2018-2019学年人教A版必修二 柱体、椎体、台体、球体的表面积与体积 作业

1.3.1柱体、椎体、台体的表面积与体积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为( )
A．B．C．D．
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A． 1∶1B． 1∶
C． 1∶D． 1∶2
3．已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积是（）
A．B．C．D．
4．已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心
在同一平面内，若此四棱锥的最大体积为，则球的表面积等于（）
A． B．
C． D．
5．已知三棱锥的三视图如图所示，其中正视图为等边三角形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（）
A． B．
C． D．
6．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）
A． B．
C．D．
7．已知一个几何体的正视图和俯视图如图所示，正视图是边长为的正三角形, 俯视图是边长为的正六边形，则该几何体侧视图的面积为（）
A． B．
C． D．
二、解答题
8．如图所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4π，求正四面体的体积．
9．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
10．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）?
（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
三、填空题
11．如图,在边长为1的正方形中, 把沿对角线折起到,使平面
平面,则三棱锥的体积为____________ .
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据题意得到V＝2πR2－2πR3,V′＝2πR·(2－3R)，当R＝时，圆柱的体积最大，代入求出体积即可.
【详解】
设圆柱的底面半径为R，高为h，则2R＋h＝2.∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，∴V′＝2πR·(2－3R)．令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝.经检验知，当R＝时，圆柱的体积最大，此时
h＝，V max＝π·×＝π.
故答案为：A.
【点睛】
这个题目考查了实际应用问题，利用了导数研究函数的最值问题，通过导数研究导函数的正负得到函数的单调区间，进而得到函数的单调性，得到函数的最值.
2．C
【解析】
【分析】
设出正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长，求出正方体的表面积和三棱锥D1-AB1C的表面积即可．
【详解】
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S2=6a2，且三棱锥D1-AB1C为各棱长均为的正四面体，
其中一个面的面积为所以三棱锥D1-AB1C的表面积为：
所以三棱锥D1-AB1C的体积与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积之比为：
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方体与三棱锥的表面积公式的应用问题，是基础题目．
3．D
【解析】由可知△ABC为直角三角形，，所以△ABC
的外心为的中点，由四面体的体积公式可知，当顶点到平面的距
离最大时，有最大体积，当，球心共线时，顶点到平面的距离最
大，由题可求得此时顶点到平面的距离为，设球的半径为，则球
心到圆心的距离为,则，解得，则
球的表面积，故选D.
考点：三棱锥的体积，球的表面积.
4．B
【解析】当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，设球的半径为，因为底面是正方形且和球心在同一平面内，所以正四棱锥的底面边长为，高为，所以，所以球的表面积为
，故选B．
考点：四棱锥的体积与球的表面积公式．
5．B
【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，直角边为，高为，
所以体积为，故选B.
考点：三视图，三棱锥的体积.
6．C
【解析】由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，如图，
，故选C.
考点：三视图，几何体的体积.
7．D
【解析】由题图可知该几何体为正六棱锥，侧视图为等腰三角形，其中底边长为，高
与正视图的高相同，为，所以面积为，故选D.
考点：三视图，侧面积.
8．
【解析】
【分析】
设正四面体的外接球的半径为R，由已知得R＝. 如图，连接DE，O1D，因为AE为球的直径，故AD⊥DE，AE⊥O1D.
设AD＝a，则由已知得O1D a，故AO1＝a.所以O1E＝2R－AO1＝2－a.
由△AO1D∽△DO1E知O1D2＝AO1·O1E，解得a＝，由此能求出正四面体ABCD的体积．【详解】
设正四面体的外接球的半径为R，
由已知得πR3＝4π，故R＝.
如图，连接DE，O1D，因为AE为球的直径，故AD⊥DE，AE⊥O1D.
设AD＝a，则由已知得O1D＝×a＝a，
故AO1＝＝a.
所以O1E＝2R－AO1＝2－a.
由△AO1D∽△DO1E知O1D2＝AO1·O1E，即＝a·，解得a＝ (a＝0舍去)．
故正四面体的体积V＝×a2·AO1＝×8×＝.
【点睛】
本题考查正四面体体积的求法，考查正四面体外接球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
9．1∶2∶3
【解析】设正方体的棱长为a，三个球的半径依次为，表面积依次为．①
正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，则有2r1＝a，，
所以．
②球与正方体的各棱的切点为每条棱的中点，则有2r 2＝a ，
，所以
．
③正方体的各个顶点在球面上，则有2r 3＝a ，，所以．
综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3． 考点：球的表面积.
10．（1） 169.6 （2） 1 200π
【解析】（1）因为半球的直径是6 cm ，所以半径R ＝3 cm ， 所以两个半球的体积之和为V 球＝34πR 3＝34π·27＝36π（cm 3）． 又圆柱筒的体积为V 圆柱＝πR 2
·h ＝π×9×2＝18π（cm 3
）．
所以这种“浮球”的体积是V ＝V 球＋V 圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm 3
）． （2）上下两个半球的表面积是S 球表＝4πR 2
＝4×π×9＝36π（cm 2
）， 又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S 圆柱侧＝2πRh ＝2×π×3×2＝12π（cm 2
）， 所以1个“浮球”的表面积为S ＝10436π＋12π＝10448π（m 2）．
因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S ＝2 500×10448π＝12π（m 2）． 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝ 1 200π（克）．
考点：圆柱、球的体积、表面积.
11． 【解析】 【分析】
将边长为1的正方形沿对角线AC 折起到
，使得平面
平面
,可以直
接求出三棱锥的底面积和高，利用体积公式求得结果.
【详解】
根据题意，可知所得的三棱锥的底面是一个直角三角形（正方形的一半），
其高为点到底面的距离，即为半条对角线，即为，
所以三棱锥的体积为，
故答案是.
【点睛】
该题考查的是有关平面图形的翻折问题，折后求相关的几何体的体积的问题，在解题的过程中，注意应用折后所满足的条件，利用公式求得底面积和高，利用椎体的体积公式求得结果.。