结构可靠度分析的高斯过程响应面方法

结构可靠度分析的高斯过程响应面方法
肖义龙;苏国韶
【摘要】高斯过程是一种具有严格的统计学习理论基础,在处理高维数、非线性、小样本的复杂回归问题中具有较高精度的机器学习方法.针对可靠度领域中采用传
统响应面法求解隐式功能函数结构可靠度精度不足的问题,采用高斯过程回归模型
重构隐式功能函数,并与改进传统响应面法相结合,提出了一种基于高斯过程响应面
方法的结构可靠度分析.研究分析表明,该方法在处理隐式功能函数的可靠度问题方
面具有结果可靠且计算效率高的优势.
【期刊名称】《人民长江》
【年(卷),期】2016(047)023
【总页数】4页(P82-85)
【关键词】可靠度;高斯过程;响应面法;机器学习
【作者】肖义龙;苏国韶
【作者单位】江西水利投资集团有限公司,江西南昌330029;广西大学工程防灾与结构安全教育部重点实验室,广西南宁530004
【正文语种】中文
【中图分类】TV314
结构可靠度分析中，如果结构对应的功能函数为显式，可直接采用简单的一次二阶矩法(FORM)、渐近积分法等方法求解[1]。

但在实际工程结构中，由于结构经常受到多种因素影响，要用数学表达式准确表达结构响应与各因素之间关系是很难做到，
此时需借助耗时的结构分析或数值方法计算结构的响应值以获得相应的功能函数值。

当前，对于功能函数是隐式的结构可靠度分析问题，蒙特卡洛模拟法(MCS)计算精度较高，同时为了保证计算精度，每次均需要进行上万次的结构分析，所以计算工作量巨大限制了该方法的运用。

而传统响应面方法(RSM)是比较理想的方法[2]，
尤其适用于隐式功能函数计算代价较高的情况。

但是，当功能函数呈高度非线性时，RSM法难以较好地逼近真实功能函数，进而导致计算精度不理想。

近年来，一些
学者提出采用人工神经网络(ANN)法和支持向量机(SVM)法重构隐式功能函数[3-7]，取得了一定的突破，但尚存在着如ANN的过度拟合和小样本条件下泛化能力差、SVM的核函数参数和损失函数难以确定等问题。

因此，探讨新的结构可靠度
分析方法很有必要。

高斯过程(Gaussian Process，GP)机器学习方法具有严格的统计学习理论基础[8]，在处理高维数、小样本、非线性等复杂回归问题中具有良好的回归效果。

该方法具有灵活的非参数推断、参数自适应获取等优点，现已成为机器学习领域的研究热点，并得到了广泛应用[9-10]。

本文拟将高斯过程机器学习方法引入结构可靠度分析中，为复杂工程结构的可靠度分析提供一条新的解析思路。

在机器学习领域中，GP是在高斯随机过程与贝叶斯学习理论基础上发展起来的一种机器学习方法。

采用贝叶斯原理的目的是利用观察到的真实数据不断更新概率预测分布，即给定新的输入x*、训练集的输入值x和观察目标值y的条件下，推断
出y*的最大可能预测后验分布p(y*| x*,X,y)，预测后验分布为
y*的均值为
式中,k(x*)= K(X,x*)为m×1阶协方差矩阵。

设，式(2)可写成核函数的形式
鉴于文章篇幅有限，对高斯过程机器学习方法的原理不做过多的阐述，需要进一步了解请参考文献[9]。

为说明GP的学习和推广预测能力，选取文献[11]中的高次多项式功能函数g(x)=x4+5分别进行GP重构。

GP模型的10个样本均匀分布于[-3，
3]间。

从图1可见，GP的重构效果较理想，不仅在[-3，3]区间拟合效果较好，而且在其他区间的推广预测效果也甚佳，远优于文献[11]中RSM法的重构效果。

此例说明对于高度非线性功能函数的重构，RSM法有一定的局限性，而GP具有较强适应性。

结构可靠度分析的高斯过程响应面法的基本思想是，通过高斯过程回归模型建立随机变量与功能函数值之间映射关系的高斯过程响应面，进而实现隐式功能函数及其偏导数的显式表达，从而可方便地采用验算点法计算结构的可靠指标。

2.1 结构可靠度指标的高斯过程表达式
假设结构的极限状态方程为
随机变量x的均值为μx，标准差为σx，设n维度的为极限状态面上一点，称为设计验算点。

在点x*处将式(4)按Taylor级数展开保留至一次项可得
方程ZQ=0为过点x*的极限状态面的切平面，利用相互独立正态分布随机变量线性组合的性质，ZQ的均值和方差分别为
结构可靠指标为
/
利用GP回归模型重构功能函数即式(3)逼近真实功能函数：
对xi求一阶偏导数，有：
将式(9)～(10)一并代入式(8)，得到可靠指标的高斯过程表达式：
/
式中，
2.2 高斯过程响应面法的实现步骤
(1) 假定初始验算点x*=(x1,x2 …,xn)，一般可取均值点。

(2) 通过结构分析程序计算功能函数值g(x1, x2,…,xn)与g(x1, x2,…,xi±fσi,…,xn)，构造2n×s+1个学习样本，其中f可取1～4，s为f取值的个数，一般情况下s
取1，f取2。

(3) 采用GP对学习样本集进行学习，根据式(3)建立逼近真实隐式功能函数的GP
模型，即建立响应值与随机变量之间的映射关系。

(4) 根据式(11)计算当前第k迭代步的可靠指标β(k)，并根据(13)式获得新的验算
点
式中，/
(5) 收敛条件设为|β(k)-β(k-1)|<ε(文中取10-3)。

如果收敛条件不满足，为了在迭
代过程中不断提升GP对失效概率贡献大区域(验算点的附近区域)的重构精度，并尽可能地减小调用功能函数的次数以提高计算效率，将当前第k迭代步的新验算
点及对应的真实功能函数值作为新样本添入原样本集，构成新的学习样本集，学习样本总数增至2n×s+1+k个，返回步骤(3)；否则，迭代结束。

(1) 算例1 。

某水工结构的单轴压缩功能函数为：g=10.26x1x2-1140。

其中：
x1～N(10,1)，x2～N(20,1)。

表1中列出了5个初始学习样本(n=2，s=1，f=2)。

采用GP模型进行学习，获
得最优超参数对数值为lnθ=ln(5.58, 4.70, 11.58, -9.72)，从表1中可看出，GP
功能函数值与真实功能函数值基本一致，说明GP回归模型能很好地表达随机变量与功能函数值之间的映射关系，进而可采用GP回归模型替代原功能函数进行可靠度求解。

表2中分别列出了采用FORM法和本文方法的各计算迭代步的验算点、偏导数值及可靠指标值，从中可见二者的最终结果非常接近，由此说明了本文方法的可行性。

(2) 算例2 。

某指数型极限状态方程是一个常用来考核可靠性分析方法精度的方程：g=exp[0.4(x1+2)+6.2]-exp[0.3x2+5.0]-200=0， x1～N(0,1)，x2～N(0,1)[5]。

采用本文方法求解时，初始学习样本共5个(n=2，s=1，f=2)。

各方法的计算结
果见表3。

算例结果表明：以FORM法为精确解时，RSM法的计算精度较差且调
用功能函数次数达31次，而本文方法的计算精度较高且调用功能函数次数仅有
13次，原因在于GP模型在验算点附近重构真实功能函数的精度远优于RSM法(见图2)。

径向基函数法(RBF)[3]和粒子群优化算法(PSO)[12]的计算精度虽与本文方法的一致，但调用功能函数的次数却分别是本文方法的22倍和5 330倍。

由此可见，本文方法不仅计算结果可靠，而且在计算效率方面具有一定优势。

某土坝的上游坝坡剖面、水位和浸润线如图3所示，坝体材料的内摩擦角φ与凝
聚力c是互为独立的正态变量，均值μc=15 kPa，μφ=20°，变异系数均为0.05，容重γ=20 kN/m3。

对上游坝坡进行可靠度分析，假设坝坡的抗滑稳定功能函数为g=K-1=F(c, φ)-1，其中K为坝坡安全系数并采用Bishop法程序求解，F(c, φ)表示随机变量与K之
间的非线性隐含关系。

构造的5个初始样本(n=2，s=1，f=2)见表4中的1～5号样本。

计算结果见表5，该工况下坝坡可靠指标β为12.380，其结果接近于MSC 法模拟104次的结果12.587，由此进一步表明了本文方法的可行性和实用性。

此外，表5中还列出了考虑9个初始样本(n=2，s=2，f=2,4，见表4)情况下的结果，与前者相比，计算精度更高但结构分析次数有所增加,计算耗时也有所延长。

(1) 本文将高斯过程与传统响应面方法相结合，提出了一种基于高斯过程机器学习的结构可靠度分析的响应面方法。

通过算例和工程运用研究表明，本文方法是可行的，具有高精度重构功能函数和计算效率高的优点，对解决复杂隐式功能函数的结构可靠度问题具有较强的适应性。

计算过程中所需要的结构分析工作量明显较少，在计算代价较高的大型复杂水工结构可靠度分析上具有广泛的应用前景。

(2) 学习样本的构建和获取对于本文方法具有重要的影响。

为验证本文方法的高效性，文中算例构造了尽可能少的初始学习样本。

一般来说，较多的初始学习样本对提高计算精度有利，但同时也在一定程度上降低了计算效率，故在实际应用中应综合考虑结构的复杂度、计算代价和精度要求等具体情况，构造合适的初始学习样本，
但如何针对不同工程结构的特点高效率地构造高质量的学习样本有待深入的研究。

【相关文献】
[1] 赵国藩. 工程结构可靠性理论与应用[M].大连：大连理工大学出版社，1996.
[2] KIMS,NAS.Response surface method using vector projected sampling
points[J].Structural Safety,1997(19):3-19.
[3] Jian Deng.Structural reliability analysis for implicit performance function using radial basis function network[J].International Journal of Solids and Structures,2006(43)：3255-3291.
[4] 桂劲松，康海贵.结构可靠度分析的全局响应面方法研究[J].建筑结构学报，2004,25(4)：100-105.
[5] 金伟良，袁雪霞.基于LS-SVM的结构可靠度响应面分析方法[J].浙江大学学报:工学
版,2007,41(1):44-47,108.
[6] 赵洪波.基于支持向量机的边坡可靠性分析[J].岩土工程学报,2007,29(6)：819-823.
[7] Guo Zhiwei，Bai Guangchen.Application of least squares support vector machine for regression to reliability analysis[J].Chinese Journal of Aeronautics,2009(22)：160-166. [8] Seeger M.Gaussian processes for machine learning[J].International Journal of Neural System,2004,14(2):69-106.
[9] Girolami M,Rogers S. Variational Bayesian multinomial probit regression with Gaussian process priors[J].Neural Computation，2006，18(8)：1790-1817.
[10] 苏国韶,宋咏春,燕柳斌.高斯过程机器学习在边坡稳定性评价中的应用[J].岩土力学，2009，30(3)：675-679, 687.
[11] Guan X L,Melchers R E .Effect of response surface parameter variation on structural reliability estimates[J].Structural Safety,2001，23(4)：429-444.
[12] Charles Elegbede.Structural reliability assessment based on particles swarm optimization[J].Structural Safety，2005，27(2)：171-186.。