高考理科数学仿真测试卷2

高考理科数学仿真测试卷
理科数学(二)
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分。

考试时间120分钟。

参考公式；
如果事件A 、B 互诉；那么；);()()(B P A P B A P +=+
如果事件A 、B 相互独立；那么);()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ；那行n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概
率是；.)1()(k n k k n n P P C k P --=
球的表面积公式；,42R S π=其中R 表示球的半径. 球的体积公式；3
3
4R V π=
；其中R 表示球的半径. 注意事项；
1．请考生务必将自己的姓名、准考证号填写在指定地方。

2．答第Ⅰ卷时；每小题选出答案后；填在第Ⅱ卷答题卡上；答第Ⅱ卷直接在试卷指定 区域作答。

3．考试结束；监考人员将第Ⅰ卷和第Ⅱ卷一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共2小题；每小题5分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合
题目要求的）
1、已知集合M={y| y=x+1}；N={(x ；y)|x 2 +y 2 =1}；则M N 中元素的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．多个
2、已知复数1z =a+i ；z 2=1+a 2 i ；若
1
2
z z 是实数；则实数a 的值等于 A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2
3、若函数f (x)= e x sin x ；则此函数图象在点(4；f (4))处的切线的倾斜角为 A ．
2
π
B ．0
C ．钝角
D ．锐角 4、连掷两次骰子分别得到点数m 、n ；则向量(m ；n)与向量(－1；1)的夹角
90>θ 的概率是 A ．
21 B ．31 C ． 127 D ． 12
5 5、平面向量也叫二维向量；二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n ≥3)维向量； n 维向量可用（x 1；x 2；x 3；x 4；…,x n ）表示.设a =(a 1, a 2, a 3, a 4；…, a n )；b =（b 1, b 2, b 3, b 4,…,b n ）； 规定向量a 与b 夹角θ的余弦为 ()()
2
222
1
2
222
1
2211cos n n n
n b b b
a a a
b a b a b a +++++++++=
θ。

当a =(1；1；1；1；…；1)；b =(－1, －1, 1, 1,…,1)时；θcos = A 、
n
n 1
- B 、
n
n 2
- C 、 n
n 3
- D 、
n
n 4
- 6、函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3；f (1)=－1；则f (2006)等于 A ．0 B ．1 C ．一1 D ．2
7、在一个锥体中；作平行于底面的截面；若这个截面面积与底面面积之比为1∶3；则 锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）
A ．1∶3
B ．1∶9
C ．1∶33
D ．1∶)133(- 8、在ΔABC
中；1tan ,cos 2
A B ==
；若ΔABC
A ．2
B
C ．32
D ．1
9、{a n }为等差数列；若
11
10
1a a <-；且它的前n 项和S n 有最小值；那么当S n 取得最小正值时；n = A ．11 B ．17 C ．19 D ．21
10、设对任意实数x ∈[−1, 1]；不等式x 2+ax −3a ＜0总成立；则实数a 的取值范围是
A ．a ＞0
B ．a ＞0或a ＜−12
C ．12a >
D ．1
4
a >
11、已知222lim
2x x cx a x →++=-；且函数ln b
y a x c x =++在(1,)e 上具有单调性；则b 的取值范围是
A 、(,1][,)e -∞+∞
B 、(,0][,)e -∞+∞
C 、(,]e -∞
D 、[1,]e 12、如果直线y =kx +1与圆x 2+y 2+kx +my -4=0交于M 、N 两点；且M 、N 关于直线x -y =0对
称；动点P(a ,b )在不等式组；⎩⎪⎨⎪⎧kx-y+2≥0
kx -my ≤0y ≥0
表示的平面区域内部及边界上运动,则ω
=1
2
--a b 的取值范围是 ( ) A 、[)+∞,2 B 、(]2,-∞- C 、(]2,-∞-∪[)+∞,2 D 、[]2,2-
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题；每小题4分；共16分；把答案填 在横线上.）
13、将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次；使得点A (0；2)与点 B (4；0)重合．若此时点C (7；3)与点D (m ；n )重合；则m ＋n 的值 是 ．
14、如图；是一个无盖正方体盒子的表面展开图；A ；B ；C 为其上 的三个点；则在正方体盒子中；∠ABC 等于 ．
15、若()
()()()()11
112
2109
21x a 1x a 1x a a 2x 1x -++-+-+=-+ ；
则()()=+++-+++2
10422
1131a 10a 4a 2a 11a 3a ______(用数字作答).
16、有下列命题；
① G ＝ab （G ≠0）是a ；G ；b 成等比数列的充分非必要条件； ② 若角α；β满足cos αcos β=1；则sin(α+β)＝0；
③ 若不等式|x －4|+|x －3|＜a 的解集非空；则必有a ≥1； ④ 函数y =sin x +sin|x |的值域是［－2；2］．
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题；（本大题共6小题；共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分12分）
某次有奖竞猜活动中；主持人准备了A 、B 两个相互独立的问题； 并且宣布；观众答
A · ·B
· C
第14题图
对问题A 可获奖金a 元；答对问题B 可获奖金2a 元；先答哪个题由观众自由选择；只有第1个问题答对；才能再答第2个问题；否则中止答题。

若你被选为幸运观众；且假设你答对问题A 、B 的概率分别为
21、3
1。

你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望较大？说明理由。

18、（本小题满分12分）
若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线m y =（m 为常数）相切；并且切点的横坐标依次成公差为
2
π
的等差数列． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若点),(00y x A 是)(x f y =图象的对称中心；且∈0x [0,
2
π
]；求点A 的坐标．
19、（本题满分12分）
如图；O 是半径为l 的球心；点A 、B 、C 在球面上；OA 、OB 、OC 两两垂直；E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点；
⑴ 求点E 、F 在该球面上的球面距离；
⑵ 求平面OEF 与平面OBC 所成的锐二面角。

（用反三角函数表示） 20、（本题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和为n S ；对一切正整数n ；点),(n n S n P 都在函数
x x x f 2)(2+=的图象上；且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若n k
n a b n 2=；求数列}{n b 的前n 项和为n T ；
（Ⅲ）设*},|{N n k x x Q n ∈==；*},2|{N n a x x R n ∈==；等差数列}{n c 的任一项
R Q c n ∈；其中1c 是R Q 中的最小数；11511010<<c ；求}{n c 的通项公式．
21、 (本题满分12分)
如图；设抛物线C ；x 2=4y 的焦点为F ；P (x 0, y 0)为抛物线上的任一点（其中x 0≠0）；过P 点的切线交y 轴于Q 点． （1）证明；FQ FP =；
（2）Q 点关于原点O 的对称点为M ；过M 点作平行于PQ 的直线 交抛物线C 于A 、B 两点；若)1(>=λλMB AM ；求λ的值．
22、（本小题满分14
分）已知函数12
()(,0)4f t at t R a a
=-+
∈<的最大值为正
实数；集合}0|
{<-=x
a
x x A ；集合}|{22b x x B <=。

（1）求A 和B ；
（2）定义A 与B 的差集；A x x B A ∈=-|{且}B x ∉。

设a ；b ；x 均为整数；且A x ∈。

)(E P 为x 取自B A -的概率；)(F P 为x 取自B A 的概率；写出a 与b 的二组．．
值；使32)(=E P ；3
1
)(=F P 。

（3）若函数)(t f 中；a ；b 是（2）中a 较大的一组；试写出)(t f 在区间
[m m ]上
的最大值函数()g m 的表达式。

参考答案；
一、选择题；
简答与提示；
1、集合M 是函数y=x+l 的函数值的集合；集合N 是圆上的点集.
2、()()
1
a i 1a a a z z 2
3212+++-=；故a 3+1=0；得a =－1. 3、(
)044sin e
24'f 4<
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=π.
4、若使夹角
90>θ；则有－m+n<0即m>n ；其概率为
12
5
3615=. 5、按定义计算 6、由已知f (3x+1)=f[3(x+3)+1]=f(3x+1+9)；所以f(x)的周期为9；f(2006)=f(2007－1)=f(－1)= －f(1)=1.
7、面积比是相似比的平方；体积比是相似比的立方
8、由cos B =得13sin tan ,tan()1,,3
4
4
B B A B A B
C ππ
==+=∴+==；
∴∠C 的对边AB 为最长边；∠B 的对边AC 为最短边；由正弦定理得； 1sin sin AB
AB AC AC AB C B ====即 9、∵S n 有最小值；∴d ＜0则a 10＞a 11；又
11
10
1a a <-；∴a 11＜0＜a 10 ∴a 10+a 11＜0； S 20=10(a 1+a 20)=10(a 10+a 11)＜0, S 19=19a 10＞0又a 1＞a 2＞…＞a 10＞0＞a 11＞a 12＞… ∴S 10＞S 9＞…＞S 2＞S 1＞0, S 10＞S 11＞…＞S 19＞0＞S 20＞S 21＞… 又∵S 19−S 1=a 2+a 3+…+a 19=9(a 10+a 11)＜0 ∴S 19为最小正值
10、由不等式x 2
+ax −3a ＜0, x ∈[−1, 1]时恒成立；可得不等式23x a x
>-；x ∈[−1, 1]时恒成立；
令29
()3633x f x x x x
==-+---；由x ∈[−1, 1]得3−x ∈[2, 4]；当3−x =3即x =0时；函数
f (x )有最小值0；又1111(1),(1),()0,,4222f f f x a ⎡⎤
-==∴∈∴>⎢⎥⎣⎦
11、222
lim
2
x x cx a x →++=-1,3)1)(2(22=-=⇒--=++⇒a c x x cx x ； ∴11'22<⇒-=-=
b x
b
x x b x y 或e b >
12、 M 、N 关于直线x -y =0对称1-=⇒k 且圆心⎪⎭
⎫
⎝⎛--
2,2m k 在直线x -y =0上；
从而1-=m ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥-≤-+⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0
20002y y x y x y m y kx y kx ；ω=12--a b 看成斜率。

二、填空题； 13、345 14、60o
15、0 16、①②③④
简答与提示； 13、直线对称 14、将正方体复原
15、0 两边求导；再分别把x 赋值x=2；x=0；最后把所得两式相乘即得.
16、①注意到G ≠0； ②cos αcos β=1⇒ cos α=cos β=1或cos α=cos β=-1； ③ 记f(x)=|x －4|+|x －3|＜a ；依题意则有a ≥[]min )(x f 1； ④ y =sin x +sin|x |⎩⎨
⎧<≥=)0(0
)
0(sin 2x x x 。

三、解答题； 17、（本小题满分12分）
解；设甲先答A 、B 所获奖金分别为ηξ、元；则有
.61
3121)3(,31)311(21)(,21211)0(=⋅===-===-
==a P a P P ξξξ …… 3分 .61
2131)3(,61)211(31)2(,32311)0(=⋅===-===-==a P a P P ηηη ……6分
65613612320;6561331210a
a a E a a a E =⋅+⋅+⋅==⋅+⋅+⋅=∴ηξ …………10分
由于两种答序获奖金的期望相等；故先答哪个都一样。

…………………………12分
18、（本小题满分12分） 解；（Ⅰ）2
1
)2cos 2(sin 212sin 21)2cos 1(21)(++-=--=
ax ax ax ax x f 2
1
)42sin(22++-=πax …………………………………4分
∵)(x f y =的图象与m y =相切.
∴m 为)(x f 的最大值或最小值. 即221+=m 或2
2
1-=m ……6分 （Ⅱ）又因为切点的横坐标依次成公差为2π的等差数列．所以)(x f 最小正周期为2
π
.
又0,2
22>==a a T π
π 所以2=a ……………………………8分
即2
1
)44sin(22)(++-
=πx x f ……………………………………9分
令0)4
4sin(=+
π
x ．则
)(,16
4)
(,4
400Z k k x Z k k x ∈-=
∴∈=+
π
πππ
………………………10分 由0≤
164ππ-k ≤,()2
k Z π
∈得k =1,2, 因此对称中心为)21,163(π、)2
1
,167(π． ……………………………12分
19、（本题满分12分）
解；⑴解法一；如图1；证明0M=0N=MN=
21AB=21BC=21AC,从而∠MON=3
π
∴点E 、F 在该球面上的球面距离为
3
π. 解法二；如图2；补形易证；∠EOF=∠GOH =
3
π. 解法三；其实AOF AOE EOF ∠∠=∠cos cos cos ；易证；∠EOF=3
π. 解法四；如图3；建立空间直角坐标系；易知E(
22,0, 22)、F(0,22, 2
2) ∴2
1||||cos =⋅=
∠OF OE OF OE EOF ；从而∠EOF =3π
. …………………6分
⑵ 解法一；如图1；取BC 中点P,连接AP 交MN 与Q,则易证；∠POQ 就是所求二面角的平面角。

在三角形OPQ 中；OP=22,PQ=OQ=21AP=4
6
,可解得cos ∠POQ=33；
∴∠POQ=arcos
3
3
（=arctan 2）. ……………………………12分 解法二；如图2；补形成正方体去解决.
解法三；如图3；建立空间直角坐标系去求解。

20、（本题满分12分）
解；（Ⅰ）因为点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2
+=的图象上 所以n n S n 22+= *N n ∈
当1=n 时；32111=+==S a ……………………………………………2分
H
D K G
M N P Q ⑴ ⑵ ⑶
当2≥n 时；
12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n （*） ……………3分 令1=n ；3121=+=a ；也满足（*）式
所以；数列}{n a 的通项公式是12+=n a n ． …………………………………4分
（Ⅱ）由x x x f 2)(2+=求导可得 22)('+=x x f
∵ 过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k
∴ 22+=n k n …………………………………………………………5分 又∵n k n a b n ⋅=2
∴n n n n n b 4)12(4)12(222⋅+=+⋅=+ ……………………………6分
∴
++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 32474454434n T n n 4)12(4⋅+ ① 由①4
⨯可得
++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 432
4744544344n T 14)12(4+⋅+n n ②
①-②可得
)444(243[4332n n T +++⋅+⨯⋅=- ]4)12(1+⋅+-n n
4
1)
41(4243[412--⋅
+⨯⋅=-n ]4)12(1+⋅+-n n ∴ 9
16
49162-⋅+=
+n n n T ……………………………………………………8分 （Ⅲ）∵*},22|{N n n x x Q ∈+==；*},24|{N n n x x R ∈+== ∴R R Q = --------------------------- 10分
又∵R Q c n ∈；其中1c 是R Q 中的最小数；
∴61=c ； --------------------------- 11分 ∴ 6410+=m c *N m ∈ ({}n c 的公差是4 的倍数!)
又∵11511010<<c
∴⎩⎨
⎧∈<+<*
115
64110N m m 解得27=m
∴11410=c ………………………………………………………………………10分 设等差数列}{n c 的公差为d
则129
6
114110110
=-=--=c c d ∴ 61212)1(6-=⋅-+=n n c n
所以；}{n c 的通项公式为612-=n c n ． ……………………………12分
21、（本题满分12分）
（1）证明；由抛物线定义知1||0+=y PF ；（2分）
2
|00x
y k x x PQ ='==；可得PQ 所在直线方程为x 0x =2(y +y 0)； ………………………4分
得Q 点坐标为(0, -y 0)；∴1||0+=y QF ；∴ |PF |=|QF |；∴△PFQ 为等腰三角形。

…6分 （2）设A (x 1, y 1)；B (x 2, y 2)；又M 点坐标为(0, y 0)； ∴AB 方程为00
2
y x x y +=
；
由⎪⎩⎪⎨⎧+==00
224y x x y y x 得042002=--y x x x ,2021x x x =+∴2
00214x y x x -=-=……① 由MB AM λ=得；),(),(022101y y x y y x -⋅=--λ； ∴21x x λ-=……② 由①②知⎩
⎨⎧==-2
022022)1(x x x x λλ；得2
22224)1(x x λλ=-；由x 0≠0可得x 2≠0； ∴λλ4)1(2=-；又1>λ；解得；223+=λ． ………………………………12分
22、（本小题满分14分）
（1）∵)()(412
R t t b at t f a
∈+
-=；配方得a
b a b t a t f 4122)()(-+-
=； 由0<a 得最大值1041>⇒>-b a
b 。

……………………………………………3分 ∴}0|{<<=x a x A ；}|{b x b x B <<-=。

…………………………5分 （2）要使32)(=E P ；3
1)(=F P 。

可以使 ①A 中有3个元素；B A -中有2个元素； B A 中有1个元素。

则2,4=-=b a 。

…………………………………………………………………8分 ②A 中有6个元素；B A -中有4个元素； B A 中有2个元素。

则3,7=-=b a ……………………………………………………………………10分 （3）由（2
）知21()4([])16f t t t m m =--∈- …………………………11分
()g m
= 21
161
1621
164,,0
4,0
m m m m m --<≤≤-+> ……………………………………………14分。