高三江苏专版数学一轮复习课时作业(42)两直线的位置关系与点到直线的距离

课时作业(四十二) [第42讲 两直线的位置关系与点到直线的距离]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．已知直线l 1经过两点(－2,3)，(－2，－1)，直线l 2经过两点(2,1)，(a ，－5)，且l 1∥l 2，则a ＝________.
2．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＋k ＋12
＝0相交于一点，则k ＝________. 3．[2010·安徽卷] 过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________．
4．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1,0)对称，则a ＋b ＝________. 能力提升
5．[2011·扬州模拟] 直线ax －2y ＋2＝0与直线x ＋(a －3)y ＋1＝0平行，则实数a 的值是________．
6．两直线l 1：ax ＋by ＋3＝0与l 2：2ax ＋y －3b ＝0的交点是(－2,1)，则a ＝________，b ＝________.
7．[2012·青岛模拟] 已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0不垂直也不平行，则m 的取值范围为________．
8．三条直线l 1：x ＋y ＝0，l 2：x －y ＝0，l 3：y ＋2＝0围成一个三角形，则这个三角形的面积为________．
9．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是________．
10．[2011·惠州模拟] 已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
11．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________．
12．已知P (－2，－2)，Q (0，－1)，取一点R (2，m )，使|PR |＋|RQ |最小，则m ＝________.
13．(8分)已知正方形的中心为G (－1,0)，一边所在直线的方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．
14．(8分)给出三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4.若这三条直线不能围成任何一种封闭图形．试求出所有这样的实数m ，并指出三条直线的位置关系．
15．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
16．(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．
课时作业(四十二)
【基础热身】
1．2 [解析] 由题意知直线l 1的倾斜角为90°，而l 1∥l 2，所以直线l 2的倾斜角也为90°，又直线l 2经过两点(2,1)，(a ，－5)，所以a ＝2.
2．－12 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得交点为(－1，－2)，代入x ＋ky ＋k ＋12＝0，得k ＝－12
. 3．x －2y －1＝0 [解析] 设直线方程为x －2y ＋C ＝0，又所求直线经过(1,0)，故C ＝－1，所求直线方程为x －2y －1＝0.
4．4 [解析] 取直线x ＋2y －3＝0上的两个点(1,1)和⎝⎛⎭
⎫0，32，这两点关于点A 的对称点为(1，－1)，⎝
⎛⎭⎫2，－32，代入直线ax ＋4y ＋b ＝0中求得a ＝2，b ＝2，故a ＋b ＝4. 【能力提升】
5．1 [解析] 由两条直线平行的充要条件知a(a －3)－(－2)×1＝0，解得a ＝2或a ＝1，经检验知a ＝2不符合题意，故a ＝1.
6．1 －1 [解析] 将交点坐标代入两条直线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＋3＝0，－4a ＋1－3b ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1. 7．m ≠－8且m ≠2 [解析] 若直线AB 与直线2x ＋y －1＝0垂直，则k ＝4－m m ＋2＝12
，解得m ＝2；若直线AB 与直线2x ＋y －1＝0平行，所以k ＝4－m m ＋2
＝－2，解得m ＝－8.则m ≠－8且m ≠2.
8．4 [解析] 作图可知，围成的三角形是等腰直角三角形(如图中的阴影部分)，腰长为22，故这个三角形的面积为4.
9.56 [解析] 由题意知⎩⎨⎧ 3－11＋2·k ＝－1，2＝k·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，
解得k ＝－32，b ＝54
， ∴直线方程为y ＝－32x ＋54
， 其在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56
. 10．2 [解析] 由题意知3m －24＝0⇒m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0，可化为3x ＋4y ＋7
＝0，两平行线之间的距离是d ＝|－3－7|32＋4
2＝2. 11．(0,2) [解析] 因为直线l 1过定点(4,0)，故直线l 2所过定点也与(4,0)关于(2,1)对称，故定点为(0,2)．
12．－43
[解析] ∵R ()2，m 在直线x ＝2上，又P ()－2，－2，Q ()0，－1在直线x ＝2的同侧，∴求得P ()－2，－2关于直线x ＝2的对称点P ′()6，－2，∴()||PR ＋||RQ min ＝||P ′Q ，于是所求R ()2，m 为直线P ′Q 与直线x ＝2的交点，
∴直线P ′Q 的方程为y ＋2－1＋2＝x －60－6
，即x ＋6y ＋6＝0， ∴当x ＝2时，m ＝－43
. 13．[解答] 正方形中心G(－1,0)到四边距离均为 |－1－5|12＋3
2＝610. 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y －c 1＝0，
则|－1－c 1|10＝610
，即|c 1＋1|＝6，解得c 1＝5或c 1＝－7， 故与已知边平行的直线方程为x ＋3y ＋7＝0.
设正方形另一组对边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0， 则|3×(－1)＋c 2|10＝610
，即|c 2－3|＝6， 解得c 2＝9或c 2＝－3.
所以正方形另两边所在直线的方程为3x －y ＋9＝0和3x －y －3＝0，
综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为
x ＋3y ＋7＝0、3x －y ＋9＝0、3x －y －3＝0.
14．[解答] (1)由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0， 得l 1与l 2的交点A 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫44－m ，－4m 4－m . 要使A 点也在直线l 3上，只需点A 的坐标满足l 3的方程，
即2×44－m －3m ×－4m 4－m
＝4， 解得m ＝23
或m ＝－1， ∴当m ＝23
或m ＝－1时，三条直线交于一点． (2)l 1、l 2、l 3中至少有两条直线斜率相等时，这三条直线中至少两条直线平行或重合，但若直线的斜率不存在时，仍需单独考虑．
当m ＝0时，l 2：y ＝0，l 3：x ＝2.
∴l 2与l 3相交，交点为(2,0)，但(2,0)不在l 1上．
∴当m ＝0时，三直线能构成三角形．
当m ≠0时，当4－m ＝0，即m ＝4时，l 1∥l 2.
当－12m －2＝0，即m ＝－16
时，l 1∥l 3， 而当－3m 2－2＝0时，得m 2＝－23
，此方程无解． ∴l 2与l 3不平行．
综合(1)(2)知当m ＝－1，－16，23
，4时，三条直线不能围成任何一种封闭图形． 其中当m ＝－1或m ＝23
时，三直线共点； 而当m ＝4时，l 1∥l 2，l 3与l 1、l 2相交；
当m ＝－16时，l 1∥l 3，l 2与l 1、l 3相交．
15．[解答] (1)∵l 1⊥l 2，
∴a(a －1)＋(－b)·1＝0，即a 2－a －b ＝0，①
又点(－3，－1)在l 1上，
∴－3a ＋b ＋4＝0.②
由①②得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l 1∥l 2，∴a ＋b(a －1)＝0，∴b ＝a 1－a
， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：
(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a 1－a
＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．
∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪
⎪a 1－a ，∴a ＝2或a ＝23， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23
，b ＝2. 16．[解答] (1)证明：由已知得k(x ＋2)＋(1－y)＝0，
∴无论k 取何值，直线过定点(－2,1)．
(2)令y ＝0得A 点坐标为⎝
⎛⎭⎫－2－1k ，0， 令x ＝0得B 点坐标为(0,2k ＋1)(k ＞0)，
∴S △AOB ＝12⎪
⎪⎪⎪－2－1k |2k ＋1|， ＝12⎝⎛⎭⎫2＋1k (2k ＋1)＝12⎝
⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4 ≥12
(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12
时取等号． 即△AOB 的面积的最小值为4，
此时直线l 的方程为12
x －y ＋1＋1＝0. 即x －2y ＋4＝0.。