2019年广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测数学(文)试题(有答案)-精编.doc

广东省汕头市高三上学期期末教学质量监测
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合}5,4,3,2,1{=A ，}03|{2
<-=x x x B ，则=B A （ ）
A ．}2,1{
B ．}3,2{
C ．}4,3{
D ．}5,4{ 2.设
yi x i
i
+=+1（R y x ∈,，i 为虚数单位），则模=-||yi x （ ） A ．1 B ．
2
1
C ．2
D ．22
3.若实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤--≥--3030
93y y x y x ，则使得x y z 2-=取得最大值的最优解为（ ）
A ．)0,3(
B ．)3,3(
C ．)3,4(
D ．)3,6( 4.设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且n n a S 2
1
21-=，则=n a （ ） A ．
1)21(31-⋅n B ．1)32(21-⋅n C ．31)31(2-⋅n D ．n )3
1( 5.去n S 城市旅游有三条不同路线，甲、乙两位同学各自选择其中一条线路去3
1)3
1
(2-
⋅n
城市旅游，若每位同学选择每一条线路的可能性相同，则这两位同学选择同一条路线的概率为（ ） A ．
31 B ．21 C ．32 D ．9
1 6.执行如图的程序框图，则输出的n 是（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
7.已知)(x f 在R 上是偶函数，且满足)()3(x f x f =+，当]2
3,0[∈x 时，2
2)(x x f =，则
=)5(f （ ）
A ．8
B ．2 C. 2- D ．50 8.已知函数))(3
2cos(3)(R x x x f ∈-
=π
，下列结论错误的是（ ）
A ．函数)(x f 的最小正周期为π
B ．函数)(x f 图象关于点)0,12
5(π
对称 C. 函数)(x f 在区间]2
,
0[π
上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6
π
=
x 对称 9.某单位为了了解用电量)0,125(
π度与气温)0,12
5(π
之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表
由表中数据得回归直线方程)0,12(中)0,12(，预测当气温为)0,12
5(π
时，用电量的度数是（ ）
A ．70
B ．68 C. 64 D ．62 10.下列判断错误的是（ ）
A ．命题“01,12>->∃x x ”的否定是“01,12
≤->∀x x ” B ．“2=x ”是“022
=--x x ”的充分不必要条件 C. 若“
q p ∧”为假命题，则q p ,均为假命题
D ．命题“若0=⋅b a ，则0=a 或0=b ”的否命题为“若0≠⋅b a ，则0≠a 且0≠b ” 11.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为32，2=AB ，1=AC ，
60=∠BAC ，则此球的表面积等于（ ） A ．π5 B ．π20 C. π8 D ．π16 12.已知函数)0(2
1
2cos )(<-
+=x x x f x
与)(log cos )(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)22,(-
-∞ C. )2
2,2(- D ．)2,(-∞ 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量),1(m =，)12,1(+-=m ，且b a //，则=m ． 14.一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是4
3
个圆，则该几何体的体积等于 ．
15.已知θ为第二象限角，且3)4
tan(=-
π
θ，则=+θθcos sin ．
16.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=1
,11),2(log )(2x e x x x f x ，若0,0>>n m ，且)]2(ln [f f n m =+，则n m 2
1+
的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知}{n a 是等差数列，满足5,141-==a a ，数列}{n b 满足21,141==b b ，且}{n n b a +为等比数列.
（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）
在
ABC ∆中，内角C
B A ,,所对的边分别为
c
b a ,,，
B c A b B a B cos 3)cos cos (sin =+.
（1）求B ；
（2）若32=b ，ABC ∆的面积为32，求ABC ∆的周长.
19. （本小题满分12分）
已知如图正四面体SABC 的侧面积为348，O 为底面正三角形ABC 的中心. （1）求证：BC SA ⊥；
（2）求点O 到侧面SABC 的距离.
20.（本小题满分12分）
某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为)(N n n ∈，则当天的利润y （单位：元）是多少？
（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.
①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n 的函数解析式； ②求当天的利润不低于600圆的概率.
（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？
21.（本小题满分12分）
设函数0,ln )1(2
1)(2
>++-=
a x a x a x x f . （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）讨论函数)(x f 的零点个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的
极坐标方程为04sin 4cos 22
=+--θρθρρ，直线l 的方程为01=--y x .
（1）写出曲线C 的参数方程；
（2）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数|2||1|)(m x x x f +--=，R m ∈. （1）当4-=m 时，解不等式0)(<x f ；
（2）当),1(+∞∈x 时，0)(<x f 恒成立，求m 的取值范围.
汕头市度普通高中毕业班教学质量监测
文科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．
13．13
-； 14．9π； 15； 16．3+．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17.解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n n b a +的公比为q ，
21
41
4-=--=
∴a a d ， 1(1)n a a n d ∴=+-，
32)2()1(1+-=-⨯-+=n n .
211=+b a ，1644=+b a ，
81
14
414=++=
∴-b a b a q 2=∴q ，
n n n n b a 2221=⨯=+∴-， 3222-+=-=∴n a b n n n n .
（2）123n n S b b b b =+++
+
)322()32()12()12(3
2
1
-+++++++-=n n
)32311()2222(321-++++-+++++=n n
2
)321(21)21(2n n n -+-+--=
12222n n n +=+--
18.解：（1）根据正弦定理得：
B C A B B A B cos sin 3)cos sin cos (sin sin =+ B C B A B cos sin 3)sin(sin =+∴
B C C B cos sin 3sin sin =∴
),0(π∈C ，0sin >∴C
B B cos 3sin =∴即3tan =B
),0(π∈B 3
π
=
∴B
（2）324
3
sin 21===
∆ac B ac S ABC 8=∴ac
根据余弦定理得：
B ac c a b cos 2222-+=
81222-+=∴c a ，即2022=+c a 62)(222=++=+=+∴c ac a c a c a
ABC ∆∴的周长为：326+.
19.解：（1）证明：取BC 的中点D ,连结AD ，SD
ABC ∆ 是等边三角形D 是BC 的中点 BC AD ⊥∴
SBC ∆ 是等边三角形D 是BC 的中点 BC SD ⊥∴
D SD AD = ,⊂SD AD ,平面SAD
⊥∴BC 平面SAD
⊂SA 平面SAD BC SA ⊥∴
（2）解法一：由（1）可知⊥BC 平面SAD
⊂BC 平面SBC ，
∴平面⊥SAD 平面SBC 平面 SAD 平面SBC SD =
过点O 作SD OE ⊥，则⊥OE 平面SBC
∴OE 就是点O 到侧面SBC 的距离.
由题意可知点O 在
AD 上，设正四面体SABC 的棱长为a ，
204
360sin 21a SC SB S SBC =⋅⋅=
∴∆ 正四面体SABC 的侧面积为348 3484
3332
=⨯
=∴∆a S SBC ，8=∴a 在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点
a C AC AD 2
3sin =
⋅=∴ 同理可得a SD 2
3
=
O 为底面正三角形ABC 的中心
a AD AO 3332==
∴，a AD OD 6
331== ∴在SAO Rt ∆中，a AO SA SO 3
6
22=
-=
由
OE SD SO OD ⋅=⋅2
1
21 得：
OE a a a ⋅⨯=⨯⨯2
3
21366321 96896==
∴a OE ，即点O 到侧面SBC 的距离为9
6
8. 解法二： 连结SO ，则ABC SO 平面⊥ 由题意可知点O 在AD 上， 设正四面体SABC 的棱长为a ，
2
04
360sin 21a SC SB S SBC =⋅⋅=
∴∆ 正四面体SABC 的侧面积为348 3484
3332
=⨯
=∴∆a S SBC ， 8=∴a
在等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点
342
3
sin ==
⋅=∴a C AC AD O 为底面正三角形ABC 的中心
a AD AO 3332==
∴，3
346331===a AD OD ∴在SAO Rt ∆中，3
6
83622==
-=a AO SA SO 33
16334821||||21=⨯⨯=⋅⋅=∆OD BC S OBC
9
2
128368331631||31=⨯⨯=⋅=∴∆-SO S V OBC OBC S
3163483
1
=⨯=∆SBC S
设点O 到侧面SBC 的距离为h ，
∴由SBC O OBC S V V --=得，
h S SBC ⋅⋅=∆3
1
9128 96
83
1632
1283128===∴∆SBC S h ，即点O 到侧面SBC 的距离为968.
20.解：（1）当17n ≥时，17(10050)850Y =⨯-=， 当16n ≤时，1001750100850Y n n =-⨯=-，
（2）①由（1）得当天的利润Y 关于当天需求量n 的函数解析式为：
100850(16)
()850(17)n n Y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩
②设“当天利润不低于600”为事件A ，由①知，“当天利润不低于600”等价于 “需求量不低于15个”
1222
()110025
P A ∴=-
=
所以当天的利润不低于600元的概率为：
2225
（3）若一天制作16个蛋糕，则平均利润为：
11
(600127001880070)758100
x =
⨯+⨯+⨯=； 若一天制作17个蛋糕，则平均利润为：
21
(55012650187501885052)760100
x =
⨯+⨯+⨯+⨯=； 12x x <蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.
21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞
()(1)a f x x a x
'=-++
2(1)x a x a x
-++=
()(1)
(0)x a x x x
--=
>
当01a <<时，令()0f x '<得1a x <<；令()0f x '>得0x a <<或1x >， 所以函数()f x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为,1)a (；
当1a =时，2
(1)()0x f x x
-'=≥恒成立，所以函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞，无减区间； 当1a >时，令()0f x '<得1x a <<；令()0f x '>得01x <<或x a >，
所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)和(,)a +∞，单调减区间为1,)a (.
（2）由（1）可知，当01a <<时，
函数()f x 的单调增区间为(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间为,1)a (， 所以21()()+ln 02f x f a a a a a ==--<极大值，1
()(1)02f x f a ==--<极小值，
注意到(22)ln(22)0f a a a +=+>，
所以函数()f x 有唯一零点，当1a =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 又注意到3
(1)02f =-<，(4)ln 40f => 所以函数()f x 有唯一零点；
当1a >时，函数()f x 的单调递增是(0,1)和(,)a +∞上，单调递减是1,)a (上， 所以1()(1)02f x f a ==--<极大值，21
()()+ln 02f x f a a a a a ==--<极小值，
注意到(22)ln(22)0f a a a +=+>，
所以函数()f x 有唯一零点，
综上，函数()f x 有唯一零点.
22.解（1）由22cos 4sin +4=0ρρθρθ--
及cos ,sin ,x y ρθρθρ=== 2224+4=0x y x y +--，即22(1)(2)=1x y -+-，
所以曲线C 的参数方程为：1cos ()2sin x y θ
θθ=+⎧⎨=+⎩为参数；
（2）设点(1cos ,2sin )()P R θθθ++∈，则点P 到直线l 的距离为：
d
)2|
π
θ--=|
2)4sin(|--=θπ
所以当sin()14π
θ-=-时，点21max +=d ， 此时242k π
π
θπ-=-+，即324k π
θπ=-，k z
∈
所以31cos 1cos(2)14k πθπ+=+-=32sin 2sin(2)24k πθπ+=+-=
所以点P 坐标为(1，点P 到直线l 的距离最大值为21+.
法2：圆心C(2，1)到直线l 的距离为2=d 故圆上的点P 到直线l 的最大距离21max +=d 设过C(2，1)与直线l 垂直的直线为0l ，则0l 的方程为)1(2--=-x y ，即3+-=x y 代入22(1)(2)=1x y -+-得1)1()1(22=+-+-x x 解得122
+±=x
由图可得取最大值点P 的横坐标为122
+-=x
故点P 的纵坐标为222+
所以点P 坐标为(1，点P 到直线l 的距离最大值为21+.
当2x >时，30x -<，即3x >，解得：3x >， 所以不等式()0f x <的解集为5
|33x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；
（2）因为(1,)x ∈+∞，所以不等式()0f x <恒成立， 等价为1|2|0x x m --+<恒成立，即1|2|x x m -<+， 解得：21x m x +<-或12x x m -<+
即13m
x -<或1x m >--恒成立，
因为(1,)x ∈+∞，所以11m --≤，即2m ≥-， 故m 的取值范围为：[2,)-+∞．。