【三角与向量专题 高考数学复习】第2讲 三角函数的图像与性质-原卷及答案

第2讲 三角函数的图像与性质
知识与方法
本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质,并要掌握好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容.
1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.
(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点); （2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求;
(3)正切曲线是被相互平行的直线,2
x k k ππ=
+∈Z 所隔开的无数支曲线组成的,正切曲线的
对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要注意以下几点.
(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.
(2)理解并掌握函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换. 具体: : (0) (0)
sin sin() ||
y x
y x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度
()()
011sin()1
y x ωωωϕω
<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）
()()
101sin()
A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）
注意,若周期变换在前,则一般公式为
sin sin[()]sin(), ||y x
y x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度
sin sin sin()
y x
y x x ϕωωωϕϕωω
⎡⎤
⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.
(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T π
ω=叫做周期,1f T
=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.
一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω
=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借
典型例题
【例1】
求函数y .
【例2】
函数()(1)cos f x x x =在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为_________.
【例3】已知1
sin sin 3
x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.
【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.
【例5】函数sin 2cos x
y x
=+的最大值是_______.
【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,求： （1）函数()f x 的单调递减区间.
(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.
【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一
条对称轴方程是（） A.12x π=
B.6
x π=
C.512
x π=
D.3
x π=
【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称,则实数a =______.
【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
对于任意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12
x x -的
最小值为（） A.
4
π B.
2
π C.1 D.2
【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
. (1)求它的振幅、周期和初相. (2)用“五点法”作出它的图象.
(3)2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到?
【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭
的一个周期的图象如图所示.
(1)写出解析式.
(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.
【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫=+
>= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上
有最小值,无最大值,则ω=________________.
【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+-,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（ ） A.[]
4,2--
B.[]
2,0-
C.[]
0,2
D.[]2,4
强化训练
1. 求函数lg(sin )y x =-.
2. 已知cos3y a b x =-的最大值为32,最小值为12-,求实数a 与b 的值.
3. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为
___________.
4.函数sin cos (0)
sin cos 1
x x y x x x π=<<-+的值域是________.
5.函数2sin 1
sin 2
x y x +=-的值域是________.
6.已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数,求ω的取值范围.
7.若函数()sin
([0,2))3
x f x ϕ
ϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（） A.
2
π B.23
π C.
32
π D.
53
π
8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4
x π=
处取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称
B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪
⎝⎭对称
C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称
D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________.
10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是（）
11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则
24f π⎛⎫= ⎪
⎝⎭
__________.
A.向右平移4π个单位长度
B.向左平移4π个单位长度
C.向右平移
12π个单位长度 D.向左平移
12
π个单位长度
12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减,则ω的取值范围是________________.
13. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则
123x x x ++=________________.
第2讲 三角函数的图像与性质
知识与方法
本专题主要知识为三角函数的图象与性质、函数sin()y A x ωϕ=+.三角函数的图象与性质的基础是正弦曲线,关键是利用其图象来理解、认识性质,并要掌握好“五点法”作图;对函数sin()y A x ωϕ=+图象的研究,教材采取先讨论某个参数对图象的影响(其余参数相对固定),再整合成完整的问题解决的方法安排内容.
1.会用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图,能借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值等);能借助正切线讨论正切函数的性质(周期性、奇偶性、单调性、值域等),理解利用正切线画出正切曲线.能从图象变换的观点画函数图象,用变量代换的观点讨论函数的性质.
(1)“五点法”作图的关键在于抓好三角函数中的两个最值点,三个平衡位置(点); （2）对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”,要特别注意“每一个值”的要求;
(3)正切曲线是被相互平行的直线,2
x k k ππ=
+∈Z 所隔开的无数支曲线组成的,正切曲线的
对称中心坐标为,0,2k k π⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭
Z . 2.对于函数sin()y A x ωϕ=+,要注意以下几点.
(1)会用“五点法”作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象.
(2)理解并掌握函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图象和函数sin y x =图象的变换关系,通常为:相位(平移)变换→周期变换→振幅变换. 具体: : (0) (0)
sin sin() ||
y x
y x ϕϕϕϕ><=⇒=+相位变换所有点向左或向右平移个单位长度
()()
011sin()1
y x ωωωϕω
<<>⇒=+周期变换：横坐标伸长或缩短到原来的（纵坐标不变）
()()
101sin()
A A y A x A ωϕ><<⇒=+振幅变换：各点纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）
注意,若周期变换在前,则一般公式为
sin sin[()]sin(), ||y x
y x x ωωϕωωϕϕ==+=+平移变换平移个单位长度
sin sin sin()
y x
y x x ϕωωωϕϕωω
⎡⎤
⎛⎫=⇒=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦平移变换平移个单位长度.
(3)当函数sin()(0,0,[0,))y A x A x ωϕω=+>>∈+∞表示一个振动量时,A 叫做振㬏,2T π
ω=叫做周期,1f T
=叫做频率,x ωϕ+叫做相位,ϕ叫做初相.
一般结论:函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+(其中,,,x A ωϕ∈R 为常数,且0,0)A ω≠>的周期2T πω
=. 数形结合的思想方法贯穿了本专题的内容,要熟练把握三角函数图使的形状特征,并能借
典型例题
【例1】
求函数y .
【分析】将复合函数的定义域问题转化为三角不等式问题求解,考虑用图像或单位圆中三角函数线解决.
【解析】利用cos y x =的图象(图1)或单位圆(图2)知:在一个周期[,]ππ-内,满足1cos 2
x
的解为33
x π
π-
,故所求函数的定义域为 {
}
|22,33
x k x k k ππππ-++∈Z .
图1图2
【点睛】本题是求复合函数的定义域问题,应先确定使二次根式、三角函数有意义x 的的取值范围,易错误提示：当列出有关tan x 的式子时,应注意其中隐含的条件. 如解3
tan 3x
,利用tan y x =的图象(图3)或单位圆(图4)得,,62x k k k ππππ⎡⎫∈++∈⎪⎢⎣
⎭
Z
【例2】函数()(1)cos f x x x =在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域为
【分析】本题为含正切与余弦的三角函数在某一区间上求值域的问题,一般化为同角且同名的三角函数,转化为探讨形如()sin()f x A x ωϕ=+的式子在某一区间上的值域.
【解析】由已知得()(1)cos cos 2sin
6f x x x x x x π⎛⎫==+=+
⎪⎝
⎭
. 因为33x π
π-
,所以662x ππ
π-+,所以1sin 126x π⎛⎫-+ ⎪
⎝
⎭,所求值域为[1,2]-.
【点睛】先利用三角函数公式将已知函数化为()sin()f x A x ωϕ=+的形式,再利用正弦函数
的性质可得所求的值域,解题时要注意定义域的范围和A 的符号. 【例3】已知1sin sin 3
x y +=,则2sin cos y x -的最大值是_________.
【分析】本题为由两个不同角的三角函数关系，求解不同角、不同名、不同次函数sin y -2cos x 的值域问题.一般解法为消元,根据已知条件将sin y 用sin x 表示,利用三角函数的基
本关系式将2cos x 用sin x 表示,所求的式子昁般化为关于sin x 的二次式,其中整理得到2
2
111sin cos sin 212
y x x ⎛⎫-=--
⎪⎝⎭,最后利用sin x 的取值范围,结合二次函数图象进行求解. 【解析】因为1sin sin 3x y +=,所以1sin sin 3
y x =-.
函数()
2
2
2212111sin cos sin 1sin sin sin sin 33212
y x x x x x x ⎛⎫-=---=--=-- ⎪⎝⎭.又因为1sin 1y -,所以121
sin 1,sin 133
x x ---.
当2sin 3x =-时,2sin cos y x -取最大值49
.
【点睛】解本题主要利用了同角三角函数的基本关系式、正角函数的有界性、二次函数的图象与性质.解题关键在于消元,将目标式2sin cos y x -转化为关于sin x 的二次式,这里确定
sin x 的取値范围2
sin 13x -
是一个易错点.事实上sin 1x =-不成主,否则sin y 413
=>,矛
盾.
【例4】函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是_________.
【分析】令sin cos x x t +=,借助sin ,cos x x 的平方关系进行换元,将三角函数转化为关于t 的二次函数,由二次函数图象的对称轴和单调性求出最值.
【解析】令sin cos x x t +=,则[
4
t x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭
.
对sin cos x x t +=平方,得2
12sin cos x x t +=,所以21sin cos 2
t x x -=.
所以2
211(1)1
22
t y t t -=+=+-,值域为12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.
【点睛】三角函数运算中和(sin cos )x x +、差(sin cos )x x -、积(sin cos )x x 存在着密切的联系.如
2222
(sin cos )12sin cos ,(sin cos )(sin cos )2,(sin cos )x x x x x x x x x x ±=±++-=+2(sin cos )4sin cos x x x x --=等.在做题时要害于观察,进行相互转化.本题在换元时,注意
[t ∈.
【例5】函数sin 2cos x
y x
=
+的最大值是_______.
【分析】本题涉及异名三角函数的分式型函数sin cos a x b y c x d +=+,可用反解和三角函数的有界性
求最大值;或用二倍角公式、万能公式将正弦、余弦化为半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的几何㫿义求解. 【解析】解法1：（反解与有界性)
去分母可得2cos sin y y x x +=,所以sin cos 2x y x y -=,
)2,sin()x y x ϕϕ+=+=
其中tan y ϕ=-.
由三角函数的有界性知|sin()|1x ϕ+,1,解得33
y
.
解法2：斜率的几何意义) 将sin 2cos x
y x =
+化为sin 0cos (2)
x y x -=--,
y 可看作动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,0)A -连线的斜率k .
易得(cos ,sin )P x x 在单位圆221x y +=上,且2
y
k x =
+,
单位圆221x y +=的圆心O 到直线(2)y k x =+
的距离1d ,
可得213
3
,33
3k k
-.解法3：(代数法)
由22
(2),
1
y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
222214410k x k x k +++-=. 令()()
422164141
0k k k ∆=-+-,可得2
13
3
,33
3k
k
-.解法4：(半角公式、万能公式、基本不等式) 因为
()
22222222sin cos 2sin cos 2tan sin 222222cos 3cos sin 3tan 2sin cos cos sin 2222222
x x x x x
x y x x x
x x x x x ===
=+++++-. (分子分母同除以2cos 2x )
要使函数sin 2cos x y x =
+最大,则tan 02
x
>.
从而22tan 222
3
23
3tan
tan 2
2tan 2
x
y x x x
=
=
=
+
+当且为当tan 2x
=.故所求的
解法5：由【解析】4得22tan 2
3tan 2
x
y x
=
+,将其化为2
tan 2tan 30
22
x x y y -+=.
当0y =时,tan
2
x =,成立; 当0y ≠时,tan
2x ∈R ,则4430y y ∆=-⋅,得21
3
y .
【点睛】本题考查分式型函数sin cos a x b y c x d +=+最大值的求法,用到多种方法求解,体现代数、
几何的统一.
【例6】已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,求： （1）函数()f x 的单调递减区间.
(2)函数()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间.
【分析】本题研究三角函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质,在求单调区间时,一般将ωτ
ϕ+看作一个整体,将正弦函数的单调区间代入求解,同时注意,A ω的符号对增减的影响.
【解析】(1)原函数化为()sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭,求函数()f x 的单调递减区间等价于求y =
sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间.
令222,2
3
2k x k k ππ
πππ--+∈Z ,解得5,1212
k x k k ππππ-+∈Z .故函数()f x 的单调
递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
Z .
(2)函数()f x 的单调递䧕区间与区间[,0]π-取交集即可.
函数()f x 的单调递减区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,经分析可得k 只能取0
和1-.故()f x 在区间[,0]π-上的单调递减区间为,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和7,12ππ⎡⎤--⎢
⎥⎣⎦
.
【点睛】解本题的关健是先把所给函数式化为标准形式()sin()f x A x ωϕ=+,应注意ω>0,把
x ωϕ+看作一个整体,根据正弦函数的单调性列出不等式,求得函数的递减区间的通解.若
要求某一个区间上的单㑉区间,则对通解中的k 进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.
【例7】已知函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝
⎭的最小正周期为π,则函数()f x 的图象的一条对称轴方程是（）
A.12
x π=
B.6
x π=
C.512
x π=
D.3
x π=
【分析】本题已知函数()f x 的最小正周期,先利用周期性求得三角函数的【解析】式,再进一步研究其图象对称轴方程的求法.
【解析】1结合函数()f x 的周期公式22T πω=,得1ω=,所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭.由于函数在
对称轴处取到最值,将选项代人()f x 的【解析】式检验即可,故选
C.
【解析】2由【解析】1知()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭. 令2()3
2
x k k πππ-
=+∈Z ,解得5()2
12
k x k ππ=+∈Z .
所以直线512
x π=
是()f x 图象的一条对称轴,故选 C.
【点睛】本题解题的关键是先由周期公式求得ω的值,再解决对称轴问题.求解对称轴方程有两种方法:一种是直接求出对称轴方程;另一种是根据对称轴的特征(即对称轴处的函数值为函数的最值)解决.同样地,求解对称中心也类似. 【例8】若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3
x π=
对称,则实数a =______. 【分析】三角函数的图象直观体现了三角函数的性质,主要特征是对称性、值域和单调性.解决问题时应先把三合函数的综合表达式转化为标准式,再进行处理.
【解析】解法1：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3
x π=对称,则
3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
,即12=
+,解得a 解法2:若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3
x π=
对称,则
21
(0),132f f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
,解得a
解法3：若函数())f x x ϕ=+的图象关于直线3
x π=对称,则
03f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭
.又()(sin cos )cos sin f x a x x a x x '=+'=-,即cos sin 033a ππ-=,解得a .故
【点睛】正弦函数在对称轴处取到最值.解本题的关䱓是求a 的值,由图象关于直线x =3
π对
称得33f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,从而求求a 的值,过程比较复杂.若换用特殊值点来求,小
2(0)3f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
,注意()()f a x f b x -=+,则()f x 的图象关于直线2a b x +=
对称;而()y f a x =-与()y f b x =+的图象关于直线2
a b
x -=
对称. 【例9】若函数()2sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
对于任意x ∈R ,都有()()12()f x f x f x ,则12
x x -的
最小值为（）
A.
4
π B.
2
π C.1 D.2
【分析】本题考查三㓩函数定义,三角函数周期的求法,以及计算能力和理解能力. 【解析】由题意知()1f x 和()2f x 分别为函数()f x 的最小值和最大值,故12x x -的最小值为函数的半周期.又周期2T =,故12x x -的最小值为1.答案为C .的最小值就是函数的半周期,求解即可.
*一般地,函数12()sin sin f x x x ωω=+的周期为112T πω=和22
2T πω=的最小公倍数,但函数
()sin 2sin f x x x π=+不是周期函数,不存在周㖵.
易错警示:考虑到|sin |,|cos |x x 的周期均为π,则|sin ||cos |y x x =+的周期为π.此为错误解法.
【例10】已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
. (1)求它的振幅、周期和初相. (2)用“五点法”作出它的图象.
(3)2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象可由cos y x =的图象经过怎样的变换得到? 【分析】熟悉三角函数图象的特征,掌用“五点法”作图不图象变换.
【解析】(1)2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪
⎝
⎭
的振幅为2、周期为π、初相为3π. (2)列表如下.
所作图象如下.
(3)【解析】解法1：(先平移后伸缩)
先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度,得sin 3y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
;再将横
坐标变为原来的
12,纵坐标不变,得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭;
最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
.
解法2：(先伸缩后平移)
先将函数cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得sin 22
y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
;
再将图象向右平移12π个单位长度,得sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
;
最后将纵坐标变为原来的2倍,横坐标保持不变,得2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭. 【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象,以“五点法”作图求解最为方便,但必须清楚它的图象与函数sin ,cos y x y x ==图象问的关系,弄清怎样由函㪇sin ,cos y x y x ==图象变换得到.要注意,在不同的变换中顺序可以不同,平移的单位长度可能不同.
【例11】已知函数()sin 0,2y A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭
的一个周期的图象如图所示.
(1)写出解析式.
(2)求该函数图象的对称轴方程及对称中心坐标. (3)求函数的单调区间.
【分析】本题为已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求三角函数的解析式等问题.一般观点(“五点法”)求ϕ.
【解析】(1)由图象知振幅32A =,周期T π=,所以22T
πω==,所以 3sin(2)2
y x ϕ=+.
代人初始点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭,得22,2,63k k k ππϕπϕπ⎛⎫⨯-+==+∈ ⎪
⎝⎭
Z .
又||2πϕ<,所以3πϕ=,函数的解析式为3sin 223y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
. (2)令232x k πππ+=+,得212k x ππ=+,对称轴方程为()212
k x k ππ=+∈Z . 令23x k ππ+=,得26k x ππ=-,对称中心坐标为,0()26k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z . (3)令2222
3
2k x k π
π
πππ-++,得512
12
k x k π
πππ-+.
所以函数的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .
令32222
3
2k x k π
π
πππ+++,得71212
k x k ππππ++.
所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z .
【点睛】由函数sin()y A x ωϕ=+的图象求函数的解析式,一般将“五点法”逆用求解,注意
,A ω对ϕ影响,进而由sin y x =研究sin()y A x ωϕ=+的性质.
【例12】已知()sin (0),363f x x f f πππωω⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫=+
>= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭,且()f x 在区间,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有
最小值,无最大值,则ω=________________.
【分析】 由三角函数的图象和性质确定参数的值.
【解析】 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值,无最大值,所以36T
ππ-,故26
ππ
ω,所以
12ω .又直线4x π=
为函数()f x 图象的一条对称轴,且14f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,故24
3
2
k π
π
π
ωπ+
=-
,所以()10
83
k k ω=-
∈Z .
结合012ω<知,143
ω=
. 【点睛】 由三角函数的图象和性质确定参数的值,注意区间范围.
【例13】设函数()()4sin 21f x x x =+- ,则在下列区间上,函数()f x 不存在零点的是（ ） A.[]
4,2--
B.[]
2,0-
C.[]
0,2
D.[]2,4
【分析】 由三角函数的图象和性质确定方程的根或零点.
【解析】解法1：画出函数()4sin 21y x =+与y x =的图象,它们在区间[]4,2--上没有交点.故选A.
解法2： 考虑方程()4sin 21x x +=在指定区间上是否有解.
令21x t +=,则1
2
t x -=
. 考虑方程1
sin 8
t t -=
在区间][][][7,3,3,1,1,5,5,9⎡⎤---⎣⎦上是否有解.作图发现函数sin y t =和1
8
t y -=
的图象在区间[]7,3--上无交点,从而方程()4sin 21x x +=在区间[]4,2--上无解.
故选A.
【点睛】 将求方程()()0f x g x -=的根变换为求()y f x =和()y g x =图象的交点.
强化训练
4.
求函数lg(sin )y x =-.
【解析】定义域为sin 0,tan 1.x x <⎧⎨
⎩
由sin 0x <得角x 的终边位于图中的x 轴下方;
由tan 1x 得角x 的终边位于图中的阴影部分(包含y x =).
5.
在函数的一个周期[)0,2π内,满足以上两个条件的x 的范围是53
,242
x
x ππππ<<<. 故定义域为5224x
k x k ππππ⎧+<+⎨⎩
∣或3222,2k x k k ππππ⎫
+<<+∈⎬⎭Z
2.已知cos3y a b x =-的最大值为
32,最小值为1
2
-,求实数a 与b 的值. 【解析】当0b <时,因为cos3y a b x =-的最大值为
32、最小值为1
2
-, 所以31
,22
a b a b -=
+=-, 解得1
,12
a b =
=-.
当0b >时,因为cos3y a b x =-的最大值为
32、最小值为12
-, 所以31,22a b a b +=
-=-,解得1
,12
a b ==. 当0b =时,cos3y a b x =-不满足条件. 综上所述,1,12a b =
=-或1
,12
a b ==. 6. 已知223sin 2sin 2sin x y x +=,则22sin sin x y +的最大值为_______,最小值为
___________.
【答案】4,09
【解析】由2
2
3sin 2sin 2sin x y x +=得223
sin sin sin 2y x x
=-
所以
2222111
sin sin sin sin (sin 1)222x y x x x +=-=--+
. 由于223
sin sin sin 0
2y x x =-,
由已知条件知sin 0x ,
所以32sin 10,sin 0,2
3x x ⎡⎤
-∈⎢⎥
⎣⎦, 故
222114sin sin (sin 1)0,229x y x ⎡⎤
+=--+∈⎢⎥
⎣⎦
7. 函数sin cos (0)
sin cos 1
x x y x x x π=
<<-+的值域是________.
【答案】12⎡⎫
⎪⎢⎪⎣⎭
【解析】令sin cos x x t -=,
则4t x π⎛
⎫=
- ⎪⎝
⎭.因为0x π<<,
所以34
4
4x π
π
π-
<-
<
,sin 124x π⎛
⎫-<- ⎪⎝
⎭,则12t -<.
对sin cos x x t -=平方得212sin cos x x t -=,所以2
1sin cos 2
t x x -=.
所以()211212
t t y t --==
+,
值域为⎫
⎪⎪⎣⎭.
8. 函数2sin 1
sin 2
x y x +=
-的值域是________.
【答案】13,3⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦ 【解析】解法1:(反解表示与有界性)去分母可得sin 22sin 1y x y x -=+,即12sin 2
y
x y +=
-. 由三角函数的有界性知,1212y
y +-,
整理得2
3830y y +-,解得133y
-.故值域是13,3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦.
解法2：(常数分离法)函数
2sin 15
2sin 2sin 2x y x x +=
=+
--.
因为1sin 1x -,所以3sin 21x ---,
1
11
sin 2
3x --
-,则1
33y -.
故值域是
13,3⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦.
9. 已知ω是正数,函数2sin y x ω=在区号,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上是增函数,求ω的取值范围.
【解析】解法1:函数2sin y x ω=在区间,22ππωω⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数, 故0ω>且23π
π
ω
,从而
302ω
<.
解法2：由题意知0ω>.
因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以,32
,,,3422,
42x ωπ
πωπωπππωωππ⎧--⎪⎪⎡⎤⎡⎤∈-⊆-⎨⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩ 即3,22,ωω⎧
⎪⎨⎪⎩故
3
02ω<. 7.若函数()sin
([0,2))3
x f x ϕ
ϕπ+=∈是偶函数,则ϕ等于（） A.
2
π B.23
π C.
32
π D.
53
π 【答案】C
【解析】()f x 为偶函数,函数()f x 的图象关于直线0x =对称,
则
()3,33
2
2
k k k ϕ
π
π
πϕπ=+
=+
∈Z . 又[)0,2ϕπ∈,得32
π
ϕ=
.故选C.
8.若函数()sin cos (,f x a x b x a b =-为常数,0,)a x ≠∈R 在4
x π=
处取得最小值,则函数
34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（） A.偶函数,且它的图象关于点(,0)π对称
B.偶函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪
⎝⎭对称
C.奇函数,且它的图象关于点(,0)π对称
D.奇函数,且它的图象关于点3,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
【答案】C
【解析】因为函数()sin cos f x a x b x =-图象的对称轴是直线4
x π
=
,则()02f f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,得b a -=,
所以()sin cos sin 4f x a x a x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭.
所以()3sin sin 4f x x x ππ⎛⎫
-=-=
⎪⎝⎭
为奇函数且其图象关于点(),0π对称. 故选C
9.为了使函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是________. 【答案】
1972
π
【解析】至少需要1
49
4
个周期,即11972197491,442T ππω
ω⨯=⨯. 10.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图像不可能是（）
【答案】D
【解析】对于选项A ,可得振幅01a <<,则周期22T a
π
π=
>;对于选项B ,可得当振幅1a >时,周期2T π<;对于选项C ,可得0a =,图象符合;选项D 不符合要求,它的振幅1a >,则2T π<,但周期反而大于了2π.
故选D.
11.已知函数()tan()0,||,()2f x A x y f x πωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,则
24f π⎛⎫= ⎪
⎝⎭
__________.
A.向右平移
4
π个单位长度 B.向左平移
4
π个单位长度 C.向右平移12
π个单位长度 D.向左平移
12
π个单位长度
【分析】本题为已知三角函数()1sin y A x ωϕ=+与()2sin y A x ωϕ=+,研究两者图象间的变换问的.
【解析】
sin3cos333412y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦.
先将函数名变为相同,
3326y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
,
再将其图象向右平移12
π个单位长度即可.答案为 C.
【点睛】将sin y x ω=变换为sin()y x ωϕ=+时,注意先提取ω,得x x ϕωϕωω⎛⎫
+=+ ⎪⎝
⎭,即y
sin()sin x x ϕωϕωω⎡⎤
⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦,函数名化相同.进行平移变换应注意平移对象、函数名和平
移量.
12.已知函数()tan f x x ω=在,34ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递减,则ω的取值范围是________________. 【答案】3
02
ω-
< 【解析】由题意知0ω<,且一个单调递减区间为,22π
πωω⎛⎫-
⎪
⎝⎭
,故23
ππ
ω-.
于是3
02
ω-
<.
13.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个解12,x x ,3x ,则
123x x x ++=________________.
【答案】
73
π 【解析】2sin 3x a π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
在区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ,结合函数
2sin 3y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间[]0,2π上的图象可知,当a =时,恰有三个解.不妨设
123x x x <<,其中12,x x 关于直线6
x π
=
对称,32x π=,所以12373
x x x π
++=
.。