第26和27课时三角函数的图像和性质答案 (1)

第26、27课时 三角函数的图像和性质
一、考题再现：
1．（2012年高考（北京理））已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x
f x x
-=
.
(1)求()f x 的定义域及最小正周期; (2)求()f x 的单调递增区间.
【考点定位】本题考醒三角函数知识,此类型题在平时练习时练得较多,考生应该觉得非常容
易入手.
解:(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -=
=(sin cos )2sin cos sin x x x x
x
-=2(sin cos )cos x x x -=
sin 21cos2x x --
=2sin(2)14
x π
-
-,{|,}x x k k Z π≠∈
(1) 原函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈,最小正周期为π; (2)原函数的单调递增区间为[,)8
k k k Z π
ππ-
+∈,3(,
]8
k k k Z π
ππ+∈ 2．（2012年高考（湖北理））已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,
(cos sin ,23cos )
x x x ωωω=--b ,
设
函
数
()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1
(,1)2
ω∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π
[0,
]5
上的取值范围. 1.考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质.
解析:(Ⅰ)因为22()sin cos 23sin cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+
cos 23sin 2x x ωωλ=-++π
2sin(2)6x ωλ=-+.
由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得π
sin(2π)16
ω-=±, [来源:21
世纪教育网] 所以ππ2ππ()62k k ω-
=+∈Z ,即1
()23
k k ω=+∈Z . 又1
(,1)2
ω∈,k ∈Z ,所以1k =,故56ω=.
所以()f x 的最小正周期是
6π
5
. (Ⅱ)由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π
()04
f =,
即5πππ
2sin()2sin 26264
λ=-⨯-=-=-,即2λ=-.
故5π
()2sin()236f x x =--,
由3π05x ≤≤
,有π5π5π6366
x -≤-≤, 所以15πsin()1236x -≤-≤,得5π
122sin()22236x --≤--≤-,
故函数()f x 在3π
[0,
]5
上的取值范围为[12,22]---. 3 ．（2012年高考（天津理））已知函数
2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]44
ππ
-
上的最大值和最小值. 【命题意图】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单
调性等知识.
()=sin 2cos
cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333
f x x x x x x ππππ
++-+ sin 2cos 22sin(2)4x x x π
=+=+
所以,()f x 的最小正周期22T π
π==.
(2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84
ππ
上是减函数,又
()14
f π
-=-,()2,()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ-2,最
小值为1-.
【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ωϕ的数学模型,再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可.
二、考点归纳：
1：正弦、余弦、正切函数的图像
2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；
3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；
三、知识梳理：
正弦、余弦、正切函数的性质
解析式 y =sinx y =cosx y =tanx
定义域 R R ⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧∈+≠Z k k x x ,2|ππ
值域 [－1，1] [－1，1]
R
零点 x=k π，k ∈Z
,2
x k k Z
π
π=+
∈
x=k π，k ∈Z 对称轴 x=
2ππ+
k ,k ∈Z
x=πk ,k ∈Z
无
周期性 T =2π T =2π T =π
增区间
2,222k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
k ∈Z []πππk k 2,2-
k ∈Z
)
2,2
(π
ππ
π+
-
k k
k ∈Z
减区间
32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
k ∈Z
[]2,(21)k k ππ+
k ∈Z
（无)
四、例题分析：
目标1 掌握最简单的三角函数的基本性质
【例1】 求下列函数的定义域
（1）)1sin 2lg(cos 21-+-=x x y （2）)
1lg(cos lg sin 2
++=
x x
x y
【变式拓展】 求函数)cos (sin log )(2
1x x x f -=的定义域和值域。

【例2】求函数1
sin 2
sin --=x x y 的值域．
【变式拓展】(海南宁夏)函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为
解：∵()2
21312sin 2sin 2sin 22f x x x x ⎛
⎫=-+=--+ ⎪⎝
⎭
∴当1sin 2x =
时，()max 3
2
f x =，当sin 1x =-时，()min 3f x =- 目标2 灵活运用角函数的诱导公式，结合和与差的公式是解决问题的关键
【例3】已知函数x x g x x f 2cos )(),6
2sin()(=+
=π
，直线)(R t t x ∈=与函数
)(),(x g x f 的图像分别交于M ，N 两点。

（1） 当2
π
=
t 时，求MN 的值；
（2） 当]2
,0[π
∈t ，求MN 的最大值.
【变式拓展】（2010江苏卷10）定义在区间⎪⎭
⎫
⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与
y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为____________。

答案：
23
[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=
23。

线段P 1P 2的长为23
【例4】已知定义域为R 的函数)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的最小正周期为π，并且对一切R x ∈∀，都4)12()(=≤π
f x f
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)6
(
)(x f x g -=π
求)(x g 的单调增区间。

规范答题赏析（2011扬州二模)已知函数
)
()2cos 3sin 222x
x x
f x =-．
（1)设
ππ2
2θ⎡⎤∈-⎢⎥
⎣⎦，，且()31f θ=，求θ的值；
（2)在△ABC 中，AB =1，()31
f C =，且△ABC 3
，求sin A +sin B 的值．
[解答] （1)
2
()232sin cos 222x x x
f x =-3(1cos )sin x x +-=()
π2cos 36x ++…3分
由()π2cos 331
6x ++=，得
()
π1cos 62x +=， ……5分
于是
ππ2π()63x k k +
=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以
ππ26x =-或． ………7分 （2)因为(0π)C ∈，，由（1知
π
6C =
． …………9分
因为△ABC 3
31πsin 2
6ab =，于是23ab =. ① 在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b .
由余弦定理得
2222π
12cos
66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②
由①②可得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，32.a b ⎧=⎪⎨=⎪
⎩，
于是23a b +=+． …………12分 由正弦定理得sin sin sin 1
12A B C a
b ===， 所以
()31sin sin 12A B a b +=+=． …………14分 反思提升解决角函数问题的办法是：充分利用最简单的三角函数的图像和性质，
再与一次函数、二次函数、分式函数等函数的知识有机结合解决问题。

【变式拓展】参照南方凤凰台61页例4
五、随堂练习：
1.（上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .
【答案】12
【解析】()cos 2sin 212)14f x x x x π
=++=
++，所以最小值为：12-2..（上海卷）当时10≤≤x ，不等式kx x
≥2
sin π成立，则实数k 的取值范围是
_______________.
【答案】k ≤1
【解析】作出2
sin
1x
y π=与kx y =2的图象，要使不等式
kx x
≥2
sin
π成立，由图可知须k ≤1。

3.（北京）（本小题共12分）已知函数()2sin()cos f x x x π=-.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．
（Ⅰ）∵()()2sin cos 2sin cos sin 2f x x x x x x π=-==，
∴函数()f x 的最小正周期为π.
（Ⅱ）由26
2
3
x x π
π
π
π-
≤≤
⇒-
≤≤，∴3
sin 212
x -
≤≤， ∴()f x 在区间,62ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，最小值为32-.
4.(山东卷)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
3
π
)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.
(2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求
sinA.
解: （1）f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 233222x x x x ππ--+
=- 所以函数f(x)的最大值为
13
2
+,最小正周期π. （2）()2c f =
13sin 22C -=－41, 所以3sin 2C =, 因为C 为锐角, 所以3
C π=, 又因为在∆ABC 中, cosB=
31, 所以 2
sin 33
B =, 所以 2113223
sin sin()sin cos cos sin 232326
A B C B C B C =+=+=
+⨯=. 【命题立意】:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性
质以及三角形中的三角关系.。