．函数1
()f x x
=
+_________．
12．已知双曲线2
2
1x y m
+
=的渐近线方程为3y x =±，则m =__________．
13．若函数()sin f x A x x =-的一个零点为π
3
，则A =________；π12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
________．
14．设函数2
1,,
()(2),.
ax x a f x x x a -+<⎧=⎨
-≥⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．
15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==．给出
下列四个结论：
①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1
100
的项． 其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题13分）
在ABC △中，sin 2C C =． （I ）求C ∠；
（II ）若6b =，且ABC △的面积为ABC △的周长． 17．（本小题14分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，
2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．
（I ）求证：MN ∥平面11BCC B ；
（II ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值． 条件①：AB MN ⊥； 条件②：BM MN =．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题13分）
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含
950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、
丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （I ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（II ）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望EX ；
（III ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
19．（本小题15分）
已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为
（I ）求椭圆E 的方程；
（II ）过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值． 20．（本小题15分）
已知函数()ln(1)x
f x x =+e ．
（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（II ）设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； （III ）证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+． 21．（本小题15分）
已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,
,}n m ∈，在
Q 中存在12,,,
,(0)i i i i j a a a a j +++≥，使得12i i i i j a a a a n ++++++
+=，则称Q 为m -
连续可表数列．
（I ）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； （II ）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4； （III ）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a ++
+<，求证：7k ≥．
2022年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学答案解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合的补集运算，属于基础题．
【解答】
解：易得C U A=(−3,−2]∪(1，3)．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查复数的基本运算，属于基础题．
【解答】
=−4−3i，所以|z|=5．
解：由条件可知z=3−4i
i
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
【解答】
解：若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，圆心坐标(a,0)，所以由2a+0−1=0解．
得a=1
2
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了指数的运算
求出f(−x)，通过运算，判断选项即可
【解答】
解：由f(x)=1
1+2x ，可得f(−x)=1
1+2−x
=2x
2x+1
，所以得f(−x)+f(x)=2x+1
2x+1
=1．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查判断余弦型函数的单调性，二倍角的余弦公式，属于基础题．【解答】
解：f(x)=cos2x−sin2x=cos2x，
选项A中：2x∈(−π,−π
3
)，此时f(x)单调递增，
选项B中：2x∈(−π
2,π
6
)，此时f(x)先递增后递减，
选项C中：2x∈(0,2π
3
)，此时f(x)单调递减，
选项D中：2x∈(π
2,7π
6
)，此时f(x)先递减后递增．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查充分必要条件的判断，属于中档题．
【解答】
解： ①充分性证明：
若{a n}为递增数列，则有对∀n∈N∗，a n+1>a n，公差d=a n+1−a n>0，故数列中从某项开始后均为正数且数列递增，则存在正整数N0，当n>N0时，a n> 0，
充分性成立；
 ②必要性证明：
若存在正整数N0，当n>N0时，a n>0，
∵a n=a1+(n−1)d，若d<0，则数列中从某项开始后均为负数，
此时无法满足存在正整数N0，当n>N0时，a n>0，又d≠0，
若d>0，此时{a n}为递增数列，则存在正整数N0，当n>N0时，a n>0，可满足条件，
所以“{a n}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，a n>0”的充要条件．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查对数运算的实际应用，函数图象的应用，属于中档题．
【解答】
解：A选项：4>lgP=lg1026>3，T=220，由图易知处于固态;
B选项：3>lgP=lg128>2，T=270，由图易知处于液态;
C选项：lgP=lg9987≈3.999，T=300，由图易知处于固态;
D选项：3>lgP=lg729>2，T=360，由图易知处于超临界状态;
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二项式，取1和−1代入即可，属于基础题．
【解答】
解：当x=1时，1=a4+a3+a2+a1+a0 ①;
当x=−1时，81=a4−a3+a2−a1+a0 ②;
 ①+ ②，可得a0+a2+a4=41
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查投影的相关知识，属于基础题．
【解答】
解：过点 P 作底面射影点 O ，则由题意， CO =2√3 ， PC =6;
∴PO =2√6 ，当 CO 上存在一点 Q 使得 PQ =5 ，此时 QO =1 ，则动点 Q 在以 QO 为半径， O 为圆心的圆里， 所以面积为 π
10.【答案】D
【解析】 【分析】
解：法一：建立如图所示坐标系，
由题易知，设 C(0,0) ， A(3,0) ， B(0,4) ， ∵PC =1 ， ∴ 设 P(cosθ,sinθ) ， θ∈[0,2π)
PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−cosθ,−sinθ)⋅(−cosθ,4−sinθ)=−3cosθ−4sinθ+cos 2θ+sin 2θ =1−5sin(θ+φ)(sinφ=3
5,cosφ=4
5)∈[−4 ， 6]
法二：注意： <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|π2−<CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >| ，且 CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗
=(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB
⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PC
⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB
⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ >+0 =1−3cos <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >−4sin <CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA
⃗⃗⃗⃗⃗ >
=1−5sin[<CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >+φ] 其中， φ∈(0,π
2) ， tanφ=3
4 ．
∴−4≤PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤6
【解答】
本题考查平面向量的数量积计算
法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解 法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解
11.【答案】(−∞,0)∪(0,1]
【解析】 【分析】
本题考查求函数的定义域，属于基础题． 【解答】
解：依题意 {x ≠0,
1−x ≥0,
解得 x ∈(−∞,0)U(0,1] ．
12.【答案】−3
【解析】 【分析】
本题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题． 【解答】 解：双曲线 y 2+
x 2m
=1 的渐近线方程为 y =√−m ，故 m =−3 ．
13.【答案】1
−√2
【解析】 【分析】
本题考查辅助角公式，函数零点的概念，属于基础题． 【解答】
解：由题意知： f(π
3)=Asin π
3−√3cos π
3=√3
2A −√3
2
=0 ，解得 A =1 ．
f(x)=sinx −√3cosx =2sin(x −π
3) ， f(π
12)=2sin(π
12−π
3)=2sin(−π
4)=−√2 ．
14.【答案】0(答案不唯一)
1
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的取值问题，题目较难．
【解答】
解：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以0，2为分界点研究函数的性质，
当a<0时，f(x)=−ax+1，x<a，该段的值域为(−∞,−a2+1)，故整个函数没有最小值;
当a=0时，f(x)=−ax+1，x<a该段的值域为{1}，而f(x)=(x−2)2，x⩾a的值域为[0,+∞)，故此时f(x)的值域为[0,+∞)，即存在最小值为0，故第一个空可填写0;
当0<a⩽2时，f(x)=−ax+1，x<a，该段的值域为(−a2+1,+∞)，而
f(x)=(x−2)2，x≥a的值域为[0,+∞)，若存在最小值，则需满足−a2+1≥0，于是可得0<a⩽1;
当a>2时，f(x)=−ax+1，x<a，该段的值域为(−a2+1,+∞).而f(x)= (x−2)2，x≥a的值域为[(a−2)2,+∞)，若存在最小值，则需满足−a2+1⩾(a−2)2，此不等式无解。

综上，a的取值范围是[0,1]，故a的最大值为1．
15.【答案】 ① ③ ④
【解析】
【分析】
本题考查数列的性质，属于中档题．
【解答】
解：n=1，可得a12=9，又各项均为正，可得a1=3，令n=2可得a2(3+a2)= 9，可解得a2=3(√5−1)
2
<3，故 ①正确;
当n≥2时，由S n=9a
n 得S n−1=9a
n−1
，于是可得a n=9a
n
−9
a n−1
，即a n
a n−1
=9−a n2
9
，
若{a n}为等比数列，则n≥2时a n+1=a n，即从第二项起为常数，可检验n=3则
不成立，固②错误;
a n⋅S n=9(n=1,2⋯).可得a n⋅S n=a n+1·S n+1，于是a n+1
a n =S n
S n+1
<1，所以
a n+1<a n，于是③正确；
若所有项均大于1
100，取n>90000，则a n≥1
100
，S n>900，于是a n⋅S n>9，
与已知矛盾，所以 ④正确。

16.【答案】解：(1)sin2C=√3sinC，
2sinCcosC=√3sinC，
cosC=√3
2
，
∵0<C<π
∴∠C=π
6
．
(2)∵S△ABC=6√3，
∴1
2
absinC=6√3，
a=4√3，
由余弦定理得c2=a2+b2−2abcosC
c=2√3，
所以△ABC的周长为6√3+6．
【解析】本题考查了解三角形与三角恒等变换
(1)利用二倍角正弦公式进行计算，根据三角形内角的取值范围即可求解
(2)利用三角形面积公式与余弦定理解三角形，即可求得三角形周长17.【答案】解：(1)取BC中点D，连接B1D，DN，
在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1//AB，A1B1=AB．
因为M，N，D分别为A1B1，AC，BC的中点，
所以B1M//AB，B1M=1
2AB，DN//AB，DN=1
2
AB，
即B1M//DN且B1M=DN，
所以四边形B1MND为平行四边形，因此B1D//MN．又MN⊄平面BCC1B1，B1D⊂平面BCC1B1，
所以MN//平面BCC1B1．
(2)选条件 ①:
因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以CB ⊥BB 1， 又因为平面BCC 1B 1⊥平面ABB 1A 1， 且平面BCC 1B 1∩平面ABB 1A 1=BB 1， 所以CB ⊥平面A BB 1A 1，
而AB ⊂平面ABB 1A 1，所以CB ⊥AB ．
由(1)得B 1D//MN ，又因为AB ⊥MN ，所以AB ⊥B 1D ， 而B 1D ∩CB =D ，所以AB ⊥平面BCC 1B 1， 又BB 1⊂平面BCC 1B 1，故AB ⊥BB 1．
在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BA ，BC ，BB 1两两垂直，
故分别以BC ，BA ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 因为AB =BC =BB 1=2，则B(0,0,0)，N(1,1,0)，M(0,1,2)，A(0,2,0)，
所以BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 设平面BMN 的法向量n
⃗ =(x,y,z)， 由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，得{x +y =0,y +2z =0,令x =2，得n
⃗ =(2,−2,1)． 设直线AB 与平面BMN 所成角为θ， 则sinθ=|cos⟨n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=
|n ⃗⃗ ⋅AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=
|4|3×2
=2
3
，
所以直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值为2
3． 选条件 ②:
因为侧面BCC 1B 1为正方形，所以CB ⊥BB 1， 又因为平面BCC 1B 1⊥平面ABB 1A 1， 且平面BCC 1B 1∩平面ABB 1A 1=BB 1， 所以CB ⊥平面A BB 1A 1，
而AB ⊂平面ABB 1A 1，所以CB ⊥AB ． 取AB 中点H ，连接HM ，HN ．
因为M ，N ，H 分别为A 1B 1，AC ，AB 的中点， 所以B 1B//MH ，CB//NH ，而CB ⊥BB 1，故NH ⊥MH ． 又因为AB =BC =2，所以NH =BH =1． 在△MHB ，△MHN 中，BM =NM ，BH =NH ，公共边MH ，
那么△MHB ≌△MHN ，
因此∠MHB =∠MHN =90∘，即MH ⊥AB ，故B 1B ⊥AB ． 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BA ，BC ，BB 1两两垂直，
故分别以BC ，BA ，BB 1为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系， 因为AB =BC =BB 1=2，则B(0,0,0)，N(1,1,0)，M(0,1,2)，A(0,2,0)， 所以BN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)， 设平面BMN 的法向量n
⃗ =(x,y,z)， 由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，得{x +y =0,
y +2z =0,令x =2，得n ⃗ =(2,−2,1)． 设直线AB 与平面BMN 所成角为θ，
则sinθ=|cos⟨n ⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|4|3×2=23
， 所以直线AB 与平面BMF 所成角的正弦值为2
3．
【解析】本题考查线面平行的判定，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意得：
设“甲在校运会铅球比赛中获优秀奖”为事件A ．
比赛成绩达到9.50m 以上获优秀奖，甲的比赛成绩达到9.50以上的有：9.80，9.70.9.55，9.54四个．
所以，甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4 (2) X 所有可能取值为0，1，2，3．
甲在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为P(A)=0.4．
乙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件B ，则P(B)=0.5． 丙在校运会铅球比赛中获优秀奖的概率为事件C ，则P(C)=0.5． P(X =0)=0.6×0.5×0.5=0.15，
P(X =1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4， P(X =2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35， R(X =3)=0.4×0.5×0.5=0.1，
EX =0×0.15+1×0.4+2×0.35+3×0.1=1.4;
(3)丙获得冠军的概率估计值最大．
【解析】本题考查了相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量期望的求解与应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)依题意可知：{b =1
2c =2√3a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，故椭圆E 的方程为：x 2
4+y 2=1;
(2)由题可设直线方程为：y −1=k(x +2)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 联立直线和椭圆E 方程：{y −1=k(x +2)
x 24
+y 2
=1，可得 (1+4k 2)x 2+(16k 2+8k)x +16k 2+16k =0，由Δ>0可得 (16k 2+8k)2−4×(1+4k 2)(16k 2+16k)>0，解得k <0， 根据韦达是理可得：x 1+x 2=−(16k 2+8k)1+4k 2
，x 1x 2=
16k 2+16k 1+4k 2
直线AB 的斜率为k AB =
y 1−1x 1
，AB 的直线方程尚y =
y 1−1x 1
x +1，
令y =0，可得点M 的横坐标x M =x
11−y 1，同理可得点N 的横坐标x N =x
2
1−y 2． 则有|MN|=|x 11−y 1
−x 21−y 2
|=|x 1−k(x 1
+2)−x 2
−k(x 2
+2)|=|1
k (x 2
x
2
+2
−x 1
x 1+2
)|
=|1
k ·
x 2(x 1+2)−x 1(x 2+2)x 1x 2+2(x 1+x 2
)+4
|=|1
k ．2(x 2−x 1)
x 1x 2+2(x 1+x 2)+4
|=2
即|1
k ．(x 2−x 1)
x
1x 2+2(x 1+x 2)+4
|=1
∵|(x 2−x 1)|=√(x 1+x 2
)2
−4x 1x 2=√(
−(16k 2+8k )1+4k 2)2−4·16k 2+16k 1+4k 2=
√−64k
1+4k 2
x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=16k 2+16k 1+4k 2+2(−16k 2−8k 1+4k 2)+4=
4
1+4k 2
∴|MN|=|1
k
2√−k|=1
即|√−k k |=1
2
，两边平方则有−1
k =1
4，解解k =−4．
故k 的值为−4．
【解析】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，属于综合题．
20.【答案】解：(1)由题，f′(x)=e x ⋅ln(1+x)+e x ⋅1
1+x =e x (ln(1+x)+1
1+x )，
故f′(0)=e 0(ln(1+0)+1
1+0)=1，f(0)=e 0ln(1+0)=0，
所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x; (2)由(1)知，g(x)=e x(ln(1+x)+1
1+x
)，x∈[0,+∞)，
则g′(x)=e x(ln(1+x)+21+x−1
(1+x)2
)，
设ℎ(x)=ln(1+x)+21+x−1
(1+x)2
，x∈[0,+∞)，
则ℎ′(x)=1
1+x −2
(1+x)2
+2
(1+x)3
=x2+1
(1+x)3
>0
故ℎ(x)在[0,+∞)上递增，
故ℎ(x)≥ℎ(0)=1>0，
因此g′(x)>0对任意x∈[0,+∞)恒成立，
故g(x)在[0,+∞)上单调递增;
(3)设m(s)=f(s+t)−f(s)−f(t)=e s+t ln(1+s+t)−e s ln(1+s)−e t ln(1+t)，
则m′(s)=e s+t(ln(1+s+t)+1
1+s+t )−e s(ln(1+s)+1
1+s
)=g(s+t)−g(s)，
由(2)，g(x)在[0,+∞)上单调递增，
故s>0，t>0时，m′(s)=g(s+t)−g(s)>g(t)−g(0)>g(0)−g(0)=0，
因此，m(s)在(0,+∞)上递增，
故m(s)>m(0)=f(0+t)−f(0)−f(t)=−f(0)=0，
因此，对任意的s，t∈(0,+∞)，有f(s+t)>f(s)+f(t)．
【解析】本题将指对函数以乘法的方式联系到一起，构思新颖。

第(Ⅱ)问判断导函数符号可以求二阶导，
也可以直接放缩处理;第(Ⅲ)问借助(Ⅱ)的结论可以快速得到结果．
21.【答案】解：(1)由于2+1=3，1+4=5，故Q为5−连续可表数列.而Q数列无法找到连续的若干个数和为6，故Q不是6−连续可表数列．
(2)当k≤3时，至多可以表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3
这6个数，不符题意.当k=4时，取数列Q:3，1，4，2满足题意.故k的最小值为4．(3)先证k≥6.若k≤5，则至多可以表示15个数，不符题意．
当k=6时，由于a1+a2+⋯+a k<20，故数列中存在为负的项，
且仅有一个为负的项，不妨设该项为a i(i∈{1,2,3,4,5,6})，因此
数列中一定存在若干项正数的和为20.由于对称性，我们只需考察i=1，2，3的情况．(i)当i=2时，由于a1+a2+⋯+a6<20，而数列中一定有若干个连续整数和为20，因此a1或a3+a4+a5+a6为连续若干个数的和中最大的数．
而由于6个数的数列Q最多能表示21个数，且其中有一个为负，因此除了a i以外，其它连续若干个数的和分别表示1，2，⋯，20，
故有a1+a2，a2+a3+a4+a5+a6∈{1,2,⋯,20}.若a1为连续若干个数的和中最大的数，
则a1+a2+⋯+a6>a1，矛盾.若a3+a4+a5+a6为连续若干个数中的最大的数，同理可得矛盾．
(ii)当i=3时，与i=2同理，不符合题意．
(iii)当i=1时，则连续若干个数的和中最大的数为a2+a3+⋯+a6=20，那么有：19∈{a1+a2+⋯+a6,a2+a3+a4+a5,a3+a4+a5+a6}.由前文分析可知a1+
a2>0，
因此19∈{a1+a2+⋯+a6,a2+a3+a4+a5}.
若a1+a2+⋯+a6=19，则a1=−1.如果a2+a3+a4+a5=18，
那么a6=2，并且此时a3+a4+a5+a6=17，有a2=3，则a6=a1+a2，矛盾．
如果a3+a4+a5+a6=18，那么a2=2，并且此时a2+a3+a4+a5=17，有a6=3.下面我们考察a3，a4，a5．
注意到a3+a4+a5=15且a3，a4，a5≠1，2，3，则{a3,a4,a5}={4,5,6}，
并且由于a2+a3=a3+2，a1+a2+a3=a3+1，由不重复的原则可知
a3=6.如有a4=4，a5=5，那么a5+a6=8=a2+a3，矛盾;如有a4=5，a5=4，那么a5+a6=7=a1+a2+a3，矛盾.故该假设不成立．
若a2+a3+a4+a5=19，那么a6=1，并且有a1+a2+⋯+a6=18并且a3+a4+ a5+a6=17，
则此时a1=−2，a2=3，那么此时a1+a2=a6，矛盾.故该假设不成立．
因此k≠6.综上所述，k≥7.
【解析】本题考查数列的新定义问题，属于难题．。