5.1.2 垂线
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B C 1
O
n
O
A
选择题
巩固练习
1．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___ 个 [A ] (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直． (2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直 线互相垂直． (3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线 互相垂互相垂直． A．4 B．3 C．2 D．1
问题3：若蚂蚁在点M处，想 爬到棱BC上，请你设计一条最 佳路线。
思考
在直角三角形的三条边中哪一条最长？
答:直角所对的边即斜边最长.
看谁做得快
m
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 90。 ° 3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 度。
D
练习： 1. 如图，直线AB、CD相交于点O， E C OE⊥AB，∠1=125°, 求∠COE的度数.
A 1 O D B
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线, 垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解： A ∵∠ABC=90° (已知 ) ∠1=60 ° ∴∠ABO=30° （互余的定义） ∵BO ⊥AC于O点 1 ） （垂直的定义） ∴∠BOC=90° B 又∵∠2=∠1 ∴∠2=60° （互余的定义） ∴∠BOD=30°
O 2
D
C
（3）如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，且∠DOE=3∠COE，求∠AOD 的度数.
E C
A
O D
B
小结
回忆两条直线相交这部分知识，并问：你们能够 把它们画成一个知识结构图吗？
过点p画出射线AB的垂线
P
M A B
练习
2.过点 P向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ C）. A B C D
3.线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
4.
E E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
5、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。 解：如图、直线AD⊥BC于 A D、直线BE⊥AC于E、直线 CF⊥AB于F 6、如图，过P作直线 PM⊥OA，垂足为点M． O 过P作线段PN⊥OB于N点。 解：如图、直线PM⊥OA 于M、线段PN⊥OB于N
2 E
D
垂线的画法：
1.过直线外一点做已知直线的垂线
1、 落 2、 靠 3、 移 4、 画
o
过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
A
o
C
= 90°
D
直线AB与直线CD互相垂直
符号：AB⊥CD 垂足： 交点 o
B
2.过直线上一点做已知直线的垂线
1、 落 2、 靠 3、 移 4、 画
o
过直线上一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
o
o
过一点（已知直线上或已知直线外）有且只有一 条直线与已知直线垂直。
例3：下列说法（1）一条直线只有一条垂线； （2）两条直线相交就是垂直； （3）线段和射线也有垂线。 其中正确的有___________________________
一条直线的垂线有无数条。
制作人：赵丹
学 习 目 标
1.理解垂线及其有关概念 2.会用三角板、直尺过一点画 已知直线的垂线 3.掌握垂线的性质，并会运用 所学知识进行简单的计算和推 理
1. 跳水比赛中，入水时水花的大 小直接影响跳水的成绩。那么， 水花的大小是什么原因造成的？ 2. 如果用一条直线代表水面， 用另一条直线表示身体，试画出 无水花和水花大的示意图。
选择题
巩固练习
2．两条直线相交所成的四个角中，下列条 件中能判定两条直线垂直的是 [ C ] A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角
3．两个角的平分线相互垂直的有 [ D ] A．两角互补； B．两角互为对顶角； C．两角都是直角； D．两角为邻补角
4.如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
30m
A 25m
B
0m
8m
C
10m
4、如图，点M、N分别在直线AB、CD上， 用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 的长， 2)M点和N点的距离是线段____ MF 的长。 3)M点到CD的距离是线段____ M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N
5、如图2-23，试用直尺或三角板量出： 1.城市A与城市B的距离． 2.城市A，B到大河l的距离．
A
B
C
D
3.垂直的书写形式： D A 如图，当直线AB与CD 相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
2.如图，怎样测量 点A 到 直线m 的距离？
A
10m
B
20m
1.过点A画出直线m的垂线AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.
0m
m
3、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离（2） 货场B到铁道的距离。 20m
B
E
C
0 (3)∵∠ADB＝∠BEC=90 (已知)
AD ∴____ __⊥__BC ____， BE__⊥__AC ____ _____
A
E
B C
D
练习
1：如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线， 若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 垂直 ________________ C A 1 O B 解： ∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知） ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55° ＝90° ∴OE⊥AB (垂直的定义)
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= D
（A）36° (B) 64°
。
(C)144°
(D) 54°
D O A C B
E
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知）
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
C 1 (
E
A ∵ ∠BOD= ∠1=55° （对顶角相等）
F
C D M A P
B
E
N
B
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他 在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边 m呢？
P
A
B
C
D
m
连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 垂线段最短 简单说成：垂线段最短． 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
练习
观察与思考
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角(90度)时，这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂 a 线，它们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线。 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
水花大 A C B O D
无水花 A O C D
B
直线AB、CD相交于点O.
引入
一般相交
特殊相交
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, b b b 当b的位置变化时,a、b所 b b 成的角α也会发生变化. α 当α =90°时,a与b垂直. α ） a 当α ≠90°时,a与b不垂 直，叫斜交. 斜交 两条直线相交 垂直 垂直是相交的特殊情况
C (1)∵∠COB＝900(已知)
AB ∴______ CD ⊥______.
A
O D
B
∵AB⊥CD
(已知)
∠BOC ∠AOD ∠BOD ∴∠AOC=______=______=______= 900
(2)∵AE⊥BC于E
A
(已知)
D
∠AEB =______= ∠AEC ∴______ 900
拓展应用1
如图：在铁路旁边有 一张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火车 最方便（即距离最近）， 请你在铁路上选一点来建 火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓 展 应 用2
如图：要把水渠中的水引到水池 C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟 的长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
垂线段最短
C
小常识
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90 °+55 °=145 °
O
D
B
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于 O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解:
∵ AB⊥OE （已知） ∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∵ ∠DOE= 50° （已知） B A O ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° (邻补角定义)
2.垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂 直, 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a,
a
α
b
O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
M
E
F
O E N
记作： MN⊥EF , 垂足为O. 或者 MN⊥EF于0 记作： AB⊥OE，垂足为O. 或者 AB⊥OE于O
A
O
B
用几何语言表示 下图中的垂直关系：
立定跳远中，体育老师是如何测量 运动员的成绩的？
起 跳 线
体育老师实际上测量 的是点到直线的距离
落脚点
G D M· C
┏
问题1：长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处，请你 帮它画出爬行的最佳路线。并 F 说明理由。 问题2：若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上，你认为它的最佳路线 是什么？
· A
N
B
E
O
n
O
A
选择题
巩固练习
1．下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有___ 个 [A ] (1)两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角， 则这两条直线互相垂直． (2)两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直 线互相垂直． (3)两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线 互相垂互相垂直． A．4 B．3 C．2 D．1
问题3：若蚂蚁在点M处，想 爬到棱BC上，请你设计一条最 佳路线。
思考
在直角三角形的三条边中哪一条最长？
答:直角所对的边即斜边最长.
看谁做得快
m
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n 。 ∠1＝90°，则__________ 2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____ 90。 ° 3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______ 162 度。
D
练习： 1. 如图，直线AB、CD相交于点O， E C OE⊥AB，∠1=125°, 求∠COE的度数.
A 1 O D B
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线, 垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解： A ∵∠ABC=90° (已知 ) ∠1=60 ° ∴∠ABO=30° （互余的定义） ∵BO ⊥AC于O点 1 ） （垂直的定义） ∴∠BOC=90° B 又∵∠2=∠1 ∴∠2=60° （互余的定义） ∴∠BOD=30°
O 2
D
C
（3）如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，且∠DOE=3∠COE，求∠AOD 的度数.
E C
A
O D
B
小结
回忆两条直线相交这部分知识，并问：你们能够 把它们画成一个知识结构图吗？
过点p画出射线AB的垂线
P
M A B
练习
2.过点 P向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ C）. A B C D
3.线段、射线的垂线应怎么画呢？
P
Q
A
B
O
A
4.
E E
E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.
5、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。 解：如图、直线AD⊥BC于 A D、直线BE⊥AC于E、直线 CF⊥AB于F 6、如图，过P作直线 PM⊥OA，垂足为点M． O 过P作线段PN⊥OB于N点。 解：如图、直线PM⊥OA 于M、线段PN⊥OB于N
2 E
D
垂线的画法：
1.过直线外一点做已知直线的垂线
1、 落 2、 靠 3、 移 4、 画
o
过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
A
o
C
= 90°
D
直线AB与直线CD互相垂直
符号：AB⊥CD 垂足： 交点 o
B
2.过直线上一点做已知直线的垂线
1、 落 2、 靠 3、 移 4、 画
o
过直线上一点有且只有一条 直线与已知直线垂直。
o
o
过一点（已知直线上或已知直线外）有且只有一 条直线与已知直线垂直。
例3：下列说法（1）一条直线只有一条垂线； （2）两条直线相交就是垂直； （3）线段和射线也有垂线。 其中正确的有___________________________
一条直线的垂线有无数条。
制作人：赵丹
学 习 目 标
1.理解垂线及其有关概念 2.会用三角板、直尺过一点画 已知直线的垂线 3.掌握垂线的性质，并会运用 所学知识进行简单的计算和推 理
1. 跳水比赛中，入水时水花的大 小直接影响跳水的成绩。那么， 水花的大小是什么原因造成的？ 2. 如果用一条直线代表水面， 用另一条直线表示身体，试画出 无水花和水花大的示意图。
选择题
巩固练习
2．两条直线相交所成的四个角中，下列条 件中能判定两条直线垂直的是 [ C ] A．有两个角相等 B．有两对角相等 C．有三个角相等 D．有四对邻补角
3．两个角的平分线相互垂直的有 [ D ] A．两角互补； B．两角互为对顶角； C．两角都是直角； D．两角为邻补角
4.如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
30m
A 25m
B
0m
8m
C
10m
4、如图，点M、N分别在直线AB、CD上， 用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 的长， 2)M点和N点的距离是线段____ MF 的长。 3)M点到CD的距离是线段____ M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N
5、如图2-23，试用直尺或三角板量出： 1.城市A与城市B的距离． 2.城市A，B到大河l的距离．
A
B
C
D
3.垂直的书写形式： D A 如图，当直线AB与CD 相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为 O，那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
2.如图，怎样测量 点A 到 直线m 的距离？
A
10m
B
20m
1.过点A画出直线m的垂线AB,垂足为B; 2.用直尺量出垂线段AB的长.
0m
m
3、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离（2） 货场B到铁道的距离。 20m
B
E
C
0 (3)∵∠ADB＝∠BEC=90 (已知)
AD ∴____ __⊥__BC ____， BE__⊥__AC ____ _____
A
E
B C
D
练习
1：如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线， 若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 垂直 ________________ C A 1 O B 解： ∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知） ∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2 ＝ 180°－35°－55° ＝90° ∴OE⊥AB (垂直的定义)
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= D
（A）36° (B) 64°
。
(C)144°
(D) 54°
D O A C B
E
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
解: ∵ AB⊥OE （已知）
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
C 1 (
E
A ∵ ∠BOD= ∠1=55° （对顶角相等）
F
C D M A P
B
E
N
B
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他 在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边 m呢？
P
A
B
C
D
m
连接直线外一点与直线上各点的所有 线段中，垂线段最短。 垂线段最短 简单说成：垂线段最短． 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
练习
观察与思考
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角(90度)时，这两条直线 互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂 a 线，它们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线。 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
水花大 A C B O D
无水花 A O C D
B
直线AB、CD相交于点O.
引入
一般相交
特殊相交
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b, b b b 当b的位置变化时,a、b所 b b 成的角α也会发生变化. α 当α =90°时,a与b垂直. α ） a 当α ≠90°时,a与b不垂 直，叫斜交. 斜交 两条直线相交 垂直 垂直是相交的特殊情况
C (1)∵∠COB＝900(已知)
AB ∴______ CD ⊥______.
A
O D
B
∵AB⊥CD
(已知)
∠BOC ∠AOD ∠BOD ∴∠AOC=______=______=______= 900
(2)∵AE⊥BC于E
A
(已知)
D
∠AEB =______= ∠AEC ∴______ 900
拓展应用1
如图：在铁路旁边有 一张庄，现在要建一火车 站，为了使张庄人乘火车 最方便（即距离最近）， 请你在铁路上选一点来建 火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓 展 应 用2
如图：要把水渠中的水引到水池 C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟 的长度才能最短？ 请画出图来，并说明理由。
垂线段最短
C
小常识
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90 °+55 °=145 °
O
D
B
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于 O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解:
∵ AB⊥OE （已知） ∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∵ ∠DOE= 50° （已知） B A O ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100° (邻补角定义)
2.垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂 直, 垂足为O，则记为： a⊥b或b⊥a,
a
α
b
O
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
M
E
F
O E N
记作： MN⊥EF , 垂足为O. 或者 MN⊥EF于0 记作： AB⊥OE，垂足为O. 或者 AB⊥OE于O
A
O
B
用几何语言表示 下图中的垂直关系：
立定跳远中，体育老师是如何测量 运动员的成绩的？
起 跳 线
体育老师实际上测量 的是点到直线的距离
落脚点
G D M· C
┏
问题1：长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处，请你 帮它画出爬行的最佳路线。并 F 说明理由。 问题2：若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上，你认为它的最佳路线 是什么？
· A
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E