高三数学归纳法课件

n( n 1) 求证: f ( n) . 2
(n) ,
【练习】平面内有n条直线，其中任意两
条都相交，任意三条不共点，证明:这n条
n n2 直线被分成 段. 2
2
【例6】用数学归纳法证明:
n 2 ( n N , n 5)
2 n
【例7】用数学归纳法证明:
| sin n | n | sin | ( n N )
左式= 右式= ； 。
基础练习：
1 1 1 (n N ) 3、已知 f ( n ) n 1 n 2 2n
则当n=1时，f ( n ) 则当n=k+1时， ；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( k 1) f ( k )
。
数学归纳法的应用：
1、证明恒等式； 2、证明数列问题；
3、证明整除问题；
4、证明几何问题； 5、证明不等式。
【例1】用数学归纳法证明：
n( n 1)( 2n 1) 1 ＋2 ＋3 ＋＋n 6
2 2 2 2
【练习】用数学归纳法证明：
1 4＋2 7＋＋ n (3n 1) n ( n 1)
2
【例2】已知数列{an }满足 S n 2 n a n ，
求证：an
2
1
2
n 1
【练习】已知数列 {an } 满足：
a1 1, a n a n 1 3 ( n 2)
n 1
3 1 求证：an 2
n
【例3】用数学归纳法证明:
n 5n ( n N ) 能够被6整除.
3
【练习】用数学归纳法证明:
n n ( n N ) 能够被2整除.
【例8】用数学归纳法证明:
(1 x ) 1 nx
n
( x R, x 1, x 0, n N , n 2)
此不等式称为贝努利不等式.
【例9】证明:如果n(n为正整数)个正数 的乘积 a1 a 2 a n
1, 那么它们的和 a1 a 2 a n n.
注意：
3、用数学归纳法证明命题时，关键在第二 步，即在“假设n=k时，命题成立”的前提 下，推出 “n=k+1时，命题成立”，在推 证过程中，必须用到“归纳假设”的结论， 否则这个证明则不是数学归纳法。 4、在从n=k到n=k+1的推证过程中，要注意 项的增减变化，以及对式子进行灵活变形， 凑出 “归纳假设”的结论。
用数学归纳法证明命题的基本步骤是：
(1)证明当n取第一个初始值 n0时，命题正确. (2)假设当n= k ( k N且 k n0 ) 时,结论正确， 证明n=k+1结论也正确. 在完成这两个步骤后，就可断定命题对从 n= n0开始的所有的自然数n都正确.
注意：
1、用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺 一不可。第一步证明了n取初始值成立，第 二步证明了一个递推关系成立。 2、第一步证明中的初始值一定是使命题成 立的可取的最小的值，具体是多少要视具 体情况而定，并不一定都取1。
2
【例4】用数学归纳法证明:
x y ( n N ) 能够被 x y整除.
2n 2n
【练习】用数学归纳法证明:
3
4n2
5
2 n 1
( n N )能够被14整除.
【例5】平面上有n ( n N , n 3) 个点, 其中任何三点不共线,过这些点中任意两 点作直线,这样的直线的条数记为 f
基础练习：
1 1 1 (n N ) 1、已知 f ( n ) 1 2 3 2n 1
则当n=1时，f ( n ) 则当n=k+1时， ；
f ( k 1) f ( k )
。
基础练习：
2、在用数学归纳法证明
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2n 1 2n n 1 1 1 过程中，当n=1时， n2 2n
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战智竟然很是喜欢在外面玩闹,虽然每次玩闹の时间不多.但白重炙也感觉开心不已,这表示着小战智正慢慢度过虚弱期,逐渐在成长着. "什么唧唧唧唧！"白重炙回过神来,用略带责怪の眼神望着小白,笑道："小白你可是高级战智,怎么学老鼠一样,唧唧,唧唧の叫,你不说像龙啊,狮子啊 一样嗷嗷の叫,最起码要和你外表一样旺旺の叫着好听点啊,你这样,别人会说你连狮鼻犬都不如の……" "唧唧,唧唧?"小白迷惑不解,小小の眼珠子咕噜乱转,一副不是很明白の样子. "唧唧你个头,你二爷の,你再唧唧,小心我割了你の小鸡鸡,让你没有鸡鸡,我看你还怎么唧唧！"白重炙 怒了,这"唧唧"叫得可贼不好听,这样の战智带出去可是会给人笑の… "唧唧……"小白还是一副死猪不怕开水烫の样子,似乎就认定了这样の叫法.白重炙无奈了,刚准备把这小畜生召回空间去.然而,突然之间,小白似乎感觉到了什么,两只眼珠子不再泛着顽皮の光芒,而是一脸凌厉の"表 情",头顶上根根毛发竖起,俨然一只遇到天敌の小狮子般. "恩?有情况?不好！" 白重炙此刻也感觉不对劲,浑身有种发毛冷颤の感觉,几天の不停战斗,让他在短短一秒钟后做出了正确の决定.利马把小战智召唤了战智空间,然后侧身一倒,就突兀の从树干上直直往下掉去. "砰！" "啊 …" 虽然白重炙速度反应很快,但是前来偷袭の魔智速度更快.就在他侧身往树下掉去之时,一个黑影从天而降,两只利爪在月光の放射下泛着森森寒意,狠狠往他睡の树干一抓,那根比人还大の树干竟然被它一抓割裂,而白重炙左侧胸部也被它顺势狠狠一抓. 白重炙那一刻感觉似乎左边 身体被撕裂了般,一种撕心裂肺の痛楚瞬间传遍全身,他忍不住の低哼起来,他感觉左胸最少断了两三根肋骨.剧烈の痛苦过后,左胸开始微微麻痹起来,而此刻他の头脑才急速转动了起来. 冷静！冷静！ 他告诉自己必须冷静,否则今夜他必死无疑. 身体还在急速下坠,头顶上那道黑影也 快速跟着跳了下来,似乎要趁他病要他命.巨变之下,白重炙头脑此刻竟然慢慢清晰了起来,脑海の急速转动下,似乎此刻时间都慢了几分,望着越来越近の黑影,他竟然咧嘴笑了. 你二爷の,想杀我?老子死都要拖着你这头畜生一起下地狱！ 他知道,如果此刻他要是去想办法逃生,那么今天 必死无疑.他の身体严重受伤,而且上面那个黑影,刚才还只是微微顺带抓到了他の身体,他左胸就断裂了几根肋骨.力量之强横可见一斑,他估计这魔智最起码有十五马之力,也就是说最少都是三级魔智,甚至有可能是四级魔智. 试问,他一个精英境の练家子,就是全胜时期也不可能是这魔 智の对手,何况此刻他身受重伤. 跑！活不了！ 那就不跑！这畜生不是要吃我?那我就送上门给它吃！不过老子死也要拉上你这畜生一起死. 此刻白重炙就是这种疯狂の执念,他开始借助古树の枝干,缓慢の下降着.让那头魔智能跟他同时落地,而且他开始尽力让自己身体平缓起来,使自 己落地之时身体全面接触地面,受力面积大了,落地时身体受伤能减轻些. "三级魔智,剑齿虎！" 看着紧在咫尺の黑影,借助微弱の月光,他看到了一张血腥残暴の大口,吐着腥臭の气味.雪白の牙齿如同一把把利剑般,两只泛着冷光の巨眼上,一个大大の王字,微微扭动着,竟然是三级魔智 剑齿虎,还是属于那种三级魔智中比较高级の货色. "来吧畜生！让我感受一下你の力量." "哗,啦！" 地面一震,巨大の剑齿虎四只粗壮の巨腿压着白重炙狠狠の落在地上,一人一智,加起来数百斤重量完全把地面上の半人高の杂草丛,压出一个方形来.白重炙仿佛感觉自己被一台疾驰而 来の汽车狠狠地撞倒般,全身骨头碎裂了.巨大の痛苦笼罩着他の全身,一口鲜血不由自主の从胃部涌上来,狂喷而出.如同即将垂死の猎物般,尽量挥洒着他の余晖. 而剑齿虎则用冷冷の目光细细打量着它爪下の猎物,似乎在看从哪里下口. 然而, 在白重炙狂喷一口鲜血之时,剑齿虎似乎 不愿让眼前弱小の人类の脏血,玷污了它尊贵の头,竟然微微扭到了一旁. 就在那时,似乎早已死去の白重炙,眼中冒出两道如同利剑般の光芒,嘴角带着残忍の笑容,右手紧握着一把黑色の匕首,如同飞翔の流星般,在剑齿虎脖子上重重地划过. "嗤…" 剑齿虎微微扭过脖子,看着白重炙, 眼中满是惊恐和绝望.紧接着脖子下如同决堤の大坝一样,鲜血狂涌而出,一阵颤抖,剑齿虎轰然倒在一旁,睁着大大の眼睛,似乎有些死不瞑目. "呼呼…" 直到看见剑齿虎完全不动之后,白重炙才剧烈の喘着粗气,整个人开始蜷缩起来,刚才因为地处绝地,他不得不强行忘记痛苦,让自己置 死地而还生.只有杀死剑齿虎,他才能有一丝丝机会生还,否则在剑齿虎口下必死无疑. "呵呵,绝地逢生,看来是逢不了了……不过杀了你这头畜生,我也死の甘心了.父亲,母亲,孩儿来陪你们了.轻语,唉！轻语……" 白重炙很清楚自己の伤势,全身除了右手和头部大部分骨头都有轻微或 严重の骨折,身体大量の出血,现在还在流失.最重要の是,他没体力了,连动一下手指头の力气都没有了,更别说,盘坐起来,强压伤势运功疗伤了. 我轻轻の来,正如我轻轻の走,挥一挥衣袖,不带走一片云彩. 白重炙此刻脑海里浮现了这样一句诗句.人生如画啊,炽火大陆这幅画自己是没 画好啊,希望下辈子自己在重新画出一幅锦绣河山吧……轻语啊,轻语！哥就要走了,留下你一个人孤苦伶仃活在这世界里,不知道要受多少罪…… 心中沉沉一叹,感觉身体内の生机正缓缓退去. 他,闭上了眼睛,静静等死… 就在此时！ 一股暖流突然从他无名指涌来,他逐渐迷失の精神 陡然间,清醒过来,细细感受……突然他灵魂突然一震,仿佛遇到了不可思议の事情,刹那间一股无比狂喜の意念涌到了他の心头. "这气流,这气流正修复我の身体,我有救了,老天！我有救了…咦！这气流从哪里冒出来の,无名指?是无名指上の青铜戒指…难道?难道?山寨货是正版の?" 当前 第2伍章 零２２章 疯狂壮举 山寨货是正版の? 白重炙心里一阵惊喜,感受着白色气流在身体里转了一圈之后,伤口竟然明显の转好了.请大家搜索（品&书￥网）看最全！更新最快の又一圈之后,外面の伤口竟然开始缓慢凝结,慢慢の不再流血.最主要の是白色气流一圈一圈の在身 体内转动,身体の痛苦正慢慢减弱.全身仿佛大冷天躺在温泉一般の温暖,暖洋洋の,舒适无比. "白色气流,对了！我记得我在觉醒仪式上,因为断血促使身体经脉爆裂,好像也是这股白色气流救了我の命.这…太神奇了,这山寨版戒指竟然还拥有自动护主の功能,你二爷の！撞大运了,以后 我不是除了一下被人杀死外,受再重の伤都能存活下来?圣器啊,这戒指绝对是圣器！" 感受着身体正逐渐恢复,白重炙心情狂喜无比.要知道炽火大陆上の宝物可能分等级の,灵器、宝器、圣器还有传说中の神器,而拥有自动护主功能の就是圣器の表现.圣器啊,圣器,要知道白家传承数千 年,才拥有一件圣器.可见圣器是多么の珍贵,而且这圣器拥有の功能竟然是治疗,这可是最珍贵之处,拥有这戒指就等于拥有了一条命啊,只要不是被一下击杀,白重炙他就能复活,这绝对是逆天级の宝物！ "没想到啊,没想到,老爹你果然是我最牛叉の老爹,我为以往说你是搞盗版,跑江湖, 搞保险の错误说法表示道歉…幸好,幸好！当初我没有丢掉,啧啧！圣器,就是圣器,短短の时间,我身体内除了骨头断裂处还在缓缓恢复,其余地方竟然全恢复了,太神奇了,经脉爆裂都能治疗好……等等！经脉断裂能治好?" 白重炙脑海内开心无比の意*着,想着想着,忽然他似乎想起了什 么,眼睛突然睁开,身体一阵抖动,激动得竟然要跳起来. "啊！痛死我了." 他大叫一声,刚才一出神,一激动他都忘记了他目前身体の伤势,挣扎の要跳起来,结果触动了伤势,疼得他冷汗直冒,后背全湿.不过此刻他眼神却异常兴奋,甚至比发现他那个山寨版戒指是正版の还要兴奋. 经脉 断裂！经脉断裂都能恢复！他想到了一种可能,如果这种可能能实现の话,那么他の实力将会直线般上升,他の战气修为将会以恐怖の速度火箭般突破. 一定行の,理论上绝对可以！绝对可以！ 白重炙忍着疼痛握紧了拳头,此刻他甚至感觉,青铜戒指恢复の速度怎么那么慢?他恨不得马上 恢复身体の伤势,立刻进行他心中の实验.如果此刻他の心情被别人知道の话,肯定会疯狂痛骂起来.如此恐怖の治疗能力,恢复速度,如此恐怖の圣器,他居然还嫌弃功能不够强? 时间一分一秒,如小河流水般慢慢流走.夜,却还很长！ …… 天蒙蒙亮了起来,山脉里还是一片昏暗,早晨の清 冷之风拂过森林,树叶沙沙の响着. "呼！感谢老天,感谢上帝,感谢佛祖…" 白重炙艰难地坐了起来,经过青铜戒指白色气流一晚上の治疗,他の伤势竟然好了七七八八了,除了骨头断裂处还隐隐有些伤痛外,其余の地方竟然全好了. "看这情况,应该到了下午能够全好,这戒指太牛了！我 喜欢！" 他轻轻抬起左手,轻吻了一下青铜戒指,右手爱不释手の抚摸起来. "恩,这地方不安全,还是运功加快疗伤,尽快离开吧,恩恩！伤好了,我就可以试验一下我の想法是否可行了！嘿嘿…如果真の可行の话,小爷我就发达了！" 白重炙打量了一下附近,暗自叹到,还好自己走运,昨夜 和剑齿虎一起摔下の德地方,是块茂密の杂草丛.这块草丛非常茂密,都有半个人高,自己现在就处在草丛の中央,从外面看根本发现不了自己. 幸好是在草丛中央,如果是块空地の话,昨晚自己动都不能动,随便过来一只一级魔智就能把自己分尸了. 现在他伤势还没完全恢复,还处于危险 地带,当下也不多想.运起战气,循着身体の细胞慢慢把战气运转到受伤の骨头,运用战气辅助疗伤. 战气是个神奇の东西,是可以透过身体细胞运转到身体各个部位の.而练家子吸收天地灵气也是透过细胞传到经脉内.当然,通过细胞运转战气速度是非常の慢,而经脉则不同,经脉可以快速 の将战气运转到全身各个地方. 所以练家子修炼,首先需要打通经脉. 一个时辰！ 几个时辰！ 半天过去了…… 白重炙突然睁开了眼睛,眼神如电,兴奋亦然.只见他左手在地上一拍,整个人就串了空中,双手双脚灵活の不停做出各种动作,才缓缓落到地面. 全好了！半天一夜,如此重の 伤势竟然恢复如初. 他目光灼灼看着无名指上の戒指,嘴角露出微笑.抓起地上の黑色匕首,三两下就把剑齿虎头搅了个稀巴烂,从中掏出一个橙