福建省莆田市仙游华侨中学2019-2020学年高二数学理期末试卷含解析

福建省莆田市仙游华侨中学2019-2020学年高二数学理
期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对任意的实数m，直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，则n的取值范围是
( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】转化思想；判别式法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直线方程与椭圆方程联立化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，由于直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，可得△≥0，解出即可得出．
【解答】解：联立，化为（1+4m2）x2+8m（n﹣1）x+4（n﹣1）2﹣1=0，
∵直线y=mx+n﹣1与椭圆x2+4y2=1恒有公共点，
∴△=64m2（n﹣1）2﹣4（1+4m2）≥0，
化为：4n2﹣8n+3≤4m2，
由于对于任意的实数m上式恒成立，
∴4n2﹣8n+3≤0，
解得．
∴n的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2. 为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统
计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是，，
则下列说法正确的是( )
A．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
B．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
C．，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛
D．，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛
参考答案：
D
略
3. 设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
参考答案：
B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】阅读型；空间位置关系与距离．
【分析】由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B；
由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D．
【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；
对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有
m∥l，
m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；
对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l?β，故C错；
对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．
故选B．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．
4. 已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为( )
A.(-∞,3]
B.[2,3]
C.(2,3]
D.(2,3)
参考答案：
C
略
5. 若正数x，y满足，则3x+4y的最小值是（）
A．24 B．28 C．30 D．25
参考答案：
D
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】将3x+4y乘以1，利用已知等式代换，展开，利用基本不等式求最小值．
【解答】解：正数x，y满足，则（3x+4y）（）=13+
≥13+2=25，当且仅当时等号成立，所以3x+4y的最小值是25；
故选D．
6. 已知双曲线以△ABC的顶点B，C为焦点，且经过点A，若△ABC内角的对边分别为a，b，c．且a=4，b=5，c=，则此双曲线的离心率为（）
A．5﹣B．C．5+D．
C
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意，2c′=4，2a′=5﹣，即可求出双曲线的离心率．
【解答】解：由题意，2c′=4，2a′=5﹣，
∴e==5+，
故选C．
7. 下列命题中，假命题是（）
A．?x∈R，3x﹣2＞0 B．?x0∈R，tanx0=2
C．?x0∈R，lgx0＜2 D．?x∈N*，（x﹣2）2＞0
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①利用指数函数的性质判断．
②由于函数y=tanx值域为R，所以tanx=2必有解．
③特殊值验证，取x0=10判定为真命题．
④特殊值验证，取x=2判定为假命题．
【解答】解：①令u=x﹣2，则u∈R，根据指数函数的性质，3u＞0，即?x∈R，3x﹣2＞0，A 为真命题．
②由于函数y=tanx值域为R，所以tanx=2必有解，即?x0∈R，tanx0=2，B为真命题．
③根据对数函数的性质，当0＜x0＜100时，lgx0＜2，比如x0=10则lgx0=1＜2，C为真命题．
④当x=2时，（x﹣2）2=0，?x∈N*，（x﹣2）2＞0为假命题
故选：D
8. 已知△ABC中，AB＝，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )
D
9. 已知点与抛物线的焦点的距离是5，则的值是
A．2 B．4
C．8 D．16
参考答案：
B
10. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角
B 的值为
A. B. C.
D.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 计算（﹣8﹣7i）×（﹣3i）= ．
参考答案：
﹣21+24i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：原式=24i﹣21，
故答案为：﹣21+24i．
12. 若两个球的表面积之比是4∶9，则它们的体积之比是。

参考答案：
8∶27
13. 若cosθ=﹣，tanθ＞0，则sinθ=_________．
略
14. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是__________. 参考答案：
【分析】
关于的方程有两个不相等的实数根，可转化为求有两个不同的解的
问题，令，分析的单调性和图像，从而求出c的取值范围.
【详解】引入函数，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以．又分析知，当时，；当时，；当时，，所以，所以
．
【点睛】本题考查利用导数求函数的零点问题，解题的关键是利用导数讨论函数的单调性，此题属于基础题.
15. 函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值是_______ 最小值是
参考答案：
略
16. 某校有学生2000人，其中高三学生500人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为
参考答案：
17. 小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆
心的距离大于，则周末看书；若此点到圆心的距离小于，则周末打篮球；否则就在家帮忙做家务．那么小明周末在家帮忙做家务的概率是．
参考答案：
【考点】CF：几何概型．
【分析】根据题意，计算可得圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为π﹣π=，此点到圆心的距离小于的面积为，由几何概型求概率即可．
【解答】解：设圆半径为1，圆的面积为π，点到圆心的距离大于的面积为π﹣
π=，
此点到圆心的距离小于的面积为，
由几何概型得小波周末在家看书的概率为P=1﹣=．
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．
（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于40分的人数；
（3）若从样本中随机选取数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．
参考答案：
【考点】频率分布直方图．
【分析】（1）根据频率和为1，列出方程求出a的值；
（2）根据频率分布直方图，计算成绩不低于60分的频率与频数即可；
（3）计算成绩在[50，60）和[90，100]内的人数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．
【解答】解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，
所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1；…（2分）
解得a=0.03；…
（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为
1﹣10×（0.05+0.01）=0.85，…
由于该校高二年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，
可估计该校高二年级数学成绩不低于60分的人数约为
640×0.85=544（人）；…（6分）
（如果没有：“利用样本估计总体的思想，可估计”则扣1分）
（3）成绩在[50，60）分数段内的人数为
40×0.05=2（人），…（7分）
成绩在[90，100]分数段内的人数为
40×0.1=4（人），…（8分）
若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有
；…（9分）
如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；
如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，
那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10；…（10分）
则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10分的取法数为
；…（11分）
故所求概率为
．…（12分）
【点评】本题考查了频率分布直方图以及用列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．
19. 己知集合，，，
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
参考答案：
方法1：由已知，所以，
，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
①当即，
所以.
②当，恒满足条
件.
由①②可得
方法2:在区间上恒成立
20. 已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
参考答案：
21. 第18届国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国北京、广州等八座城市举行.届时，甲、乙、丙、丁四名篮球世界杯志愿者将随机分到、、三个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.
（1）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（2）设随机变量为这四名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列及数学期望.
参考答案：
(1) (2)见解析
【分析】
（1）先记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，根据题意求出，再由
，即可得出结果；
(2)根据题意，先确定可能取得的值，分别求出对应概率，即可得出分布列，从而可计算出期望.
【详解】解：（1）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，
那么.
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.
（2）由题意，知随机变量可能取得的值为1，2.
则.
所以.
所以所求的分布列是
所以.
【点睛】本题主要考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属于常考题型.
22. 已知椭圆C的极坐标方程为，点，为其左、右焦
点，直线的参数方程为，（为参数）
（1）求直线和椭圆C的普通方程；
（2）求点，到直线的距离之和。

参考答案：
（1）
（2）
略。