河南省周口市扶沟县2020届高三数学下学期开学考试试题理

河南省周口市扶沟县2020届高三数学下学期开学考试试题 理
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝{x|8x 2
－9x ＋1≤0}，N ＝{x|y ＝21x -}，则M ∩(R ðN)＝ A.[1，＋∞) B.(
18，12) C.[18，12) D.(12，1] 2.在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为 A.1＋i B.1－i C.－1－i D.－1＋i
3.已知a ＝log 0.32，b ＝20.1
，c ＝sin789°，则a ，b ，c 的大小关系是
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
4.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)，(A ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图，则f(x)的解析式为
A.()2sin(4)3f x x π=+
B.()2sin(4)3
f x x π
=- C.48()2sin()39f x x π=- D.48()2sin()39
f x x π=+ 5.河南省新郑市望京楼遗址位于新郑市新村镇杜村和孟家沟村以西及周边区域，北距郑州市35公里。

遗址发现于20世纪60年代，当地群众平整土地时曾出土过一批青铜器和玉器等贵重文物。

望京楼商代城址保存较为完整，城址平面近方形，东城墙长约590米、北城墙长约602米、南城墙长约630米、西城墙长约560米，城墙宽度为10米～20米，则下列数据中可作为整个城址的面积较为准确的估算值的是
A.24万平方米
B.25万平方米
C.37万平方米
D.45万平方米
6.2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款、法国8款、荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国。

A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不
重复检测，则甲检测员检测2家商店的概率为 A.1118 B.718 C.512 D.712
7.设抛物线y 2＝－4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线
AF 的斜率为3
，那么|PF|＝ A.23 B.43 C.73
D.4 8.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是线段A 1D 1的中点，点F 是线段DD 1上靠近D 的三等分点，则直线CE ，BF 所成角的余弦值为
A.57
B.57
C.19
D.19
9.已知函数f(x)的图象关于原点对称，且满足f(x ＋1)＋f(3－x)＝0，且当x ∈(2，4)时，12()log (1)f x x m =--+，若
(2021)1(1)2
f f -=-，则m ＝ A.43 B.34 C.－43 D.－34
10.在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CA ＝3，CB ＝4，P 为线段AB 上的一点，且CA CB CP x y CA
CB =⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为
A.76
B.712
C.712+76+11.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上存在一点P ，使得PF 2与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且|PF 2|＝4|F 2H|，则此双曲线的离心率为
A.3
B.43
C.2
D.53
12.若∃x ∈(0，＋∞)使得12
mx(x －2)＋xlnx －x ＋3<0成立，则实数m 的取值范围是 A.(－∞，－e)∪(2，＋∞) B.(－∞，0)∪(e ，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(4，＋∞)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知二项式31()n x x +的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为 (用数字作答) 14.记等差数列
{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＝18，S 17＝459，则{(－1)n ·a 3n }的前n 项和T n ＝ 。

15.已知三棱锥P －ABC 中，△PAB 是面积为43的等边三角形，∠ACB ＝
4
π，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P －ABC 外接球的表面积为 。

16.已知函数f(x)＝()22log 0232
x x x x ⎧<≤⎪⎨->⎪⎩，
，，若方程f(x)＝a 有4个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4(x 1<x 2<x 3<x 4)，则434123
x x x x x x ++的取值范围是 。

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题
17.(本题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsinC ＝csin(B －
3π)。

(1)求角B 的大小；
(2)若1132
a c +=，△ABC 的面积为3，求
b 。

18.(本题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 4＝7，a 10＝19，其前n 项和为S n 。

(1)求数列{a n }的通项公式a n 及S n ；
(2)若b n ＝1
1n n a a +，求数列{b n }的前n 项和T n 。

19.(本题满分12分)如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠BCD ＝
23
π，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF 。

(1)求证：EF ⊥平面BCF ；
(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值。

20.(本题满分12分)
已知椭圆C
：2221(2
x y a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF ⊥x 轴，|PF|
＝2。

(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且|OM|
，求△AOB 面积的最大值。

21.(本题满分12分)
已知函数f(x)＝x －ln(x ＋1)－sinx 。

(1)证明：函数f(x)在区间(0，π)上存在唯一的极小值点；
(2)证明：函数f(x)有且仅有两个零点。

(二)选考题
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22.(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系x0y 中，直线1
的参数方程为21x y ==-+⎧⎪⎨⎪⎩(t 为参数)。

以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，且直线l 与曲线C 交于M ，N 两点。

(1)求l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程；
(2)若A(0，1)，求|AM|＋|AN|的值。

23.(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知a ，b ，c 为正数，且满足a ＋b ＋c ＝3abc 。

证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≥3；(2)
222
1113a b c ++≥。