【全国百强校】山西省祁县中学2018-2019学年高二上学期期末模拟一考试数学(理)试题

绝密★启用前 【全国百强校】山西省祁县中学2018-2019学年高二上学期期末模拟一考试数学（理)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若直线 ，直线 ，则直线a 与b 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．异面 C ．异面或平行 D ．平行 2．已知命题P: “若两直线没有公共点，则两直线异面.”则其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 3．下列说法正确的是( ) A ．“f (0) ”是“函数 f （x ）是奇函数”的充要条件 B ．若 p ： ， ，则￢ ： ， C ．“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” D ．若 为假命题，则p ，q 均为假命题 4．设棱长为1的正方体 中的8个顶点所成集合为M ，向量的集合 ，则P 中模长为 的向量的个数为 ( ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 5．直线 ： 与 ： 平行，则m 等于 A ． B ． C ． 或1 D ．1 6．已知方程 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是
…………装……※请※※不※※要※※在※…………装……7．圆 与直线 位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．由 确定 8．双曲线 右支上点 到其第一、三象限渐近线距离为 ，则a+b=( ) A ． B ． C ． D ． 9．一个圆圆心为椭圆右焦点，且该圆过椭圆中心，交椭圆于P ，直线 为该椭圆左焦点 是此圆切线，则椭圆离心率为( ) A ． B ． C ． D ．
10．圆 ， 、 ，动抛物线过A 、B 两点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 为棱CC 1的中点，点M 在正方形BCC 1B 1内运动，且直线AM//平面A 1DE,则动点M 的轨迹长度为（ ）
A ．
B ．π
C ．2
D ．
12．如图是几何体的平面展开图,其中四边形ABCD 为正方形,E,F 分别为PA,PD 的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:
①直线BE 与直线CF 共面； ②直线BE 与直线AF 异面；
③直线EF∥平面PBC ； ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有( )
A ．1个
B ．3个
C ．2个
D ．4个
………○…………_
____
__
___ …
…
…
○
…
………第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．如下图，矩形 是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中 ， ，则原图形是_____.
14．在正方体AC 1中，棱长为2，点M 在DD 1上，点N 在面ABCD 上，MN=2，点P 为MN 的中点，则点P 的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积为___. 15．设双曲线 与 离心率分别为 ， ，则当a ，b 变化时， 最小值为_________ ． 16．AB 为过抛物线焦点F 的弦，P 为AB 中点，A 、B 、P 在准线l 上射影分别为M 、N 、Q ，则下列命题： 以AB 为直径作圆，则此圆与准线l 相交； ； ； ； 、O 、N 三点共线 为原点 ，正确的是______ ． 三、解答题 17．设a ，命题p ： x ，满足 ,命题q ： x ， . (1 若命题 是真命题，求a 的范围； 2 ￢ 为假， ￢ 为真，求a 的取值范围． 18．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ； （Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
………○……………订…………○…………………○……※※请※※不※※※内※※答※※题※※ ………○……………订…………○…………………○…… 19．如图，在三棱柱ABC − 中， 平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为 ，AC ， ， 的中点，AB=BC = ，AC = =2．
（1）求证：AC ⊥平面BEF ；
（2）求二面角B−CD −C 1的余弦值；
（3）证明：直线FG 与平面BCD 相交．
20．如图，已知 过点 ，圆心C 在抛物线 上运动，若MN 为 在x 轴上截得的弦，设 ， ，
当C 运动时， 是否变化？证明你的结论．
求
的最大值，并求出取最大值时 值及此时 方程．
21．已知抛物线C ： =2px 经过点 （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．
（Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O 为原点， ， ，求证：
为定值．
22
x y
线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值； （Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个
交点为D .若C ,D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 共线，求k .
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
由题意，直线a∥α，可得直线与面没有公共点，故直线与面的线没有公共点，由此关系即可得出直线a与b的位置关系．
【详解】
由题意直线a∥α，直线bα，可得直线a，b一定没有公共点，故两直线的位置关系可以是异面或平行
故选：C.
【点睛】
本题考点是空间中直线与直线的位置关系，考察了线与面平行时，线与面内的线之间位置关系的判断，解题的关键是理解线面平行的定义及空间中线与线之间的位置关系，本题考察了空间想像能力及推理判断能力．
2．B
【解析】
【分析】
断原命题为假命题，可知其逆否命题为假命题，再判断原命题的逆命题为真命题，可知原命题的否命题为真命题．
【详解】
解：若两直线没有公共点，两直线平行或异面，
则命题p：“若两直线没有公共点，则两直线异面”为假命题，其逆否命题为假命题；
命题p的逆命题为：“若两直线异面，则两直线没有公共点”，为真命题，
∴原命题的否命题也为真命题．
∴原命题的逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数是2．
故选：B．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查原命题的逆命题、否命题、逆否命题之间的关系，是基础题．
3．C
【解析】
【分析】
根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．
【详解】
对于A，f（0）＝0时，函数f（x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；
函数f（x）是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；
是即不充分也不必要条件，A错误；
对于B，命题p：，
则￢p：x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；
对于C，若α，则sinα的否命题是
“若α，则sinα”，∴Ｃ正确．
对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴Ｄ错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．
4．B
【解析】
【分析】
P中模长为的向量的为，，，，，，，，从而集合P中模长为的向量的个数为8．
【详解】
解：∵棱长为1的正方体AC1中的8个顶点所成集合为M，
向量的集合，，，
则P中模长为的向量的为：
，，，，，，，，
∴集合P中模长为的向量的个数为8．
故选：B．
【点睛】
本题考查满足条件的向量的个数的求法，考查正方体的性质、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．D
【解析】
【分析】
由题意可得m≠0，根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，可得，由此求得m的值．
【详解】
解：由题意可得m≠0，由解得m＝1，
故选：D．
【点睛】
两直线位置关系的判断：和的平行和垂直的条件属于常考题型，如果只从斜率角度考虑很容易出错，属于易错题题型，应熟记结论：
垂直：；
平行：，同时还需要保证两条直线不能重合，需要检验！
6．A
【解析】
【分析】
根据焦点在y轴上的椭圆的方程的特点是方程中y2的分母比x2分母大且是正数，列出不等式组，求出m的范围．
【详解】
解：表示焦点在y轴上的椭圆，
∴2﹣m＞|m|﹣1＞0
解得＜或＜＜
故选：A．
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查计算能力，属于基础题.
7．A
【解析】
【分析】
把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据正弦函数的值域及θ的取值可得d小于r，从而判断出圆与直线相离．
【详解】
解：把圆的方程化为标准方程得：x2+y2，
∴圆心坐标为（0，0），半径r，
又，，，
∴圆心到直线x•sinθ+y﹣1＝0的距离d r，
则直线与圆的位置关系为相离．
故选：A．
【点睛】
此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，正弦函数的定义域及值域，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断：当0≤d＜r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．
8．A
【解析】
【分析】
P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，由此能够得到a+b的值．
【详解】
解：P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．
d，
∴|a﹣b|＝2．
又P点在右支上，在渐近线y＝x的下方，则有a＞b，
∴a﹣b＝2．
∴|a+b|×2＝1，a+b，
故选：A.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的简单性质、不等式表示的区域、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．
9．A
【解析】
【分析】
先根据题意和椭圆定义可知根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a﹣c；利用特殊三角形可得：，进而建立等式求得e．
【详解】
设F2为椭圆的右焦点
由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，
所以点P是切点，所以PF2＝c并且PF1⊥PF2．
又因为F1F2＝2c，所以∠PF1F2＝30°，所以PF1c．
根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝2a﹣c．
所以2a﹣c，所以e．
故选:A
【点睛】
本小题主要考查椭圆的简单性质、直线与圆的相切、椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
10．D
【解析】
【分析】
由题设知，焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和．而距离之和为A和B
的中点O到准线的距离的二倍，即为2r＝4，所以焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．由此能求出该抛物线的焦点F的轨迹方程．
【详解】
解：由题设知，焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和．
而距离之和为A和B的中点O到准线的距离的二倍，即为2r＝4，
所以焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆：
其中a为2，c为1．轨迹方程为：．
故选：D．
【点睛】
本题以圆为载体，考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
11．D
【解析】
【分析】
设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，则F为B1C1的中点．分别取B1B、BC 的中点N、O，连接AN、ON、AO，可证出平面A1DE∥平面ANO，从而得到NO是平面BCC1B1内的直线．由此得到F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段ON．
【详解】
解：设平面DA1E与直线B1C1交于点F，连接AF、EF，
则F为B1C1的中点．
分别取B1B、BC的中点N、O，连接AN、ON、AO，
则∵A1F∥AO，AN∥DE，A1F，DE平面A1DE，
AO，AN平面ANO，
∴A1F∥平面ANO．同理可得DE∥平面ANO，
∵A1F、DE是平面A1DE内的相交直线，
∴平面A1DE∥平面ANO，
所以NO∥平面A1DE，
∴直线NO平面A1DE，
∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段是线段NO．
∴M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长NO．
故选：D.
【点睛】
本题给出正方体中侧面BCC1B1内动点M满足NO∥平面A1DE，求M的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长，着重考查了正方体的性质，解题时要注意空间思维能力的培养．
12．B
【解析】
【分析】
①连接EF，由E、F分别为P A、PD的中点，可得EF∥AD，从而可得E，F，B，C共面，故直线BE与直线CF是共面直线；
②根据E平面P AD，AF平面P AD，E∉AF，B∉平面P AD，可得直线BE与直线AF是异面直线；
③由①知EF∥BC，利用线面平行的判定可得直线EF∥平面PBC；
④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面P AD不成立．
【详解】
解：如图所示，
①连接EF，则∵E、F分别为P A、PD的中点，
∴EF∥AD，∵AD∥BC，∴EF∥BC，∴E，F，B，C共面，∴直线BE与直线CF是共面直线，故①正确；
②∵E平面P AD，AF平面P AD，E∉AF，B∉平面P AD，∴直线BE与直线AF是异面直线，故②正确；
③由①知EF∥BC，∵EF⊄平面PBC，BC平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确；
④由于不能推出线面垂直，故平面BCE⊥平面P AD不成立．
故选：B．
【点睛】
本题考查空间线面位置关系，考查异面直线的判定，考查线面平行，属于中档题．13．菱形
【解析】
【分析】
由题意画出原平面图形，结合图形即可判断该图形是菱形．
【详解】
解：根据题意，直观图的两组对边分别平行，
且O′A′＝6cm，C′D′＝O′C′＝2cm，∴O′D′＝2；
还原为平面图形是邻边不垂直，且CD＝2，OD＝4，
如图所示，
∴OC＝6cm，
∴四边形OABC是菱形．
故答案为：菱形．
【点睛】
本题考查了平面图形与它的直观图应用问题，是基础题．
14．
【解析】
【分析】
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1，从而P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的，由此能求出结果
【详解】
解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，
根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半，
得不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的．
其体积Vπ×13．
故答案为：．
【点睛】
本题考查几何体的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养，明确动点P 的轨迹是解题的关键．
15．
【解析】
【分析】
先根据双曲线的标准方程求出e1和e2，根据并利用基本不等式求出e1e2≥2，再由
，求出其最小值．
【详解】
解：由题意可得e1，e2 ，
∴ 2 ，∴e1e2≥2，
∴，当且仅当a＝b时，等号成立．
故最小值为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程以及双曲线的简单性质的应用，求出e1和e2之后，根据a，b，c之间的数量关系利用均值不等式推导e1+e2的最小值．
16．②③④⑤
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义，可知AP+BP＝AM+BN，从而，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故可判断①错，③对；由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而可判断②④正确；
对于⑤，不妨设抛物线方程为y2＝2px，直线AB：，从而可证明k OA＝k ON，故可判断．
【详解】
解：由题意，AP+BP＝AM+BN
∴，∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故①错，③对；
由AP＝AF可知∠AMF＝∠AFM，同理∠BFN＝∠BNF，利用AM∥BN，可得MF⊥NF，从而②④正确；
对于⑤，不妨设抛物线方程为y2＝2px，直线AB：
联立可得y2﹣2kpy﹣p2＝0
设，，，，则，
∴，
∵y1y2＝﹣p2，∴k OA＝k ON，故⑤正确
故答案为②③④⑤
【点睛】
本题以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强．
17．（1）（2）
【解析】
【分析】
分别求出命题p，q成立的等价条件，
（1）然后根据若p、q为真命题，列式计算，
（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真⇒p、q同时为假或同时为真，分别求出确实实数m的取值范围即可．
【详解】
解：1真，则或得；
q真，则，得，
真，；
2由￢为假，￢为真⇒、q同时为假或同时为真，
若p假q假，则
或
得，
若p真q真，则，
所以，
综上或．
故a的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系的应用，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．
18．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
26；(Ⅲ)
4
【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．
（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直线
BC 与MD
所成的角．计算可得1226
MN cos DMN DM ∠==．则异面直线BC 与MD 所成角
（Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．计
算可得4CM sin CDM CD ∠==．即直线CD 与平面ABD
所成角的正弦值为4
． 详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD =AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC ．
（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．又因为M 为棱AB 的中点，故MN ∥BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与MD 所成的角．
在Rt △DAM 中，AM =1，故DM
．因为AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥AC ． 在Rt △DAN 中，AN =1，故DN
在等腰三角形DMN 中，MN =1
，可得12cos MN DMN DM ∠==． 所以，异面直线BC 与MD
（Ⅲ）连接CM ．因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，故CM ⊥AB ，CM
又因为平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ．所以，∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．
在Rt △CAD 中，CD ．
在Rt △CMD 中， sin CM CDM CD ∠==
所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为
4． 点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
19．(1)见解析（2）
；（3）见解析． 【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得 ，由线面垂直性质得 ,由三棱柱性质可得 ，因此 ，最后根据线面垂直判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系E-ABF ，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果，（3）根据平面BCD 一个法向量与直线F G 方向向量数量积不为零，可得结论.
详解：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，
∵CC 1⊥平面ABC ，
∴四边形A 1ACC 1为矩形．
又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点，
∴AC ⊥EF ．
∵AB =BC ．
∴AC ⊥BE ，
∴AC ⊥平面BEF ．
（Ⅱ）由（I ）知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1．
又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ．
∵BE 平面ABC ，∴EF ⊥BE ．
如图建立空间直角坐称系E -xyz ．
由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，，，，，，
设平面BCD的法向量为，，，
∴，∴，
令a=2，则b=-1，c=-4，
∴平面BCD的法向量，，，
又∵平面CDC1的法向量为，，，
∴．
由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为．
（Ⅲ）平面BCD的法向量为，，，∵G（0，2，1），F（0，0，2），∴，，，∴，∴与不垂直，
∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交．
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
20．（1）不变（2）最大值为，此时，圆C方程为
【解析】
【分析】
（1）先设出圆的方程，与联立利用韦达定理表示出|MN|即可发现|MN|的取值是否变化；（2）由（1）可设M（x﹣p，0）、M（x+p，0），先利用两点间的距离公式求出l1，l2，代入整理为关于p的函数，结合基本不等式求出其最大值和此时圆C的方程即可．
【详解】
解：设，方程为
与联立
得
在抛物线上
，代入
得为定值
不变
由可设、，
，
当且仅当时取等号，即
圆方程为
当时，为∠ANx--∠AMx，又
同理，时，仍可得
【点睛】
本题是对圆与抛物线以及基本不等式，距离公式等知识的综合考查，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．
21．(1)取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）
(2)证明过程见解析
【解析】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l 的斜率的取值范围，最后根据P A，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得
，．利用直线P A，PB的方程分别得点M，N的纵坐标，代入化简可得结论.
详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0<k<1．
又P A，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（I）知，．
直线P A的方程为y–2=．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．
所以．
所以为定值．
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
22．（Ⅰ）
2
21 3
x
y
+=
（Ⅲ）1
【解析】分析：（1）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出AB ，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 详解：
（Ⅰ）由题意得2c =
，所以c =
又c e a =
=
，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2
213
x y +=． （Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，
由2
2{ 1
3
y x m
x y =++=消去y 可得2246330x mx m ++-=，
则()
22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即2
4m <，
设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1232m
x x +=-， 212334
m x x -=，
则
122
AB x =-=， 易得当2
0m =
时， max ||AB =
AB
（Ⅲ）设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()33,C x y ， ()44,D x y ，
则221133x y += ①， 222233x y += ②，
又()2,0P -，所以可设1
112
PA y k k x ==
+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()
12
22{ 1
3
y k x x y =++=消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，
则2113211213k x x k +=-+，即2
1312
1
1213k x x k =--+， 又1112y k x =
+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147
y y x =+， 所以1111712,4747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得2222712,4747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
．
故3371,44QC x y ⎛⎫=+
- ⎪⎝⎭， 4471,44QD x y ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+
--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 将点,C D 的坐标代入化简可得
12
12
1y y x x -=-，即1k =．
点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公
式
21AB x =-
变形为
AB =再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。