二元一次不等式(组)与简单的线性规划知识点和典型题(高一数学2份)

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.
(2)由于对直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ，y )，把它的坐标(x ，y )代入Ax ＋By ＋C ，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点，由Ax 0＋By 0＋C 的符号即可判断Ax ＋By ＋C >0表示的直线是Ax ＋By ＋C ＝0哪一侧的平面区域. 2.线性规划相关概念
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
(1)在平面直角坐标系内作出可行域.
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形. (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解.
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
(2)不等式x 2－y
2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域.
( √ )
1.不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －y －6<0，x －y ＋2>0，
x ≥0，y ≥0表示的平面区域是下
图中的 阴影部分.
( × )
2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是
( )
A.(0,0)
B.(－1,1)
C.(－1,3)
D.(2，－3)
3.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则该约束条件
所
( )
B.5
2
C.2
D.2 2
)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，( )
B.0
C.53
D.52
C
画出可行域如图.
设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋1
2z ，当直线y
＝－12x ＋z 2过点M ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53， 所以(x ＋2y )max ＝5
3
.
5.(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.
若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2
解析 作出可行域如图阴影部分所示：
由图可知当0≤－k <1
2时，直线y ＝－kx ＋z 经过点
M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥1
2时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，
此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意.综上可知，k ＝2. 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 练习:如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐 标分别为A (0,1)，B (－2,2)，C (2,6)，试写出△ABC 及其内部区域所对应的二元一次不等式组.
解 由已知得直线AB 、BC 、CA 的方程分别为直线AB ：x ＋2y －2
＝0，直线BC ：x －y ＋4＝0，直线CA ：5x －2y ＋2＝0，
∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋4≥0x ＋2y －2≥05x －2y ＋2≤0
.
题型二 求线性目标函数的最值
例2 设x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ≤－33x ＋5y ≤25
x ≥1，求z ＝
x ＋y 的最大值与最小值.
思维启迪 作可行域后，通过平移直线l 0：x ＋y ＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值.
解 先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得A (5,2)、
B (1,1)、
C (1，22
5)，作出直线l 0：x ＋y ＝0，再将直线
l 0平移，当
l 0的平行线l 1过点B 时，可使z ＝x ＋y 达到最小值；当l 0的平
行线l 2过点A 时，可使z ＝x ＋y 达到最大值.故z min ＝2，z max ＝7.
思维升华 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得. (2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系
.
(1)已知平面直角坐标系xOy 上的区域
D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤
2，
y ≤2，
x ≤2y
给定.若M (x ，y )为D
上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →
的
最大值为 ( )
A.3
B.4
C.3 2
D.4 2
(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于
( ) A.14
B.12
C.1
D.2
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧
0≤x ≤
2，
y ≤2，
x ≤2y
画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →
＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，、z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4. 作出不等式组表示(2)的可行域，如图(阴影部
分). 易
知直线z ＝2x ＋y 过
交点A 时，z 取最小值，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－2a ，
∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝1
2
，故选
B.
题型四求非线性目标函数的最值
例4(1)设实数x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x－y－2≤0，
x＋2y－4≥0，
2y－3≤0，
则
y
x的最
大值为________.
(2)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为
平面区域
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x＋y≥2，
x≤1，
y≤2，
上的一个动点，则|OA
→
＋OM
→
|
的最小值是________.
思维启迪与二元一次不等式(组)表示的平面区域
有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结
合给定代数式的几何意义来完成.
答案(1)
3
2(2)
32
2
解析(1)
y
x表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在
点(1，
3
2)处取到最大值.
(2)依题意得，OA
→
＋OM
→
＝(x＋1，y)，|OA
→
＋OM
→
|＝
(x＋1)2＋y2可视为点
(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中
的不等式组表示的
平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，
由点(－1,0)向直线
x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点
(－1,0)的距离最小，因此|OA
→
＋OM
→
|的最
小值是
|－1＋0－2|
2
＝
32
2.
思维升华常见代数式的几何意义有
(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
(2)(x－a)2＋(y－b)2表示点(x，y)与点(a，b)之间的
距离；
(3)
y
x表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；
(4)
y－b
x－a
表示点(x
，y)与点(a，b)连线的斜率.
设不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x≥1，
x－2y＋3≥0，
y≥x，
所表示的
平面区域是Ω1，平面区域Ω2是与Ω1关于直线3x－
4y－9＝0对称的区域，对于Ω1中的任意一点A与Ω2
中的任意一点B，|AB|的最小值等于
()
A.
28
5 B.4 C.
12
5 D.2
答案 B
解析由题意知，所求的|AB|的最小
值，即为区域Ω1中的点到直
线3x－4y－9＝0的距离的最小值的两
倍，画出已知不等式表示的
平面区域，如图所示，
可看出点(1,1)到直线3x－4y－
9＝0的距离最小，故|AB|的最小
值
为
2×
|3×1－4×1－9|
5＝4，选B.
方法与技巧
1.平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线).
2.求最值：求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，
将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－
a
b x＋
z
b，通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z的最值.最
优解在顶点或边界取得.
3.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最
好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束
条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
失误与防范
1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元
一次不等式标准化.
2.在通过求直线的截距
z
b的最值间接求出z的最值时，
要注意：当b>0时，截距
z
b取最大值时，z也取最大
值；截距z
b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，
截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z
b 取最小值时，
z 取最大值.
A 组 专项基础训练
一、选择题
1.在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
y ≤x ＋1y ≥0
0≤x ≤t 所表示的
平面区域的面积为3
2，则t 的值为( )
A.－3或 3
B.－3或1
C.1
D. 3 答案 C
解析 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ＋1y ≥0
0≤x ≤t 所表示的平面区域如图
中阴影部分所示.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1
x ＝t 解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，
即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝3
2，得t 2＋2t －3＝0，解得
t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C.
2.直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0，
y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20
表
示的平面区域的公共点有 ( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个 答案 B
解析 在坐标平面内画出直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个.
3.(2013·天津)设变量x ，y 满足约束条件
⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，
则目标函数z ＝y －2x 的最小值为
( )
A.－7
B.－4
C.1
D.2
答案 A
解析 可行域如图阴影部分(含边界)
令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过A 点时， z
取得最小值.由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝3，
x －y －2＝0得
A (5,3).∴z min ＝3－2×5＝－7，选A.
4.O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点N (x ，y )
足⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋y 2
≤4，2x －y ≥0，
y ≥0，
的坐标满
则OM →·ON →
的最大值为
( ) A. 2 B.2 2
C. 3
D.2 3
答案 B
解析 如图，点N 在图中阴影区域内，当O 、M 、N 共线时，OM →·ON →最大，此时N (2，2)，OM →·ON →
＝(1,1)·(2，2)＝22，故选B.
5.(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式
组 ⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0
所表示的区域
上 一动点，则直线OM 斜率的最小值为
( ) A.2
B.1
C.－1
3
D.－12
解析 画出图形，数形结合得出答案.
如图所示，⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为
图中的阴影部分.
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －1＝0，
3x ＋y －8＝0，得A (3，－1).当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13.
二、填空题
6.已知z ＝2x －y ，式中变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋y ≥1，x ≤2，则z 的最大值为________.
答案 5
解析 在坐标平面内画出题中的不等式表示的平面区域及直线2x
－y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(2，－1)时，
相应直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最大值，最大值 是z ＝2×2－(－1)＝5.
7.设z ＝2x ＋y ， x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥0x －y ≤0
0≤y ≤k
，若z 的最大值
为6，则k 的值为_____，z 的最小值为___. 答案 2 －2
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x
＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k
必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；
平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应
直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2. 三、解答题
10.已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤0
4x ＋y ＋10≥0，求4x －3y
的最大值和最小值.
解 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤0
4x ＋y ＋10≥0表示的区域如图所
示.
可观察出4x －3y 在A 点取到最大值，在B 点取到最小值. 解方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1
y ＝－6，则
错误!，得A (－1，－6).
解方程
组
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋7y －11＝04x ＋y ＋10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3
y ＝2
.则B (－3,2)， 因此4x －3y 的最大值和最小值分别为14，－18.
B 组 专项能力提升
1.(2012·课标全国)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，
B (1,3)，顶点
C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是
( )
A.(1－3，2)
B.(0,2)
C.(3－1,2)
D.(0,1＋3)
答案 A 解析 如图，根据题意得
C (1＋3，2). 作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平
移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2).
3.已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，
y －1≤0，
若目标函
数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是
__________.
答案 ⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞ 解析 画出x 、y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，
即－a <－12，∴a >1
2
.
4.当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0，(k 为负常数)
时，能使
z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值.
解 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图).当直线y ＝－13x ＋1
3
z 经过区域中的点A
时，截距最大.由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2x ＋y ＋k ＝0，
得x ＝y ＝－k
3.∴点
A 的坐标为(－k 3，－k
3
).
则z 的最大值为－k 3＋3(－k 3)＝－43k ，令－4k
3＝12，
得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.。