在动量表象中

那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为
r c(p,t)(i p )c(p,t)d 3 p,
其它观测量的平均值类似可表示出。
p c(p,t)(ip )c(p,t)d 3 p,
如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态
( x, t )
p (x) exp(
i
Ep'
t),
c( p,t)
常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角 动量表象
例题2 质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F>0)中运动， 运动范围限制在x0, 试在动量表象中求解束缚态能级 和本征函数。
解： 势能为V（x）＝Fx， 总能量为
H T V P2 Fx 2m
在动量表象中，x的 算符表示为
p
(x)
1
(2)1/ 2
其转置矩阵表示为
R~
cos sin
sin cos
变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为
RR~ R~R 1
因为R＊=R，
（7）
5.1.2 Representation Theory (表象理论)
一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述， 将ψ(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函 数。 将ψ(r,t) 还可表示成
0
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为1, 2,…, n…,对应的正交本 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（x）按Q的 本征函数展开为
(x,t) anun (x),
n
（16）
下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x), 并积分
am (t) um (x) (x,t)dx,
E1
1.8558
(
2 F m
2
)1/ 3
习题4.1 求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元
Lx
y
pz
z
py
i( y
z
z
) y
解：Lx在动量表象中的矩阵元
Lxpp'
* p
(r)Lˆx
p'(r)d 3r
* p
(r)(
ypˆ z
zpˆ y
)
p'
(r)d
3r
第
1
一 项
i (2)3/ 2
矩阵Fnm的共轭矩阵表示为
Fnm* un (x)[Fˆum (x)]*dx
因为量子力学中的算符都是厄米算符，
Fnm* un (x)[Fˆum (x)]*dx [Fˆum (x)]*un (x)dx
um* (x)Fˆun (x)dx
（23）
即 Fnm* Fmn
将满足该式的矩阵称为厄米矩阵
（1’）
在此坐标中，矢量A表示成
A A1e'1 A2e'2
（2’）
A A1e'1 A2e'2 A1e1 A2e2
对上式分别用e’1, e’2点乘
（3）
A1 A1(e'1e1) A2 (e'1 e2 ) A2 A1(e'2e1) A2 (e'2 e2 )
（4）
写成矩阵的形式
A1 A2
1
( px )2
23 1 c( px ) ( px )2
动量的几率分布为
wp
c( px ) 2
23
1
( px )4
动量的平均值为 p *(x) pˆ (x)
pˆ (x) i 43 (xex ) 2i 3 (1 x)ex
x
p (x)pˆ (x) 4i3 (x x2 )e2xdx
将(x,t)和 (x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开
(x, t) amum (x),
n
(x,t) bmum (x),
m
代入上式，
Fˆ(x,t) (x,t),
bmum (x) Fˆ amum (x),
m
m
两边同乘以u*n(x), 并在整个空间积分
bm un* (x)um (x) dx un*(x)Fˆam(t)um(x)dx
在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。 大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。
所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为 希尔伯特（Hilbert）空间.
5.1量子态的不同表象， 幺正变换
5.1.1 坐标表象
通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.
表象: 量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.
平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2， 长度为1，彼此正交，即
x2
x’2
A’2
(ei , e j ) ij (i, j 1,2) （1） A2
数列a1(t), a2 (t), a3(t),...an (t)..
可表示成一 列矩阵的形 式
a1(t)
a2 (t)
an (t)
其共轭矩阵
为一行矩阵
a*1(t), a*2 (t),... a*n (t),...
因为波函数是归 一化的，表示成
1
例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数
n=0:
0
4
exp( 1 x2 )
2
E0
1 2
n=1:
1 2
1 2
exp( 1 x2 )
2
x
E1
3 2
因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为
(x,t) 4 exp( 1 x2 ) 2 1 exp( 1 x2 ) x ....
4
2
2
2
总结
直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基 矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。
Cmn=Amn＋Bmn
（42）
两矩阵之积
Cmn Amk Bkn
k
4.3 量子力学公式的矩阵表述
(x) 2 dx
Axe x
2
dx
1
A2 x e2 2xdx A2 1 1, A 43
0Leabharlann 43(x) { 43 xex , x 0
0, x 0
c(
p, t )
43 (2)1/ 2
xex
p
(
x)dx
23
xexe pxxdx
0
x e 1 xdx
1
(
1)!(
N0)
23 xe( px )xdx 23
(
x,
t
)
p
(
x)dx,
（13）
如果已知ψ(r,t) 就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。
(r,t) 2d 3r c(p,t) 2d 3 p,
（14）
显然， c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。 已 知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述 的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。
2a
2a
p21
i
2a2
sin 2 x cos xdx
2a
2a
p22
i
a2
sin 2 x cos 2 xdx
2a
2a
Q在自身表象中的矩阵元
Qum (x) Qmum (x)
Qm为Q在自身空间中的的本征值
Qnm un (x)Qum (x)dx un (x)Qmum (x)dx
Qm un (x)um (x)dx Qmnm
结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵
如X在坐标空间中 可表示为
xmn x' (x x')
动量p在动量
空间中表示为
p
p'
(
x)
p'
p
(x)dx
p' ( p' p)
一维无限深势 阱能量表象中 能量的矩阵元
一维谐振子能 量表象中能量 的矩阵元
E1. 0 0
Emn
0
E2 0
3 2
Emn 0
能量表象
1 sin n x
a 2a
En
22n2 8a 2
xmn
1 a
sin(
n
2a
x)
xˆ
sin( m
2a
)xdx
1 a
x sin(
n
2a
x)
sin( m
2a
)xdx
1
x11 a
x sin2 xdx
2a
x12
1 a
x sin x sin 2 xdx
2a 2a
1
2
x21 a
x sin x sin xdx 2a 2a
i
e pxx
d
dp
p (x)
i
x
1
(2)1/ 2
i
e pxx
i
x
p (x)
xˆ i d dp
Hˆ P2 Fx P2 iF d
2m
2m
dp
定态的薛定谔方程
p2 ( p) iF d ( p) E( p)
2m
dp
(
p)
A
exp
i F
p3 ( 6m
Ep)
E可由贝塞尔函数解 出，基态能级为
* p (r) y
e d r i (
p'x
x
p'y
y
p'z
z)
3
z
i i
* p (r) yp'z
1
(2)3/ 2
e d r i (
p'x
x
p'
y
y
p
'z
z
)
3
*p (r) yp'z p' (r)d 3r yp'z pp '
第二项也可以导出，则Lx的矩阵元
Lxpp'
* p
(r)(
0
5
2
0
0
在动量空间中，
算符F的矩阵元
FP'P
p'
(
x)
Fˆ
p
(x)dx
矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵 （diagonal matrix ）, 当Fmn=1, 称为单位矩阵（unit matrix）,表示为I＝(δmn).
两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和
m
m
利用本征函数un(x)的正交性
bm nm bn (t) un*(x)Fˆum(x)dx am (t)
m
m
引进记号
Fnm un*(x)Fˆum (x)dx
bn (t) Fˆ am (t)
m nm
这就是 Fˆ(x,t) (x,t) 在Q表项中的表述方式。
表示成矩阵的形式：
b1(t) F11 F12 a1(t) b2 (t) F21 F22 a2 (t)
x22
1 a
x sin2 xdx
a
p (x) i sin(n x) sin(m )xdx
mn
a
2a x 2a
im n
m
2a2 sin( 2a x) cos( 2a x)dx
p11
i
2a2
sin x cos xdx
2a
2a
p12
i
a2
sin x cos 2 xdx
（17）
粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。
(x,t) 2 dx an (t)a*m (t) um*(x)un (x)dx m,n
an (t)a*m (t)mn a*n (t)an (t)
m,n
n
因为
(x,t) 2 dx 1
所以
a* n (t)an (t) 1
n
an 2 是对应力学量Q取不同能量本征值的几率
p
(x)
1
(2)1/ 2
exp(
i
px
x),
( x, t )
1
(2)1/ 2
i c( px , t) exp( px x)d p
（11）
c( p,t) p (x)dp
在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数， ψp(r )是动量 的本征函数。
（12）
1
c( p, t) (2)1/2
yp'z
zp'
y
)
p'
(r
)d
3r
L2 xpp'
p*(x)Lˆ2x p' (x)dx
* p
(r
)(
ypˆ z
zpˆ y
)2
p'
(r)d
3r
4. 2算符的矩阵表示
设算符F有如下关系 ：
Fˆ(x,t) (x,t)
在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),….
A
平面上的任何一个矢量都可用它 们来展开,
A A1e1 A2e2
e2 θ
O e’1
ee’12 θ A’1
A1
x1
（2） x’1
A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。
假设另一个x’1x’2直角坐标系，由 原来的坐标系顺时针旋转 θ角,其基矢为e’1e’2, 满足
(ei ' , e' j ) ij (i, j 1,2)
Fnm的转置矩阵为 F~mn Fnm
例如
F12 1 5
F~12
1 5
F21
若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，
得到的新矩阵称为F的共轭矩阵
Fmn
(F~mn )*
F
* nm
例如
F12
(F~12 )*
1*
5*
F21*
根据厄 米矩阵 的定义
Fnm* Fmn
所以
F
mn
Fmn
例题 （习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和 动量在能量表象中的矩阵元
(e'1 e1 ) (e'2 e1 )
(e'1 e2 ) (e'2e2 )
A1 A2
x2
x’2
A’2
cos s in
sin cos
A1 A2
A1 A2
R(
)
A1 A2
（5）A2e2 θ
O e’1
（6）
ee’12 θ A’1
A A1
x1 x’1
R（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当 R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。
p'
(
x)e
iE
p
't
p
(
x)dx
(
p
p'
)e
iE
p
't
,
在动量表象中，具有确定动量p’ 的粒子波函数是函数。
例题：一维粒子运动的状态是
(
x)
Axex {
,
x
0
0, x 0
求1）粒子动量的几率分布；
2）粒子的平均动量
0
x 1exdx