不定积分学习指导

不定积分学习指导
第四章不定积分
1学习指导
1.基本要求
⑴正确理解原函数与不定积分的概念，熟悉原函数与不定积分的关系；
⑵掌握并能推证不定积分的性质，牢记并能熟练运用基本积分公式；
⑶熟练掌握求简单函数不定积分的直接方法；
⑷掌握不定积分的换元积分法与分部积分法；
⑸了解有理函数、简单无理函数、三角函数有理式的不定积分；
⑹掌握求典型初等函数不定积分的方法；
⑺掌握积分表的使用方法。

2.重点与难点
重点不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法；
难点换元积分法。

3.学习方法
⑴不定积分与微分互为逆运算，“积分法”是在“微分法”的基础上建立起来的。

由初等函数的微分法可推出求不定积分的法则。

如由复合函数的求导法则可以得到换元积分公式，由乘积的求导法则可以得到分部积分公式。

⑵求不定积分的方法是，设法将所求的积分化为基本积分表中已
有的积分形式，以便运用公式求不定积分，具体转化时，可以利用积分性质、换元积分法、分部积分法及代数三角恒等变形等方法。

常用的三角恒等式包括平方和（差）等于1、倍角的正弦及余弦公式、和差化积及积化和差公式。

下面列出常用的求不定积分的方法。

①直接积分法
这种方法是将被积函数作代数、三角恒等变形，直接利用基本积分公式或不定积分的线性运算性质进行求解。

②第一类换元积分法（凑微分法）
这类积分法主要解决被积函数为复合函数的积分。

求不定积分()?dx x g ，
关键是将被积表达式()dx x g 凑成复合函数的微分()()()dx x x f '
的形式，再由()()x d dx x ??='得()()()()()==du u f dx x x f dx x g '??，即将积分()?dx x g 转化为()du u f ?，若能求得()u f 的原函数，就得到了()x g 的不定积分，因此熟悉常见的凑微分形式非常重要。

应注意，利用第一类换元法求不定积分时，有时不必写出换元积分变量，而将()x ?视为整体变量μ直接计算。

常见的第一类换元积分类型如下：
()()()
++=
+-b ax d b ax f na dx x b ax f n n
n n 11 （n 为自然数）；
()()??=x
x
x
x
de e f dx e e f ； ()()()??
=x d x f dx x
x f ln ln 1
ln ；
()()??=x d x f xdx x f sin sin cos sin ，用于求积分?-xdx x n m
12cos sin
（n m ,是自然数）
()()??
-=x d x f xdx x f cos cos sin cos ，用于求积分?-xdx
x n m cos sin 12
（n m ,是自然数）
()()??
=x d x f xdx x f tan tan sec tan 2，用于求积分?xdx x n m 2sec tan
（n m ,是自然数）
()()??=x d x f xdx x x f sec sec tan sec sec ，用于求积分?-xdx x n m sec tan
1
2
（n m ,是自然数）
()
()??
=-x d x f dx x
x f arcsin arcsin 11arcsin 2
；
()
()??
=+x d x f dx x x f arctan arctan 11
arctan 2
； ()()??
++=+
+22
2
2
1111x d
x f
dx x
x
x f
；
()()??=x d x f dx x x f
21；
-=??? ??x
d x f dx x x f 111
12。

③第二类换元积分法
第二类换元积分主要处理带根式的不定积分问题，关键是作一个适当的变量代换()t x ?=将根号去掉，使被积函数为()()()t t f '??，整理化简成()t g ，而函数()t g 的原函数容易求出，这里()t x ?=的选择与被积函数中根式的表达形式有关，代换时注意符号的讨论，求出原函数后则应注意回代积分变量，特别是作三角代换计算不定积分后，应借助于辅助三角形进行变量还原，常见的第二类换元有下列类型：()
-dx x a x f 22, （令t a x sin =）；
()?+dx x a x f 22, （令t a x tan =）； ()?-dx a x x f 2
2,
（令t a x sec =）；
()
++dx c bx ax x f 2,，将被积函数配方，化成上述三种形式之一，再作变量代换；
()
+dx b ax x f n
,
（令t b ax n =+）；
(
)
++dx b ax b ax x f m n ,,（令t b ax p
=+，p 是m ，n 的最小公倍数）；
++dx d cx b ax x f n , （令t d cx b ax n =++）；当被积函数
含有n
x 1时，常用变换t x 1
=化简被积表达式。

④分部积分法
当被积函数可视为()x u 和()x v '的乘积，即()()()x v x u x f '=时，常用分部积分公式
-=vdx u nv dx uv '
'
计算不定积分。

使用分部积分公式求不定积分，关键是正确选择u 及
'v ，选择',v u 应遵循如下原则：
01 由'v 或dv 容易求出v ； 02
vdx u '要比dx uv '?容易积分（即u 求导后形式更简单）。

选择v u ,的一般方法是，将被积函数看成两函数之积，按反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数顺序，排在前面的取为u ，后面的取为'v .
⑤有理函数的积分
有理函数的积分，可归结为多项式和真分式的积分，而真分式可分解为部分分式之和，因此求有理函数不定积分的步骤是：将被积函数进行分解，使被积函数=多项式+部分分式（其中部分分式的分母为一次或二次不可约因式，分解部分分式所用的方法是待定系数法），然后分别求各部分的不定积分。

理论上，任何有理函数都可以求出其不定积分，但将真分式化成部分分式有时十分困难，因此在解有理函数的积分时，应全面分析被积函数的特点，寻求其他简便方法。

⑥三角有理式与简单无理式的积分
某些无理根式及三角有理式的不定积分，经过变量代换常可化成有理函数的不定积分，无理根式的常见换元类型见本目③.
对三角有理式()x x R cos ,sin ，经万能代换2
tan x
u =，有
212sin u u x +=， 2
211cos u u x +-=， 212u du dx +=，
从而
()??+
+-+=du u u u u u R dx x x R 222212
11,12cos ,sin
是有理函数的积分，原则上应用万能代换可计算任意一个三角有理式的积分，但计算往往繁杂，因此，仅当没有更简便方法时才用此方法求解。

⑶许多不定积分的计算需要综合运用上述各种方法，一般从被积表达式的形式可以决定先用哪种方法，后用哪种方法。

求不定积分往往不止一种方法，用多种方法求解，可以培养灵活的思维能力，也可以比较解法之联系，从中选取最简解法。

应注意，对不定积分用不同的方法求的结果，形式可能不完全相同，但它们的导数都等于被积函数。

⑷注意，并非所有的连续函数都能求出其不定积分，原因是它们
的原函数不是初等函数。

如2
x e ，
2sin x ，x
x sin ，x ln 1
，31x +，x k 22sin 1-
()10<<="">
2 解题指导
1.基本积分法
例1 求下列不定积分：
⑴?
+dx x x x
sin cos 2cos ；⑵dx x x x ?+++1
133224；⑶dx x x x ?-
)1
1(2
；⑷?-dx x x x )tan (sec sec . 解题思路此类积分形式比较简单，只需经过三角恒等变形或代数运算，就可利用基本公式求解。

解
⑴
-=+-=+dx x x dx x x x
x dx x x x )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22C x x ++=cos sin ⑵C x x dx x dx x dx x x x ++=++=+++arctan 1 131133322
224 ⑶C x x dx x dx x dx x x x ++=-=---41
47
45
43
247
4
)11(
⑷+-=-=-C x x xdx x xdx dx x x x sec tan tan sec sec )tan (sec sec 2 例2 计算?-dx x 2.
解题思路被积函数是绝对值函数或分段函数，求其不定积分，应先分别求函数在各段上相应区间内的不定积分，然后利用原函数的连续性，确定各任意常数间的关系，最后用一个任意常数表示其不定积分。

解因为
≥-<-=-=.
2,2,
2,22)(x x x x x x f
于是
≥+-<+-=-=?.2,22
1,2,2122)(12
22x C x x x C x x dx x x F 由被积函数的连续性，有)2()02()02(F
F F =-=+，即412-=C C ，所以
≥+-<-+-=-?.2,22
1,2,421221212x C x x x C x x dx x 2.第一类换元积分法例3 求下列不定积分：
⑴?xdx x sec tan 3；⑵?xdx x 43cos sin ；
⑶dx x x x ?++2
2/31)(arctan ；⑷?+dx x x )4(1
3；⑸dx x x
-cos 1cos ；⑹dx x x x ?+2
)
ln (ln 1. 解题思路使用第一类换元法的关键是“凑”出函数的微分，方法是利用一些常见函数的微分形式。

但如果不易直接得到，则可应用拆项、加项、减项、同乘除因子、三角恒等变形等方法将被积函数变形，化简成简单函数后再求不定积分；也可以从被积函数中取出部分表达式，求其导数后寻找规律，再确定如何凑微分。

解⑴注意到x d xdx x sec sec tan =，且1sec tan 22-=x x ，所以 ??=x xd xdx x sec tan sec tan 23?-=x d x sec )1(sec 2C x x +-=sec sec 3
1
3 ⑵降幂法与化同名三角函数是求解形如?xdx x n m cos sin 形式不定积分的基本方法。

一般地，若两个函数都是偶次幂，则通过半角公式降幂；若至少有一个函数为奇次幂，则将奇次幂分为一次幂与偶次幂
的乘积，化为同名三角函数求解。

对本题，由于x 3sin 是奇次幂，且
x x 22cos 1sin -=，故原积分可以化成?)(cos )(cos x d x f 形式，所以
x xd x xdx x cos cos )cos 1(cos sin 4243??--=C x x ++-=75c o s 71c o s 5
1.
⑶将被积函数分成两部分，第一项凑微分得)1(2
1
2+=x d xdx ，第二
项凑微分得x d dx x
arctan 11
2
=+，则
+++=++dx x x dx x x dx x x x 22
3
2
2
2
/31)(arctan 11)(arctan C x x +++=25
2)(arctan 5
2
)1ln(21.
⑷这是一个有理函数的积分，但将被积函数分解为部分分式很麻烦，若将分子的1写成4
4，再加一个因式，同时减去该因式，可与分母的两项联系起来；若注意到分母次数高于分子次数，作倒代换t
x 1
=，也可简化被积表达式。

方法1 )41(41)4(441)4(13
2
3333dx x
x dx x dx x x x x dx x x +-=+-+=+ C x x ++-=34ln 12
1
ln 41. 方法2 令t
x 1=，则
+dx x x )4(13?-+=)(41
23t dt
t
t ??++-=+-=3
33241)
41(12141t t d t dt t C t ++-=341ln 12
1
C x
++-
=34
1ln 121 C x x ++-
=34ln 12
1
ln 4
1
⑸本题分母有两项，对分子分母同乘一个因子，可将分母化成单项；也可以用倍角公式将分母化为单项。

方法1
dx x x
-cos 1cos =dx x x x x ?+-+)cos 1)(cos 1()cos 1(cos
dx x x
dx x x dx x x x
+=+=22222sin cos sin cos sin cos cos dx x x x d ??
-+=)1(csc sin sin 2
2 C x x x +---
=cot sin 1C x x
+--=2
cot . 方法2 dx x x ?
-cos 1cos dx x x x ?-=2sin
22sin 2cos 22
2?-=dx x )12(cot 212 C x x
x d x +--=-=?2
cot 2)22(csc 2.
⑹因为x x x ln 1)ln (+='，即dx x x x d )ln 1()ln (+=，所以
=+22)ln ()ln ()ln (ln 1x x x x d dx x x x C x x +-=ln 1
.
3.第二类换元积分法例4 求下列不定积分：⑴dx x x ?-1
122；⑵dx x
a x
a ?
-+)0(>a ；⑶dx x x x x
+)(33
；⑷dx e
x
+211；⑸dx x x x ?
--2
)ln (ln 1；⑹?+dx x tan 11
. 解题思路有些不定积分，不能通过凑微分利用基本公式求解，但可利用变量代换转化积分形式后利用基本积分公式求解。

常用的代换方法有：
⑴三角代换与双曲代换。

这类代换针对某些特殊的无理根式，如对⑴题作代换t a x sec =或t a x cosh =可消去根式。

注意作三角代换后应利用辅助三角形进行变量还原。

⑵根式代换。

对某些含有根式的被积函数，通过根式代换可将其转化为有理函数积分，方法是取同形根式中方幂的最小公倍数作为代换形式。

如对⑶题作代换6x t =.
⑶指数代换。

当被积函数中含有指数函数ax e 时，用代换ax e u =可转化积分形式，但常常需要配合其他变换。

⑷倒代换t
=.如果n m ,分别表示被积式中分子分母变量的最高次数，则当1<-n m 时，用倒代换较简。

解⑴方法1 令t x sec =，则
+-=+±=±==-.1
sin cos tan sec tan sec 1
1
2222
C x
x C t tdt dt t t t t dx x x
方法2 由被积函数的特点，作倒代换t
x 1
=，则
dx x x
-1
1
2
2
C x
x C t t t d dt t t
+-=
+-±=--±=--=??
1
11)1(21122222. ⑵方法1 该被积表达式带有根号，作变量代换，先去掉根号。

令x a x
a -+ =t ，则x=2
21t
a at +-, ()(
)
)
+++-=+-=++=+=-+12121121121
4222222222t dt
a t at t td a t t td a dt t at dx x a x a C x a x
a x a a C t at t a +---+=++-
=222arctan
21
2arctan 2.
方法2 将被积函数分子有理化，再令t a x sin =，则
()?
+=-+=-+tdt a t a t a dx x
a x a dx x a x a cos cos sin 122 ()?+--=+-=+=C x a a
x
a C t a at dt t a 22arcsin cos sin 1. ⑶为去掉被积函数中的根号，令6x t =，则
(
)
()
+=+=+dt t t dt t t t t t dx x x x x
25
236233
166
()()C t t dt t dt t ++-=??
+-=??1ln ln 6111
6
(
)
C x x
++=6
6
1
ln
.
⑷方法1 被积式中含有指数函数x e ，令x e t =，则
+=+2
2111t
t dt dx e
x
，
再令μtan =t ，于是
=+=+μμμμ
d t
t dt
dx e x
sec tan sec 111222 C d +-==?μμμμcot csc ln csc
()
C x e C e e
e x
x x
x +--+=+-+=-11ln 1ln 22 . 方法2 第二类换元积分法主要是去掉根式，为此令t e x =+21，则
()
+--=-=+dt t dt t t t tdt dx e x 1111211221122 C e e C t t x x +++-+=++-=1 11
1ln 2111ln
2122 ()
C x e x +--+=11ln 2.
方法3 变量代换往往不惟一，令t e x tan =，则
==+tdt t
t tdt dx e x
csc sec tan sec 1122
()
C x e C t t x +--+=+-=11ln cot csc ln 2 .
⑸注意到分母中x 的次幂高于分子中x 的次幂，令t x 1=，则
()
()()??
++-=??
-++=--dt t t t dt t t t
dx x x x
2
22
2
ln 1ln 11ln 1ln 1ln ln 1 ()()C x x x
C t
t t t t t d +-=++=++-=?
ln ln 11ln 1ln 12
. ⑹对第二类换元积分法，除了常用代换外，有时根据被积函数特点采用特殊代换，也可以简化积分。

对本题，令x t tan =，则()()
+--+=++=+dt t t t dt t t dt dx x 221112111tan 11 ()C t t t +++-+=arctan 211ln 411ln 212
C x x x ++-+=2
1
sec ln 41tan 1ln 212 .
4.分部积分法
例5 求下列不定积分：⑴已知()x f 的一个原函数是
x
x
sin ，求()?''dx x f x ；⑵?dx x x 23ln ；⑶()
+dx e xe x x
21
；
⑷
dx x x sin ；⑸?xdx
ln cos .
解题思路分部积分法适用于被积函数为两种不同类型函数乘积形式的不定积分，使用的关键是恰当选取()x μ与()x v '（或()dx x v ）.分部积分法常与换元积分法交替使用，或者数次使用才能算出结果。

注意在反复使用分部积分法的过程中，每一次都应选取同一类函数作为μ及v '，否则就会产生循环，致使解不出结果。

另外，在用分部积分法求不定积分时，若在计算过程中出现循环现象，常常可通过解方程求出结果。

常见积分类型有?bxdx e ax sin ，?bxdx e ax cos ，
对⑸题令
t x =ln ，即为这种形式。

解⑴由条件可知，()x f x x ='??? ??sin ，()x f x x '="
sin ，注意到
()()x f d dx x f '=''，()()x df dx x f ='，用分部积分法，有
()()()()'-'='=''dx x f x f x x f xd dx x f x
()()C x x x x x C x f x f x +'
-"??? ??=+-'=sin sin
C x x
x x x x ++--=
2
2sin 3cos 3sin ⑵这是对数函数与幂函数乘积形式的不定积分，取x 3ln =μ，
21x v =
'，则??
-=x d dv 1，于是 +-=-=xdx x
x x x xd dx x x 2
23323ln 31ln 11ln ln ??+--=--=xdx x x x x x x xd
x x ln 1
6ln 13ln 11ln 3ln 122323
C x
x x x x x x x xd x x x x +----=---=?6
ln 6ln 3ln 11ln 6ln 3ln 12323.
⑶这是幂函数与指数函数乘积形式的不定积分，取x u =，
()
2
1
+=
'x
x
e
e v ，则1
1
+-=x
e d
dv ，于是 ()
+++-=--=+dx e e x e xd dx e
xe x x x x
x
1
1
1111
2
+++-=--dx e e e x x x x 11?++-+-=--1
)
1(1x x x e e d e x
C e e x x
x
++-+-
=-)1ln(1
.
⑷这是幂函数与三角函数乘积形式的不定积分，取三角函数为
v '，幂函数为u ，应用分部积分公式。

注意到被积函数带有根号，为
去掉根号，令t x =，则
-==t d t tdt t dx x x cos 2sin 2sin 22
+-=tdt t t t cos 4cos 22?+-=t td t t sin 4cos 22
-+-=tdt t t t t sin 4sin 4cos 22C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos
22 C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2.
⑸方法1 这是幂函数与复合函数乘积形式的不定积分，取
x u ln cos =，1='v 则dx dv =，于是
xdx ln cos dx x
x x x x ??+=1
ln sin ln cos dx x
x x x x x x ??-+=1
ln cos ln sin ln cos dx x x x x x ?-+=ln cos ln sin ln cos .
解方程得 ()C x x x x x d x ++=?ln sin ln cos 2
1ln cos .
方法2 令x t ln =，则
-===tdt e t e t d e tdt e xdx t
t t t sin sin sin cos ln cos
+=t d e t e t t cos sin dt t e t e t e t t t ?-+=cos cos sin .
解方程得
C t e t e dt t e t t t ++=?）
（cos sin 2
1
cos ，所以
()C x x x x xdx ++=?ln sin ln cos 2
1ln cos .
5.特殊函数的积分例6 求下列不定积分：
⑴?+dx x 13
3；⑵?++dx x x 1
142；
⑶?
+x x dx sin )cos 2(；⑷?-+dx x x 342)
1()1(1
. 解题思路特殊函数的不定积分是指有理函数、三角有理式、简单无理式的不定积分，求解的一般方法是通过万能代换或第二类换元先将三角有理式及无理根式转化为有理函数，再利用有理函数求不定积分的方法求解。

解⑴因为 1
2
11132
3+---+=+x x x x x ，于是
+dx x 133dx x x x dx x ??+---+=12
112
+--++-+--+=2
222
)2
3
()21()
21(231)1(211ln x x d x x x x d x C x x x x +-++-+=31
2arctan 31
1
ln
2
. ⑵因为)12)(12(1224+-++=+x x x x x ，将被积函数拆成部分分式，得
)1
21
121(21112242+-+++=++x x x x x x ，
于是
++dx x x 1142)1211
21(2122??+-+++=dx x x dx x x ])2
2
()22(1
)2
2()22(1
[2
12222?
+-
+++
=dx x dx x
C x x +-++=
))12arctan()12(arctan(2
2
. ⑶本题不易用三角公式变形化简，不得已利用万能代换化为有理函数的积分。

令t x =2
tan ，则t x arctan 2=，2
12t
dt dx +=，故 ?+x x dx sin )cos 2(?++-++=2
2
2212)112(12t t t t t dt
++=dt t t t )3(122?+++=dt t
t t t )3(32311222 C t t dt t t t dt ++=++=??)3(ln 3
1
32313122
C x x ++=2
tan 32tan ln 313. ⑷由于
)
1)(1(1
11)1()1(1
3
3
4
2+--+=-+x x x x x x ，
令t x x =-+311，则11
33
-+=t t x ，232)
1(6--=t dt t dx ，于是
C x x C t dt dx x x +-+-=+-=-
=-+??
33
4
21
1
232323)1()1(1
. 6.综合问题举例例7 求下列不定积分：
⑴?+dx x x 2
/32)1(ln ；⑵?-dx e xe x x
2；⑶?+dx x x x x cos sin cos sin . 解题思路视被积函数特点交替使用换元法与分部积分法，也是计算不定积分的基本方法，对某些复杂形式的不定积分，将原积分拆项后，分项积分有时会使未积出部分抵消，从而求出不定积分，注意用此方法求解时，不要丢掉积分常数C.
解⑴为去掉被积函数中的根号，需设t x tan =，则tdt dx 2sec =，
于是
+dx x x 2
/32)1(ln ??==t td tdt t t sin tan ln sec sec tan ln 2
3 ?-=dt t
t
t
t t tan sec sin tan ln sin 2?-=tdt t t sec tan ln sin C t t t t ++-
=tan sec ln tan ln sin C x x x x x +++-+=)1ln(ln 122 .
⑵因为)22(2
-=-x x x e d e dx e ，所以
-dx e xe x x 2
---=-=dx e e x e xd x x x 222222.
令2-=x e t ，则)2ln(2+=t x ，故
-dx e x
2?+=dt t t 2
222??+-=2422t dt
dt
C t
t +-
=2
arctan 242 C e e x x
+---=2
2
arctan 2222，
故
C e e e x dx e xe x x
x
x x
+-+---=-?
22
arctan 2424222
. ⑶注意到
]1)cos [(sin 2
1
cos sin 2-+=x x x x ， )4
sin(2cos sin π
+=+x x x ，
则
+dx x x x x cos sin cos sin =?+-+dx x x x x cos sin 1
1cos sin 221?+-+=dx x
x x x cos sin 1)cos (sin 212 dx x
x dx x x ??+-+=
cos sin 1
21)cos (sin 21
++
--=)
4
sin()
4(221)cos (sin 21ππ
x x d x x C x x x ++--=)82tan(ln 2
21)cos (sin 21π. 例8 设x x x f 22tan 2cos )(sin +=')10(<<="" f="" p="" ，求)(x="">
解题思路已知))((x f ?'求)(x f ，一般有两种方法：⑴先由已知表达式求出)(x f '，再计算?'=dx x f x f )()(.⑵先求不定积分
=
))((x f ??')())((x d x f ??，再求函数)(x f 的表达式。

解方法1 因为
x
x
x x x x f 2
22
2
2
sin 1sin sin 21tan 2cos )(sin -+-=+='，所以
x x
x x x x f 211121)(--=-+-='，从而
'=dx x f x f )()(C x x dx x x
+---=--=?2)1ln()211
(
. 方法2 因为
'=x d x f x f 222sin )(sin )(sin ?+=x d x x 22sin )tan 2(cos
+=xdx x x 2sin )tan 2(cos 2
+-=dx x
x
x d x cos sin 22cos 2cos 213
C x x x x d x x x ++--=---=?
2222
cos cos ln 22cos 41cos cos cos 122cos 41 14242sin )sin 1ln(sin )sin 1ln(4
3
C x x C x x +---=+---=
，所以12)1ln()(C x x x f +---=.
7.建立递推公式
例9 建立下列不定积分的递推公式（n 为整数）：⑴?=dx b x I ax n n （1,0,0≠>≠b b a 且）；⑵?=xdx I n n tan .
解题思路对含有参数n 的不定积分，一般由分部积分公式可导出一个递推公式，但要使递推公式完整，必须给出递推的初值公式，注意初值公式的个数由递推的步数决定。

解⑴这是幂函数与指数函数相乘形式的不定积分
=dx b x I ax
n
n dx b a b nx b a b x ax n ax n ?--=
ln ln 11ln ln --=n ax n I b
a n
b a b x ，初值C b
a b dx b I ax
ax
+=
=?ln 0. ⑵由三角恒等公式1sec tan 22-=x x 与导数公式x d xdx tan sec 2=有
=xdx I n n tan ?-=-dx x n )1(sec tan 22
-=x xd n tan tan 2?--x d x n 2
t a n
21
t a n 1
1----=n n I x n . 初值C x xdx I +-==?cos ln tan 1； C x dx I +==?0.
8.错解分析
例10 计算不定积分dx e x ?-. 错解≤>=--.
0,,0,x e x e e
x x x
当0≤x 时，dx e x ?-=C e dx e x x +=?；当0>x 时，dx e x ?-=C e dx e x x +-=--?，所以
dx e x
-=>+-≤+-.
0,,
0,x C e x C e x x
分析该解法忽略了原函数在所论区间内的连续性，事实上，由
C C e x x +=+-→1)(lim 0
，C C e x x +-=+--→+
1)(lim 0
，知原函数在),(+∞-∞上不连续。