四川省内江市2021届高三下学期第三次高考模拟试题 理科数学【含答案】

四川省内江市2021届高三下学期第三次高考模拟试题 理科数学【含
答案】
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1.复数
2
1i
-的共轭复数是 A.1＋i B.1－i C.－1－i D.－1＋i 2.已知集合A ＝{x|0<x<3}，A ∩B ＝{1}，则集合B 可以是 A.{1，2，3} B.{0，1，2} C.{1，2} D.{1，3}
3.已知平面向量a b c 、、满足a b c ++＝0，且||||||1a b c ===，则a b ⋅的值为
A.－
12 B.12 C.－32 D.3
2
4.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则
A.m e ＝m 0＝x
B.m e ＝m 0<x
C.m 0<m e <x
D.m e <m 0<x 5.在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝7AB ＝2，则AB 边上的高等于
33326
32
6.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为y ＝t a 10
1802-⎛⎫
⎪⎝⎭
＋b(a ，b 为常数)，通常这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃时，冲泡热
饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为
A.35min
B.30min
C.25min
D.20min
7.已知点A为抛物线C：x2＝4y上的动点(不含原点)，过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F，则∠ABF
A.一定是直角
B.一定是锐角
C.一定是钝角
D.上述三种情况都可能
8.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A.4
B.8
C.26
D.46
9.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中，函数图象与y轴的交点为(0，－3)，则f(2021π)＝
A.3－
3
2
C.
3
2
D.3
10.已知直线l：y＝m(x－2)＋2与圆C：x2＋y2＝9交于A、B两点，则使弦长|AB|为整数的直线l共有
A.9条
B.8条
C.7条
D.6条
11.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)
2
＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ|－|PF|的最小值为25－6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则椭圆C 的标准方程为
A.2212x y +=
B.22
14x y += C.22142x y += D.22143x y += 12.∀x ∈(0，1)，记a ＝sinx x ，b ＝22
sinx x ，c ＝2
sinx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则a 、b 、c 的大小关系为 A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

)
13.若实数x ，y 满足约束条件x y 1x y 1x 0+≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则z ＝x －3y 的最大值是 。

14.二项式(2x 2
－
1x
)6
的展开式中的常数项是 (用数字作答)。

15.现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为 。

16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线C 就是其中一种，其方程为(x 2
＋y 2)3
＝x 2y 2。

给出下列四个结论：
①曲线C 有四条对称轴；
②曲线C 上的点到原点的最大距离为
1
4
； ③在第一象限内，过曲线C 上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为18
； ④四叶草面积小于
4
π。

其中，所有正确结论的序号是 。

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

) (一)必考题：共60分。

17.(本题满分12分)
已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列。

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{
n
1
S }的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38。

18.(本题满分12分)
某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：
(1)根据1至5月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？
(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润＝销售收入－成本)。

参考公式和参考数据：回归直线方程y bx a =+，其中1
22
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==-=-∑∑，
5
1
392i i
i x y
==∑，5
21
502.5i i x ==∑。

19.(本题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，PA ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3。

E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且
PF 1
PC 3
=。

(1)求证：CD ⊥平面PAD ；
(2)求二面角F －AE －P 的余弦值； (3)设点G 在PB 上，且PG 2
PB 3
=。

判断点G 是否在平面AEF 内，说明理由。

20.(本题满分12分)
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点P(2，1)。

(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点P 作x 轴的垂线l ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆C 上(点A 不在直线l 上)，直线PA 关于l 的对称直线PB 与椭圆交于另一点B 。

设O 为坐标原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由。

21.(本题满分12分) 设函数f(x)＝x －
1
x
－alnx(a ∈R)。

(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x 1和x 2，记过点A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得k ＝2－a ？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由。

(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.(本题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x 1tcos y tsin α
α
=+⎧⎨
=⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝24
π
)。

(1)求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
(2)设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，若点P 的直角坐标为(1，0)，试求当α＝4
π
时，|PA|＋|PB|的值。

23.(本题满分10分)
已知a>0，b>0，4a ＋b ＝2ab 。

(1)求a ＋b 的最小值；
(2)若a ＋b ≥|2x －1|＋|3x ＋2|对满足题中条件的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围。