年高考试题——数学文(湖北卷

一、选择题：本大题共 有一项是符合题目要求的. 1.
10小题，每小题5分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只
A. tan 690。

的值为（
3
C. 3
D. - 3
A. 如果U =〈x| x 是小于9的正整数/ ,
A ={1,2,3,4},
B =「3,4,5,6},另E 么痧AD u B =
「1,2?
B. 「3,4}
C. ：5,6；
3.如果的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为（
A. 10
B. 6
x
匸(x ：：： 0)的反函数是(
2 -1 1
y =log 2
(x T) 1
1
c. y =log (x ：：-1)
4.函数 A.
5.在棱长为
点，G 为棱 距离为（
A. .3
C. 5
D. 3
B. D.
1的正方体 ABCD 1AB1GD 1
X +1
y = log ? (x 1)
x —1
x —1 y =log 2 (x
1)
x+1
中，E , F 分别为棱AA , AB !上的一点，且AG = ■ （0 < - < 1）.则点G 到平面 B. 2 C. 2
2007年普通高等学校招生全国统一考试
（湖北卷）
数学（文史类）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上指定位置
•
2 •选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号•答在试卷卷上无效.
3•将填空题和解答题用
0.5毫M 的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每
题对应的答题区域内•答在试卷卷上无效. 4•考试结束，请将本试卷卷和答题卡一并上交.
9•设 a = (4,3), a 在b 上的投影为 b 在x 轴上的投影为
2,且 | b|w 14，则 b 为
() A . (2,14)
D . (2,8)
10.已知p 是r 的充分条件而不是必要条件, s 的必要条件，现有下列命题： ① s 是q 的充要条件；
② p 是q 的充分条件而不是必要条件； ③ r 是q 的必要条件而不是充分条件； ④ 一p 是—s 的必要条件而不是充分条件； ⑤ r 是s 的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是（ ） A .①④⑤
B .①②④
q 是r 的充分条件, s 是r 的必要条件，q 是
C .②③⑤
D .②④⑤
、填空题：本大题共
5小题，每小题 5分，共25分•把答案填在答题卡相应位置上.
6.为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校
100名高中男生的体重情况，根据所
得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示•根据此图，估计该校 2000名高中男生中体
重大于70.5公斤的人数为（）
54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5
D.
_5
~5
A . 300
7.将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（）
15152448 A—B. C. D.
64128125125 &由直线y =x 1上的一点向圆(X -3)22
y =1引切线，则切线长的最小值为（) A
. 1B. 22C. D . 3
x - y 3》0，
11.设变量x，y满足约束条件x • y》0, 则目标
函数2x - y的最小值为.
-2 < x < 3,
2 2
12.过双曲线- y 1左焦点F1的直线交曲线的左支于M， N两点，F2为其右焦点，
4 3
则|MF2+ NF2— MN 的值为_______ .
1
13 .已知函数y = f (x)的图象在点M(1, f (1))处的切线方程是y x 2，贝U
2
f(1) f (1> _________
1
14•某篮球运动员在三分线投球的命中率是一，他投球10次，恰好投进3个球的概率为
2
.(用数值作答)
15•为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒•已知药物释放过程中，室内每立方M空气中
的含药量y (毫克)与
时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式
(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信
息，回答下列问题：—1 1
t (小时) (I)从药物释放开始，每立方M空气中的含药量y (毫克)与O 0.1 时间t (小时)之间的函数关系式
为.
(II)据测定，当空气中每立方M的含药量降低到0.25毫克以下时，
学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2sin2I n x 3cos2x , n，卫.
14丿M 2」
(I)求f (x)的最大值和最小值;
(Il )若不等式f(x)-m c2在］上,」丨上恒成立，求实数m的取值范围.
'4 2」
17.(本小题满分12分)
如图，在三棱锥V 一ABC中，VC丄底面ABC , AC丄BC , D是AB的中点，且
(n
AC = BC 二a, Z VDC - V 0 ：：-.
I 2丿
(I)求证：平面VAB丄平面VCD ；
(II )试确定角-的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为n.
6
18.(本小题满分12分)
某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0 < x < 30 )的平方
成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
(I)将一个星期的商品销售利润表示成X的函数；
(II )如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
19.(本小题满分12分)
设二次函数f (x) = x2• ax • a，方程f (x)「x = 0的两根为和X2满足0 ：：：为：：：X2 ： 1 .
(I)求实数a的取值范围；
(II)试比较f(0)f(1)-f(0)与丄的大小.并说明理由.
16
20.(本小题满分13分)
已知数列｛a.｝和｛b n｝满足：a =1 , a^2 , a n 0 , b n f( n • N * ),且
｛bj是以q为公比的等比数列.
(I)证明：a n 2 =a n q2;
(II)若C n =a2n「2a2n，证明数列｛C n｝是等比数列；
(III)求和：
1111 11
a 1 a
2
a
3
a
4
a
2n—
11.
7 / 13
21. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系 xOy 中，过定点C （0, p ）作直线与抛物线 x 2 =2py （ p . 0）相交于
A B 两点.
（I ）
若点N 是点C 关于坐标原点 O 的对称点，求 △ ANB 面积的最小值；
（II ） 是否存在垂直于 y 轴的直线l ，使得I 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若
存在，求出I 的方程；若不存在，说明理由.
（此题不要求在答题卡上画图 ）
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（文史类）试卷参考答案
一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算 1.A 2.D 3.C 6.B
7.A
8.C
二、 填空题：本题考查基础知识和基本运算
12. 8
13. 3
每小题
5分，满分50分.
4. A
5.D 9
. B 10.B 每小题
5
分，
满分25分.
2
8 / 13
10t , 0 < t < 丄 i,
I 10丿
y 1
; 0.6
f 1 沖 f 1 ) — ,t > —
26丿I 10丿
三、解答题：本大题共 6小题，共75分.
16•本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象 和性质解题的能力. 解：(i) T f(x) = 1-cos i
n
2x —、3cos2x=1 sin2x -q ；3cos2x :12丿」
=1 +2sin ‘2x -n
I 3丿
又- rd 訂
2X
E ^「即2 < “细严石广3，
(n) ■/ f(x)—m c2u f (x)—2 c m c f (x)+2 , x 壬
〔4 2 J
••• m f (x)max -2 且 m f(x)min 2 , •••「：： m ：： 4，即m 的取值范围是(1,4).
17 •本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理 运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力.
解法1:(1) 丁 AC =BC =a , •△ ACB 是等腰三角形，又 D 是AB 的中点，
• CD _ AB ，又 VC _ 底面 ABC . • VC _ AB .于是 AB _ 平面 VCD . 又AB 二平面VAB , •平面VAB _平面VCD .
(H)过点C 在平面VCD 内作CH _VD 于H ，则由(I)知 CD _平面VAB . 连接BH ，于是.CBH 就是直线BC 与平面VAB 所成的角.
冗
依题意.CBH ，所以
6
在 Rt △ BHC 中，CH 二 asin n -,
6 2
15
14.
-
128
15.
f (x)max
=3, f (X )min - 2
•
在 Rt △ CHD 中,
CH
.I T -
4
即 sin
— 2
V 0 :: e <- •0=-. 2
4
故交n
=
n r 时直线 n
BC 与平面VAB 所成的角为一.
4
6 解法2 : (I)以CA , CB , CV 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空
C(0,0,0) A(a,O,O ) B(0, a,0)
D i a ，-a ,0 , V 0,0,丄2 ata nr
2 2 2
于是,
Eatanr ,
2
"AB =(-a , a,0).
a ,°)・ I ,|,。

-1 a 2
1
a 2
0 = 0，即 AB _ CD .
2 2
i a a I °)・
a ,
a
,
a 2 即
AB _VD •又 CD^VD 二 D , 又AB
二平面VAB .
VAB VCD
同理AB ・VD =(-a , 二 AB _ 平面 VCD .
0=0 ,
(n)设平面VAB 的一个法向量为
n 二(x y , z),
-ax ay = 0, 得a a 2 x
2 亍八亍aZtan "0・ 可取
=(1172 cot
2
sin ， 2
n
n
故当 时，直线BC 与平面VAB 所成的角为一•
4 6 间直角坐标系，则
C 2 =0 .
解法3: (I)以点D为原点，以DC, DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所
示的空间直角坐标系，则D(0,0,0) A —
2 i 0,返a,0C L©a,0,0〕
I 2丿I 2丿
a,0 , B
J
屛迟0止atanJ,于I 2 2丿是DV I2：八2
—a,0, — a tan 日
2 2丿
,DC 二a,0,0 ,
AB 二(0, •一2a,
0).
从而A B-DC = (0,. 2a,0) •一丄2
I 2a, 0,0 =0，即AB 丄DC .
t i 厂『72 42
同理AB・DV =(0,T2a,0) ——a,0,_atan 日=0，即AB 丄DV . I 2 2
丿
又DCRDV^D ,二AB _ 平面VCD .
又AB二平面VAB ,
•••平面VAB _平面VCD .
(n)设平面VAB的一个法向量为n = (x y, z),
则由
2ay 二0, IT AB = 0, irDV =0,得彳庁
I —---
可取n 二(tan 兀0,1)，又BC 二
.n sin
6
2 atan^ =2
a，1 ta n2丁
n n [ i. n ，•/ 0，•二=
2 2 4
2 _ 2
-—ax
2
故交•「上时，
4
n
即直线BC与平面VAB所成角为-.
6
18•本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题
的能力.
解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x),
则依题意有f (x) =(30 -X -9)(432 kx2) = (21 -x)(432 kx2),
2
又由已知条件，24二k ・2，于是有k=6 , 所以 f (x)二-6x 3 126x 2 -432x 9072, x [0,30]. (n)根据(I),我们有
f (x^-18x 2
252^43^^18(^2)(^ 12).
x
【0,2)
2 (2,12)
12 (12,30 ]
f (x) —
0 +
— 0 —
f(x)
匚
极小
匚
极大
匚
故x =12时，f (x)达到极大值.因为f(0) =9072 , f (12) =11264，所以定价为
30 -12 =18元能使一个星期的商品销售利润最大.
19•本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运 算能力.
解法 1：(I)令 g(x)二 f(x)-x =x 2 (a-1)x a ,
飞>0,
1—a “
[a n O ,
10 1
则由题意可得彳 2
u<—1<a c 1
u 0<ac3 — 2j2 •
g (1):>0， [a £3-272 或a A 3 + 2X /2
.g(0) 0,
故所求实数a 的取值范围是(0,3-2\2) •
(ii ) f(0)Lf(1)-f(0) =g(0)g(1) = 2a 2，令 h(a) =2a 2 •
h(a)单调增 加，. 当 0 ：：： a ：：：
3-2・..2 时
2(17 1 2 2 )
解法2:( I )同解法1 •
(II ) 丁 f (0) f(1) — f (0) = g(0)g(1)=2a 2，由(I )知 0 ：： a ：： 3-2、2 ,
••• 4 2a -1 ：12“2 -17 ：：0 •又 4、2a 10,于是
2a 2
- 1 = 1 (32 a 2
-1)= 1 (4 \ 2a2a 1) ：：0 ,
16 16 16
2 1
1 即 2a 2
0,故 f (0) f(1)- f (0p
f (0)Lf (1)-f (0)
0 h (a ) h (- 3
2(3
2 -2 )
，即
1
16
16 16
解法3：( I)方程f (x) - x = 0= x2• (a -1)x • a =0，由韦达定理得
C n 二a” 2a 2n 二眄2
^ 2&2『2=@ 2a 2)q 2n
‘ =5q
2n
，.
• CcJ 是首项为5 ,以q 2为公比的等比数列.
S o ,
% 乜=0,
X I X 2 = 1 -a , X 1X 2 二 a ，于是 0 ：： xi ：： X 2 :: 1 =
%X 2 0, (1 —X i ) + (1 —
X 2)>0,
(1
—'X I X 1 —'X 2)• 0
a >0, 二*acl, 二 0c a c 3-2\/2 . a <3-2^2或a >3 +2血 故所求实数a 的取值范围是(0 ,3 -2 •、. 2). (II )依题意可设 g(x) = (x - xd(x -X 2)，则由
0 ：：为：：：X 2 :::
1 ,得 f(0)f(1)- f(0) =g(0)g(1) = X i X 2(1—X i )(1—X 2)
=[X i (1-X i )][x 2(
1-X 2)
] .i X1 +1 — X1 j i X2 +1 — X2 *12 2 ；l
--,故 f (0) f(1)- f (0)：：：
丄.
16 16 20.本小题主要考查等比数列的定义, 能，考查分析问题能力和推理能力. 通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技 解法证：由瞥q ,有 、.a n 1 a n 2 ■, a n 2 . 2 q , •- a ..? =a n q (n N*). a n a n a
n 1
(II )证：fa n =q n,q 2 ,
2 m
2nd
a
2n 」二 a 2n J3
q
a 1
q
2
,&n 二
a
2n J2
q
二川计心,
1
+1十川+1 -
U 1 "11+ 1 ' +
"十1十|1汁1 I
Qi a 2
a
2n
W
a 3 a
2nJ 」
<a 2
a
4
a
2n J
(III )由(II )得丄=1q 2^n
a 2n 4 a 1
于是
丄
11 1 1 + 1 + 1 +111+ 1 +丄
11 1 1+ 1 + 1 +tll+ 1 1
2 4 TH 2n-2
a < q q q 丿 a 2 < q q q 丿
1+2+++川 + < q q
q
1 2n -2
3 ； q 2n
一1
1
一Rq 2n "q 2—1)_
• fC n?是首项为5,以q 2
为公比的等比数列.
(ill )由(II )的类似方法得 a 2n4 ■ a 2n = (ai ■ a 2)q 2n ^ = 3q 2n ^ , 丄丄 .=a1 a 2 .鱼西山.吐鱼,
a
1
a
2
a
2n
a 1a
2
a 3a
4
a
2n 4a 2n
2 k 2
二务 土斗,k =1,2川，n .
a
2k 4a 2k
2q 2
下同解法1.
21.本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解读几何的基础知识，考查综合运用数学知 识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
解法1：(1)依题意，点 N 的坐标为N(0, - p)，可设A(x 1, y 1), B(X 2, y 2),
2=2
直线AB 的方程为y= kX p 与x 2=2 py 联立得
」X -2 P ，y 消去 』=k X . p
当q =1时, 1 1 1 3(
_+_^l +_ = - 1 + a 1 a
2
a
2n
2 <
a
2n
当q =1时,
1
丄 1
3
a ( a 2
a 2n
2n
_2 q
3 rv-q 2口之
_2n 、
1 1 1
故一-—
一
ai a 2
a 2n
3
尹
={-
P
q 2n
-1
解法2:( I )同解法
P^q (q -1)一
1 (I ).
q=1,
(II )证：■C
H
a 2n 1 '
2a 2n 2
C
n a
2n_1
+2a 2n
2 2
q a 22 2q a ?n
a
2nJ
' 2a 2n
2 *
=q (n N )，又 G =4 2a 2
丄丄 L
a
2k
a
1
a
2
q"2
).
2 2
x -2 pkx - 2 p =0 .
由韦达定理得为化=2pk , X j X 2 - -2 p 2.
=p x 1 -x 2 = P& x i +x 2)2
—4X 4X 2
-p... 4p 2
k 2
8p 2
〉2p 2
..k 2
2 ,
(n)假设满足条件的直线 l 存在，其方程为y = a ,
••• PQ 2
=(2 PH )2
=4 帖-卫
LI 2丿
令a -R =0，得a =卫，此时PQ = p 为定值，故满足条件的直线
2 2
即抛物线的通径所在的直线.
于是 S A AMN
S A BCN =一°2 p 捲
_x 2
当 k = 0 , (S A ABN
)min = 2 • 2p 2 •
y i a(p -a).
丨存在，其方程为
设AC 的中点为O ,丨与AC 为直径的圆相交于点 P ，Q , PQ 的中点为H ,
力 a(p-a)，
又由点到直线的距离公式得
/P= 1 k 2
解法2:( I)前同解法1，再由弦长公式得
AB| = J i
% -x 2| = J i +k 2
・ J (x i + x 2)2
—4x^2 = J i +k 2
• 4p 2
k 2
+8p 2
=2p T k 2「k 2
2 ,
(x _O)(x-xJ _(y - p)(y -yj =0,
将直线方程y = a 代入得x 2 -x-\X (a - p)(a - yj = 0 , 则△二x 2-4(a - p)(a-％) =4 u ； 设直线丨与以AC 为直径的圆的交点为 p (x 3, y 3), Q(X 4, y 4),
4》-号 * +a(p_a)二鸟卜—
多％ +a(p_a). 令3-卫=0，得a =~
2 2
v -卫
八2，
即抛物线的通径所在的直线.
1
从而 S A ABN = —°d° AB =
2
〔•2pJl+k 2
・J k 2
+2・
= 2 p 2Jk 2
+ 2 ,
2 •••当 k=0 时
，
0 ABN
)max =2.2p 2
.
(n)假设满足条件的直线
丨存在，其方程为
Y = a ，则以 AC 为直径的圆的方程为
则有PQ
，此时PQ = p 为定值，故满足条件的直线 丨存在，其方程为。