江苏省南京市孝陵卫中学2018年高二数学理期末试卷含解析

江苏省南京市孝陵卫中学2018年高二数学理期末试卷
含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 直线的截距式方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. 用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k 的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）
A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2
C．（k+1）2 D．
参考答案：
B
【考点】RG：数学归纳法．
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．
【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2
故选B．
3. 已知函数在区间(－1,1)内存在极值点，且恰有唯一整数解使得
，则a的取值范围是（）（其中e为自然对数的底数，）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
【分析】
对函数求导，函数在区间内存在极值点等价于导数在区间
有根，可求出的大范围，然后研究出函数的单调区间，画出函数的大致图像，结合图像分析恰有唯一整数解使得的条件，即可求出实数的具体范围。

【详解】由题可得：要使函数在区间内存在极值点，
则有解，即，且，解得：，
令，解得：，则函数的单调增区间为，
令，解得：，则函数的单调减区间为
由题可得
（1）当，即时，函数的大致图像如图：
所以要使函数恰有唯一整数解使得，则，解
得：，
（2）当，即时，函数大致图像如图：
所以要使函数恰有唯一整数解使得，则，解得：，
综上所述：，
故答案选D.
【点睛】本题主要考查函数极值点存在的问题，以及函数值的取值范围，研究此类题的关键是借助导数研究函数单调性，画出函数大致图像，结合图像分析问题，考查学生转化的能力以及数形结合的思想，属于中档题。

4. 已知a b，且a sin＋acos－＝0 ，b sin＋bcos－＝0，则连接(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单位圆的位置关系是
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
参考答案：
A
5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
B
6. 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）
A．-2835 B.2835 C.21 D.-21
参考答案：
A
7. 设不等式组表示的平面区域为D．若圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0）不经过区域D上的点，则r的取值范围是（）
A．[2，2] B．（2，3] C．（3，2] D．（0，2）∪（2，+∞）
参考答案：
D
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP及其内部，而圆C表示以（﹣1，﹣1）为圆心且半径为r的圆．观察图形，可得半径r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△MNP及其内部，其中M（1，1），N（2，2），P（1，3）
∵圆C：（x+1）2+（y+1）2=r2（r＞0），
表示以C（﹣1，﹣1）为圆心，半径为r的圆
∴由图可得，当半径满足r＜CM或r＞CP时，圆C不经过区域D上的点，
∵CM==2，CP==2
∴当0＜r＜2或r＞2时，圆C不经过区域D上的点
故选：D
【点评】本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围．着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．
8. 定义域的奇函数,当时恒成立,若,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
9. 用数学归纳法证明+++…＜1（n∈N*且n＞1）由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（）
A．B． +﹣
C． +﹣D． +﹣﹣
参考答案：
B
【考点】数学归纳法．
【分析】分别写出n=k、n=k+1时不等式左边的表达式，然后相减即得结论．
【解答】解：当n=k时，左边=+++…+，
n=k+1时，左边=++…+++，
两式相减得： +﹣，
故选：B．
10. 若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点，F1，F2分别是它们的左右焦点，设椭圆的离心率为，设双曲线的离心率为，若，则（）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为．
参考答案：
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】欲求所围成的三角形的面积，先求出在点（1，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
【解答】解：∵y=x3，
∴y'=3x2，当x=1时，y'=3得切线的斜率为3，所以k=3；
所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：
y﹣1=3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2=0．
令y=o得：x=，
∴切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为：
S=×（2﹣）×4=
故答案为：．
12. 顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6的抛物线标准方程是．
参考答案：
x2=±24y
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用已知条件，求出抛物线的距离p，然后写出抛物线方程即可．
【解答】解：顶点在原点，对称轴是y轴，且顶点与焦点的距离等于6，可得抛物线方程p=12，
所求抛物线方程为：x2=±24y．
故答案为：x2=±24y．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
13. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．
参考答案：
3＜r＜7
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，圆心距为5，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，可得|r﹣2|＜5＜r+2，即可求出r的取值范围．
【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，
∴3＜r＜7．
故答案为3＜r＜7．
14. 在底面是正方形的长方体中，，则异面直线与
所成角的余弦值为.
参考答案：
15. 球O的半径为1，点A、B、C在球面上，A与B、A与C的球面距离都是，B与C
的球面距离为，则球O在二面角B – OA – C内的部分的体积是；表面积是。

参考答案：
，
16. 研究函数的性质，完成下面两个问题：
①将，，按从小到大排列为__________．
②函数的最大值为__________．
参考答案：
①；②
①∵，
∴，，
∴在上增，在上减．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
②，令，
则，由①知在增，减，
∴，
∴．
17. 抛物线的的方程为，则抛物线的焦点坐标为____________
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知命题：复数，复数，
是虚数；命题：关于的方程的两根之差的绝对值小于.若为真命题，求实数的取值范围.
参考答案：
解：由题意知，
………………2分若命题为真，是虚数，则有且
所以的取值范围为且且………………4分
若命题为真，则有………7分
而，
所以有或…10分
由题意，都是真命题，实数的取值范围为.．１２分略
19. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(-l，-2）、B(2，3)、C(-2，-1)。

(Ⅰ)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长：
(Ⅱ)设实数t满足（O为坐标原点），求t的值。

参考答案：
Ⅰ) 由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为
(Ⅱ) 由题设知：
由，得：
从而5t= -11，所以.
20. （本大题12分）
已知函数，，
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数g(x)的单调性
（3）若对恒有成立，
求实数b的取值范围.
参考答案：
解：（1），，切点坐标为(1,4)，
切线斜率为3∴所求切线方程为…………（3分）（2）
当；
…………（7分）
（3）问题等价于在恒成立
．
即在单增，
在单减
…………（9分）
法一）对恒成立
恒成立
记，
∵，则，
∴，
…………（12分）
法2）由（2），不合题意；，……（10分）
由
…………（12分）
21. 已知曲线C的极坐标方程为，直线，直线
．以极点O为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；
（2）已知直线与曲线C交于O，A两点，直线与曲线C交于O，B两点，求的
面积．
参考答案：
（1）；；为参数；（2）.
【分析】
（1）利用直角坐标和极坐标的互化原则直接转化即可；（2）根据极坐标的关系，求解出和，利用三角形面积公式直接求得结果.
【详解】（1）直线直角坐标方程为：
直线的直角坐标方程为：
，且
曲线的直角坐标方程为：
即
（2）曲线的极坐标方程为：
当时，
当时，
【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化、极坐标应用问题，关键在于能够利用极坐标的求解出三角形两邻边的长度，直接求得结果.
22. 在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设
BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。

参考答案：。