类比推理

浅析类比推理在数学教学中的运用（文献综述）摘要本文综述了类比推理的研究历程及意义，收集了1985年到2013年发表的若干文献，详述了类比推理在数学教学上的运用归类，并提出类比推理值得进一步探讨的问题。

关键词类比推理；数学教学运用；归纳；总结一、引言类比推理是由两个或两类对象在某些属性上相同或相异,推出它们在其他方面也可能相同的推理方法。

类比推理是一种很重要的推理方法和科学方法,无论过去和现在,在科学研究和生产实践中,特别是在现代科学技术中发挥着极其重要的作用。

德国哲学家黑格尔说:“类推的方法很应分地在经验科学里占很高的地位,而且科学家也曾依这种推论方法获得很重要的结果。

”¹德国著名的天文学家开普勒也十分推崇类比法。

他说:“我最珍视类比,它是我最可靠的老师。

”事实愈来愈证明其观点的正确性。

科学史上不乏成功运用类比的范例:牛顿把行星与苹果类比发现了万有引力定律;阿基米德把王冠与人体作类比,发现了浮力定律;鲁班被有齿尖的茅草割破手指类比联想发明了锯子。

在数学领域里也有许多类比的事实,如平面与空间的类比,数与式的类比,有限与无限的类比,同态与同构的类比等等。

类比在数学研究中发挥了重大的作用,那么,我们把类比推理应用到教学中去同样具有现实的指导意义。

比如,一个教师在教授解析几何中“椭圆”这一节时,学生突然冒出一个问题:“我们在课本上讲行星运行的轨迹是椭圆,可是我在参考书上看到行星运行的轨迹应该是‘相对于太阳是椭圆’,为什么说‘相对于太阳是椭圆’呢?”行星、太阳都是离我们遥不可及的天体,难以想象。

如何给学生一个满意的答案呢?教师“眉头一皱,计上心头”,先在黑板上画了个图,并提出问题:“火车正以速度V匀速前进,你正在火车上绕着如图的椭圆跑步,那么,你此时相对于火车车厢的运动轨迹是不是椭圆?你相对于地面的运动轨迹又是什么呢?”此时,学生已不需回答这个间题就已经能够理解了。

通过这样的类比,学生不仅获取了知识,更重要的是,耳濡目染之后,学生在思考问题的方法上上了一个新的台阶。

二、类比推理的研究现状及展望1、用哲学的观点看类比推理首先,辩证唯物主义告诉我们世界是普遍联系的,这种普遍联系又常常表现为一种相似性,即普遍联系的客观事物在各自的发展过程中,以及他们之间的关系中存在着大量的相似现象、相似性质、相似的规律,而且相似的基因、相似的条件和相似的环境往往会产生出相似的结果。

客观事物发展过程中的这种相似在人的思维过程也就具有了相似的反映,即思维的相似律。

在数学中的相似表现有几何相似、关系相似、结构相似、方法相似、命题相似等多种形式,也有部分相似与整体相似、形式相似与实质相似、静态相似与动态相似的区别,这就导致了一种以相似性来探索数学规律、发展教学知识的方法的产生—类比方法。

其次,人们在遇到新事物时,总是努力地到原有的记忆中去寻找与新事物相同的、类似的或有联系的已认识的事物;人们在遇到一个新问题时,总是试图去寻找在类似的情景中已经成功运用过的方法来解决新问题。

迁移理论告诉我们“一种学习对另一种学习产生影响”。

所以,人们在学习新知识时,总会试图用现有的方法去处理面临的新问题,自觉或不自觉地产生思维定势。

当我们用在类似的环境中成功运用的方法去解决新问题时,自然就会用到类比方法。

最后,人们在对数学美的追求过程中,自然而然地运用了类比方法。

从指数函数的性质类比出对数函数的性质,是人们对对称美追求的结果;由圆的面积等于以圆的周长为底,以圆的半径为高的三角形的面积类比出球的体积等于以球的大圆为底,以球的半径为高的圆锥的体积,是人们对和谐美追求的产物。

2、教学中类比推理的应用归类类比法是数学的重要的教学方法，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的，它是一种创造性的数学思想方法。

类比在掌握数学概念、理解数学本质、探索解题方法等方面都有着不可忽视运用。

2、1 新知识学习中的应用由于数学涉及的知识点繁多分散，避免混淆知识点是掌握数学的前提，数学学科自身的特征系统性和严密性决定了各知识点间的相互联系，只有清晰明了地熟记并理解各个知识点，才能灵活地运用．因此，数学教学过程需要教师将各知识间的联系整理后传授给学生，这样有助于完善学生的知识网络结构，激发自主对比知识的兴趣，并通过类比寻找相似之处，有助于对新知识的理解和记忆．数学相比于其他科目来说有着自身的特点，所以学生在进行相应的学习时，需要掌握科学的学习方法，这样才可以更好地提升自身学习数学的能力，提高学习数学的效率．例如,在学习立体几何的有关概念、性质、定理时,可与平面几何进行类比。

利用点动成线、线动成面的基本事实,研究立体几何的概念和性质.容易把角的概念扩展到二面角的概念,由点到直线的距离推广到点到平面的距离,由垂直于同一直线的两条直线平行,推广到垂直于同一平面的两条直线平行。

又如,在学习圆锥曲线时,在直角坐标系中,从方程的形式看,椭圆、双曲线、抛物线的方程都是二元二次方程;从点的轨迹看,它们都是到定点的距离与到定直线的距离之比等于常数的点的轨迹;从平面截圆锥所得的截线来看,三种曲线都可以看作不同位置的平面与圆锥相互截而得到的截线。

另外,从知识结构来看,不外乎是定义、图象、性质(图象的范围、对称性、顶点、离心率),最后是知识的运用。

所以,无论是从曲线的本质来看,还是从知一识结构的角度来看,它们之间存在着很大的相似性。

学习时,教师可以重点指导学生完成对椭圆的学习,然后再指导学生利用类比的方法去学习双曲线、抛物线。

例如,学习定义时,椭圆定义中的“和”替换成“差”之后可以得到双曲线的定义。

根据推导椭圆标准方程时所用的思路方法来推导双曲线、抛物线的标准方程,根据椭圆性质类比出双曲线、抛物线的性质等。

经实践证明,利用类比的方法来学习,不仅有利于学生对新知识的建构,更有利于培养学生学习的积极性、自主性,提高学生的学习能力。

2、2．知识整合的应用类比在归纳知识系统时又可以用来串联不同层次的类似内容,以帮助理解和记忆。

所以利用类比有利于把类似或有关联的知识组织在一起,把零散的知识串成线,形成一个彼此相关的知识系统,有利于学生的理解、记忆与掌握。

数学的学习中，学生对向量的学习尤其是共线向量、平面向量和空间向量等定理之间的关系很难区分，常常出现混淆的情况．为了避免这种情况的发生，在向量的教学过程中，可通过应用类比的方法设计教学计划，在学生对共线向量的知识理解掌握牢固的情况下，再将共线向量推广到平面向量再到空间向量，这个过程开始需要的时间较多但逐渐的时间会缩短，相比传统单个知识点是高效、高质量的．通过向量之间的对比，可以让学生更好地掌握平面向量和共线向量之间共同之处和不同之处，从而更好地提升自身对它的认识，提高学习数学的兴趣和爱好．同时这种教学模式，可对学生的思维模式产生潜移默化的影响，并且学生能在理解的基础上轻而易举地掌握知识，而不同于死记硬背．等差、等比数列的学习也是通过类比的方法，利用其定义和性质的相似性进行整合，促使其知识结构更加完善．比如，当我们讲到初中的一元二次函数方面的知识时，不妨找出三名学生 A，B，C 来先说某一个方程具有的其中一种特点:A: 该函数过 x 轴和 y 轴的正半轴之间象限，但不过二者负半轴之间的象限;B: x 小于零时，y 与 x 成反比;C: 在 x 小于或等于 2 的条件下，y 为负数．下面教师假设学生 A，B，C 所给的都是真命题，请其他同学列举出相应的函数解析式，看谁列得又快又好．一方面，学生要考虑这样的函数存不存在; 另一方面，学生不能局限于现在这堂课所学的是一元二次方程就只在一元二次方程中考虑，要开拓思维，充分考虑可能出现的正比例函数、反比例函数甚至基本的一次函数等．这样就可以进行所学知识的有效整合．2、3． 解题的应用在解题时我们常把数与形进行类比,把平面与空间进行类比,把高维与低维进行类比,把有限与无限进行类比。

波利亚在他的解题表中的拟订计划中指出:“你是否见过相同的问题而形式稍有不同?”“你能否想出一个更容易着手的问题?……,一个类比问题”。

类比在求解问题中有着广泛的应用,在解题中“我们常常先选出一个类似的较易的问题,来解决它,改造它的解法,以便它可以用作一个模式,然后利用刚刚建立的模式,以达到原来问题的解决”。

例 ： 设.1,3111,,,==++=++∈+abc cb ac b a c b a R 则 此题是证三个正实数之积等于１，为此可以类比两个正实数之积等于１..1,211,,,==+=+∈+ab ba b a c b a R 则即： 分析:因为a,b 均为正实数，由均值不等式：.1,1,1,12111,22=≥≤≥÷+≤≥=+ab ab ab abb a ab ab b a 故得又有推出）（，推出 由此可以推导：.1,1,131111,33333=≥≥÷++≤≥=++abc abc abcc b a abc abc c b a 故得推出）（，推出 .1,41111,,,==+++=+++∈+abcd dc b ad c b a d c b a R 则，由此还可以类比当3、今后研究的展望 1) 深入研究类比推理的种类、类比推理的具体方法、类比推理的规律；2）将类比推理与其他的科学方法和思维方法有机的相结合；2) 推广类比推理在其他行业的研究。

3. 结论与建议类比推理虽然在数学教学上有着极为重要的作用，但类比是一种“合情推理”，带有或然性，其结论正确与否必须经过严格的证明。

类比推理结论判断的可靠程度取决于两事物的相似属性以及它们之间的相关程度。

相似属性与相关程度越高，其可靠程度就越大。

为了避免失败的类比，我们必须深人地对类比法自身进行探讨。

必须看到类比法的内客也是很丰富的。

类比法的种类、类比法的具体方法、类比法的规律都是大有探讨之处的。

事物在发展,类比法本身也在发展,仅仅满足了以往的深度和广度是不够的,要从发展的角度去探讨和总结,逐步形成一套完整的类比法的理论体系。

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