高中数学第三章三角恒等变形双基限时练27含解析北师大版必修4

双基限时练(二十七) 两角和与差的正切函数
一、选择题 的值为( ) D ．－ 3
解析
sin15°＋cos15°sin15°－cos15°＝tan15°＋1
tan15°－1
＝－tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝－tan60°＝－ 3.
答案 D
2．若A 、B 为锐角三角形的两个内角，则tan A ·tan B 的值( ) A ．不大于1 B ．小于1 C ．等于1
D ．大于1
解析 tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B
1－tan A tan B ＞0，又tan A ＋tan B ＞0，∴1－tan A tan B ＜
0，即tan A ·tan B ＞1.
答案 D
3．若tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )
解析 tan(α＋π4)＝tan ⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤
α＋β－⎝
⎛⎭⎪⎫β－π4
＝tan α＋β－tan ⎝
⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322.
答案 C
4．若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos(A ＋B )的值为( ) A ．－
2
2 C ．±
22
D ．±12
解析 由于tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B
1－tan A tan B 且tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，∴tan(A ＋B )＝－
1.
∴cos(A ＋B )＝±22
. 答案 C
5．tan20°tan50°＋tan20°tan60°－tan60°tan50°等于( ) A ．1 B ．－1
D ．－ 3
解析 原式＝tan20°(tan50°＋tan60°)－tan60°tan50°＝tan20°tan110°(1－tan50°tan60°)－tan60°tan50°
＝tan20°(－tan70°)(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60° ＝－(1－tan50°tan60°)－tan50°tan60° ＝－1. 答案 B
6．设tan θ和tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ是方程x 2
＋px ＋q ＝0的两个根，则p ，q 之间的关系是( )
A ．p ＋q ＋1＝0
B ．p －q ＋1＝0
C ．p ＋q －1＝0
D ．p －q －1＝0
解析 由韦达定理得tan θ＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝－p ，
tan θtan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ＝q .
又tan π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋θ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋tan θ1－tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θtan θ
＝
－p
1－q
＝1，∴－p ＝1－q . ∴p －q ＋1＝0. 答案 B 二、填空题
7．若sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°
＝________.
解析 原式＝sin15°cos8°－cos15°sin8°＋cos15°sin8°
cos15°cos8°＋sin15°sin8°－sin15°sin8°
＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－
331＋
33＝3－3
3＋3＝2－ 3.
答案 2－ 3
8．已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋2α＝________. 解析 ∵α为第三象限的角，则2k π＋π≤α≤2k π＋3π
2，∴4k π＋2π≤2α≤4k π
＋3π(k ∈Z )．又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，tan2α＝－43，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝
1＋tan2α
1－tan2α＝－1
7
.
答案 －1
7
9．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为__________
解析 依题意，tan θ＝cos
3π4
sin
3π4
＝－1.
∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝tan θ＋tan
π
31－tan θtan
π3＝－1＋31＋3
＝2－ 3.
答案 2－ 3
10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin α
cos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.
解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α
1＋tan α，
∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴
tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝1，∴tan(α＋β)＝1.
答案 1 三、解答题 11．化简下列各式．
(1)1＋cot15°1－tan75°
； (2)tan10°tan20°＋3(tan10°＋tan20°)．
解 (1)原式＝1＋tan75°
1－tan75°＝tan(45°＋75°)＝－tan60°
＝－ 3.
(2)原式＝tan10°tan20°＋3·tan30°·(1－tan10°tan20°) ＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10° ＝1.
12．(1)已知1－tan A 1＋tan A ＝2，求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋A ； (2)已知α，β为锐角，cos α＝45.tan(α－β)＝－1
3，求tan β的值．
解 (1)∵1－tan A 1＋tan A ＝2，∴tan A ＝－1
3.
则tan(π6＋A )＝tan π
6＋tan A
1－tan π6
tan A
＝53－6
13
.
(2)∵α为锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝3
4.
tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β
1＋tan αtan α－β
＝34＋131＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1312912
＝139.
13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为
210、255
.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．
解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知： cos α＝
210，cos β＝255
，因α为锐角，故sin α＞0， 从而sin α＝1－cos 2
α＝72
10
. 同理可得sin β＝
5
5
. 因此tan α＝7，tan β＝1
2
.
所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝7＋12
1－7×
1
2
＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋
121－－3×
1
2＝－1.
又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π
2，
从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π
4.。