福建省三明市高一数学下学期第二次月考试题(含解析)

2016—2017学年下学期高一第二次月考
数学试卷
（考试时间：120分钟满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．）
1. 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为( )
A. f(x)＞g(x)
B. f(x)＝g(x)
C. f(x)＜g(x)
D. 随x值变化而变化
【答案】A
【解析】由题意得，所以
，所以，故选.
2. △ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，若bsinB=csinC且sin2A=sin2B+sin2C，则该三角形是（）三角形．
A. 等腰直角
B. 等边
C. 锐角
D. 钝角
【答案】A
【解析】由正弦定理得，，由
，得，所以为等腰直角三角形，故选.
3. 空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 以上都有可能
【答案】D
【解析】试题分析：在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.
故选D.
考点：直线与直线的位置关系
4. 若角α，β满足－＜α＜0＜β＜，则α－β的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】角，满足
，α－β的取值范围是，故选B.
5. 已知{a n}为等差数列，a1＝15，S5＝55，则过点P(3，a2)，Q(4，a4)的直线的斜率为( )
A. 4
B.
C. －4
D. －
【答案】C
【解析】试题分析：是等差数列，根据等差数列下标和的性质可得
，，,,过点的直线的斜率．
考点：等差数列，直线的斜率．
6. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】画出可行域如下图所示：
解得解得解得，那么平面区域的面积为，，故选C.
【方法点晴】本题主要考查线性规划的可行域，属简单题.常见的利用线性规划求最值的一般
步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
7. 若P(2，－1)为圆的弦AB的中点，则弦AB的长为（)
A. 23
B. 46
C.
D.
【答案】D
【解析】由圆的方程可得圆心，因为P(2，－1)为圆的弦AB的中点，所以，且P是的中点，由两点间的距离公式可得，由勾股定理可得AB，故选D.
8. 已知等差数列前n项和为S n，若S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( )
A. 第5项
B. 第6项
C. 第7项
D. 第8项
【答案】C
考点：等差数列的性质及前n项和
9. 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由三视图知，原几何体是一个四棱锥，如图：
四棱锥的底面是一个直角梯形，两底边分别为，高为，四棱锥的一个侧面是一个边长为的等边三角形，且这个侧面与四棱锥的底面垂直，所以四棱锥的高为，所以四棱锥的体积为，故选A.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
10. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为，则，即，则圆锥的体积为，当时，.
11. 某市为建设低碳、环保、宜居城市，决定从2017年到2021年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2017年底更新现有总车辆数的(参考数据：1.14＝1.46，1.15＝1.61)( )
A. 10%
B. 16.4%
C. 16.8%
D. 20%
【答案】B
【解析】设共有出租车辆，年更新了辆，年新车数量；年新车数量，即；年新车数量；年新车数量；年新车数量，可知每年新车的数量是以为首项，为公比的等比数列，根据五年间更新市内现有全部出租车可得，可得，则年底更新现有总车辆的，故选B.
12. 定义符号函数sgn x＝则当x∈R时，不等式x＋2＞(2x－1)sgn x的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，原不等式为，当时，成立，当
时，
，，，综上，原不等式的解集为，故选D.
【思路点睛】本题主要考查新定义问题、分段函数的解析式、分段函数解不等式以及分类讨论思想的应用，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰，本题是分三种情况讨论，分别解不等式，再求其并集进行解答的.
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．请把答案填在答题卷相应的位置上)．
13. 已知点P(1，－2)在不等式2x＋by＋1>0表示的平面区域内，则b的取值范围是______．【答案】
【解析】点在不等式的表示的平面区域内，所以，解得，即的取值范围是，故答案为 .
14. 已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a n＋2＝a n＋1＋，则a4＝________．
【答案】
【解析】，
故答案为.
15. 已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________．
【答案】
【解析】因为在中，，即，所以由余弦定理得
，故答案为.
【思路点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16. 已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A­BD­C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．
【答案】28π
【解析】
三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 已知集合A=，
（1）当k=－3时，求集合A；
（2）若A=R，求实数k的取值范围．
【答案】(1) ;(2) (1，＋∞)．
【解析】试题分析：（1）把k=－3的值代入中，求利用一元二次不等式的解法可确定出；（2）x2－2x＋k>0对一切实数x恒成立，利用Δ＝(－2)2－4k<0即可得结果.
试题解析：(1) k=－3时，由x2－2x－3>0得
(x－3)(x＋1)>0，
所以x＜－1或x>3，
所以．
(2)依题意， x2－2x＋k>0对一切实数x恒成立，
则Δ＝(－2)2－4k<0，
解得k>1，
即实数k的取值范围是(1，＋∞)．
18. 已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，A（－3，－10），
B (－2，－1)，C(3，4)，
（1）求边AD和CD所在的直线方程；
（2）数列的前项和为，点在直线CD上，求证为等比数列．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】试题分析：（1）根据两点间的斜率公式可得，根据两直线平行、垂直
的性质可得边AD和CD所在的直线的斜率，利用点斜式可得结果；（2）由(1)得，当时，，两式相减可得是首项为，公比为的等比数列.
试题解析：(1) B (－2，－1)，C(3，4)，
，
又AD∥BC，∠ADC＝90°，
,
又 A（－3，－10），C(3，4)，
边AD所在的直线方程为，即
边CD所在的直线方程为，即．
(2)由(1)得，即，①
当时，，②
①-②得，，即，
又当时，，解得，
是首项为，公比为的等比数列．
【方法点睛】本题主要考查直线斜率、直线方程以及数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式
，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意
的情况.
19. 在中，角的对边分别为，
且．
（1）求角B的大小；
（2）若不等式的解集是，求的周长．
【答案】（1）（2）．
【解析】试题分析：（1）由已知，根据正弦定理可得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，从而可得，进而得结果；（2）
根据韦达定理可得，再根据余弦定理得，从而可得结果.
试题解析：（1）由得,
即，得
即，得，
又，于是
（2）依题意a、c是方程的两根
，
由余弦定理得
，
求的周长为．
20. 已知等比数列的公比为，数列满足
（1）求和的通项公式；
（2）求的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由，令可得的值，从而可得的通项公式，进而得的通项公式；（2）由（1）得，利用错位相减法即可求得前n项和.
试题解析：（1）
即，解得，
又公比为，
故的通项公式为．
即，
是等差数列，公差为2
又
的通项公式为．
（2）由（1）得，
①
②
①-②得
【方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出
“”的表达式.
21. 如图，在以为顶点的五面体中，O为AB的中点，
平面，∥，，，．
（1）在图中过点O作平面，使得∥平面，并说明理由；
（2）求直线DE与平面CBE所成角的正切值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）在BE上取点F，使得，在BC上取点H，使，平面OFH即为所求的平面取BE的中点G，连接AG，再证明∥平面即可；（2）先证明是与平面所成的角，根据与平面所成的角等于与平面所成的角，利用直角三角形性质可得结果.
试题解析：（1）如图，在BE上取点F，使得，在BC上取点H，使，连接OF，FH，OH，则平面OFH即为所求的平面．
理由如下：
取BE的中点G，连接AG，
，为中点，
∥∥，是平行四边形，
∥
中，是中点，是中点，
所以是中位线，∥∥，
平面，平面，
∥平面．
又中，，，
，平面，平面，
平面，
又，平面，平面，
平面平面，即∥平面．
（2）连接，因为平面，
又∥，所以平面，
又平面
是与平面所成的角，
∥，
与平面所成的角等于与平面所成的角
在中，，，
在中，
在中，
即直线DE与平面CBE所成角的正切值为
22. 已知A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)，记△ABC的外接圆为⊙P．
（1）求⊙P的方程．
（2）对于线段PA上的任意一点G，是否存在以B为圆心的圆，在圆B上总能找到不同的两点E、F，满足=，若存在，求圆B的半径的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设⊙P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)代入圆方程，解方程组即可得结果；（2）假设存在圆B:满足题意，
，又A(4, 0)，PA的直线方程是：，设G（m, n）（），设F(x, y)，则中点，根据E、F在圆B上可得，进而可得结果.
试题解析：(1) 解法一：设⊙P的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为点A，B，C均在所求圆上，所以
解得
故⊙P的方程是．
解法二：A(4, 0)，B（2, 2），C (6, 0)，
AB的中垂线方程为：，①
AC的中垂线方程为：,②
联立①②可得圆心，
半径，
故⊙P的方程是．
（2）假设存在圆B:满足题意，
，又A(4, 0)，
PA的直线方程是：，
设G（m, n）（）
则有，，
设F(x, y)，则中点，
由E、F在圆B上可得：，
即，①
存在E、F即方程组①有解，即圆与圆
有公共点，
所以，
把代入可得
故对任意恒成立，
在上单调递减，在单调递增，
，，
，解得，
又E为线段GF的中点， E、F在圆B上，
G在圆B外
，即在恒成立。