2021年贵州省高考数学适应性试卷(文科)(3月份) (解析版)

2021年贵州省高考数学适应性试卷（文科）（3月份）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}
2．已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为（）
A．1B．2C．i D．2i
3．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
4．2020年3月，中共中央国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段，贯穿家庭、学校、社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合经济社会发展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式”．贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分．已知甲、乙两人都选了《职业认知》，则另外一门课程不相同的概率为（）
A．B．C．D．
5．设a＝log37，b＝3﹣0.2，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
6．已知向量＝（1，﹣1），＝（2，x）．若⊥（2+），则x的值为（）A．2B．﹣2C．6D．﹣6
7．双曲线C：＝1的一条渐近线与抛物线M：y2＝4x的一个交点为P（异于坐标原点O）．M的焦点为F，则△OFP的面积为（）
A．B．C．D．
8．数列{a n}中，a1＝5，a2＝9．若数列{a n+n2}是等差数列，则{a n}的最大项为（）A．9B．11C．D．12
9．如图，G，H，M，N分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中GH∥MN 的是（）
A．B．C．D．
10．若关于x的方程cos x＝a+sin x在区间[0，π]上有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣2，﹣1]B．[1，2）C．（﹣2，﹣]D．[，2）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某几何体的三视图，则该几何体的各个面中最大面积为（）
A．6B．C．3D．
12．已知函数f（x）＝，有如下四个结论：
①函数f（x）的图象关于点（0，1）对称；
②函数f（tan x）的图象的一条对称轴为x＝；
③∀x∈R，都有m≥f（x），则m的最小值为3；
④∃x0∈R，使得m≤f（x0），则m的最大值为﹣1．
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①③C．①④D．②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y 满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为．
14．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x+1，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝．
15．数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，其前n项和S n满足S n•S n+2＝S n+12，则{a n}的通项公式为．16．过圆O：x2+y2＝r外一点P（x0，y0）作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x+y0y＝r2．现过点P（1，3）作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为；若点Q是直线l：x﹣y﹣4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为，A＝．（1）若2sin C＝3sin B，求a；
（2）若D为BC边的中点，求线段AD长的最小值．
18．如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期．在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量（达到稳定期时的细菌数量）与培养基质量具有线性相关关系．某实验室在培养细菌A的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据：
2040506080培养基质量x
（克）
300400500600700细菌A的最大
承载量Y（单
位）
（1）建立Y关于x的回归直线方程，并预测当培养基质量为100克时细菌A的最大承载量；
（2）研究发现，细菌A的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量y（单位）与细菌A被植入培养基的时间t近似满足函数关系y＝0.8×2t﹣3+20，试估计在100克培养基上培养细菌A时指数期的持续时间（精确到1小时）．
附注：
参考数据：210＝1024，211＝2048，212＝4096，213＝8192．
参考公式：回归方程＝x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．
19．三棱锥P﹣ABC中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC 中点，点E在棱PC上（端点除外）．过直线DE的平面α与平面PAB垂直，平面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形，并写出作法（不要求证明）；
（2）若PE＝3EC，求点C到平面α的距离．
20．已知函数f（x）＝x+1﹣xe x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）判断f（x）是否有零点．若有，求出零点个数；若没有，请说明理由．
21．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，P 是E上一点，PF2⊥F1F2，△F1PF2的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F2作两条互相垂直的直线与E分别交于A，B和C，D，若M，N分别为AB和
CD的中点．证明：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝tanθ+．
（1）曲线C与直线l：θ＝（ρ∈R）交于A，B两点，求|AB|；
（2）曲线C1的参数方程为（r＞0，α为参数），当θ∈（0，）时，若C 与C1有两个交点，极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），求r的取值范围，并证明θ1+θ2＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f（x）＝|x|+|x﹣1|的最小值为m．
（1）求m；
（2）设正实数a，b，c满足a+b+c＝m，证明：ab+bc+ca≥．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，集合B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．∅B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}
解：因为集合B＝{x|y＝}＝{x|x≥0}，
又集合A＝{﹣1，0，1，2}，
所以由集合交集的定义可知，A∩B＝{0，1，2}．
故选：D．
2．已知i为虚数单位，复数z＝的虚部为（）
A．1B．2C．i D．2i
解：复数z＝＝＝＝2+i的虚部为1，
故选：A．
3．小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2．加上这个数后的这组数据（）
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
解：设这组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为10，方差为2，
所以x1+x2+…+x n＝10n，++…+＝2n，
添上数据10后，这组数据的平均数为×（x1+x2+…+x n+10）＝×（10n+10）＝10，
方差为[++…++（10﹣10）2]＝2•＜2．
所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2．
故选：B．
4．2020年3月，中共中央国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，
提出“把劳动教育纳入人才培养全过程，贯通大中小学各学段，贯穿家庭、学校、社会各方面，与德育、智育、体育、美育相融合，紧密结合经济社会发展变化和学生生活实际，积极探索具有中国特色的劳动教育模式”．贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分．已知甲、乙两人都选了《职业认知》，则另外一门课程不相同的概率为（）
A．B．C．D．
解：贵州省某学校结合自身实际，推出了《职业认知》《家政课程》《田地教育》《手工制作》《种植技术》五门劳动课程，
要求学生从中任选两门进行学习，经考核合格后方能获得相应学分．
甲、乙两人都选了《职业认知》，
基本事件总数n＝4×4＝16，
其中另外一门课程不相同包含的基本事件个数m＝4×3＝12，
∴甲、乙两人都选了《职业认知》，另外一门课程不相同的概率为：
P＝＝＝．
故选：D．
5．设a＝log37，b＝3﹣0.2，c＝，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a
解：设a＝log37＞log33＝1，
b＝3﹣0.2＜30＝1，
c＝＝3﹣2.1＜3﹣0.2＝b，
则a，b，c的大小关系是：c＜b＜a，
故选：C．
6．已知向量＝（1，﹣1），＝（2，x）．若⊥（2+），则x的值为（）A．2B．﹣2C．6D．﹣6
解：根据题意，向量＝（1，﹣1），＝（2，x），则2+＝（4，x﹣2），
若⊥（2+），则•（2+）＝4+2﹣x＝0，
解可得x＝6，
故选：C．
7．双曲线C：＝1的一条渐近线与抛物线M：y2＝4x的一个交点为P（异于坐标原点O）．M的焦点为F，则△OFP的面积为（）
A．B．C．D．
解：∵双曲线C：＝1的一条渐近线方程为：y＝x，与抛物线M：y2＝4x的一个交点为P，
y＝x代入抛物线方程，可得3x2＝4x，解得x＝0，x＝，所以P（，），抛物线y2＝4x的解得F（1，0），
则△OFP的面积为：＝．
故选：A．
8．数列{a n}中，a1＝5，a2＝9．若数列{a n+n2}是等差数列，则{a n}的最大项为（）A．9B．11C．D．12
解：令b n＝a n+n2，又a1＝5，a2＝9，
∴b2＝a2+4＝13，b1＝a1+1＝6，
∴数列{a n+n2}的公差为13﹣6＝7，
则a n+n2＝6+7（n﹣1）＝7n﹣1，
∴，
又n∈N*，∴当n＝3或4时，a n有最大值为．
故选：B．
9．如图，G，H，M，N分别是直三棱柱的顶点或所在棱的中点，则在下列图形中GH∥MN 的是（）
A．B．C．D．
解：对于A，若GH∥MN，可得G，H，M，N四点共面，则直线MG，HN共面，
这与MG，NH异面矛盾，所以A中的两直线不平行；
由异面直线的定义可得B，C中的两直线GH，MN为异面直线；
由N，H为中点，可得NH∥MG，且NH＝MG，则四边形MGHN为平行四边形，D中的两直线为平行直线．
故选：D．
10．若关于x的方程cos x＝a+sin x在区间[0，π]上有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣2，﹣1]B．[1，2）C．（﹣2，﹣]D．[，2）
解：原问题可转化为a＝cos x﹣sin x在区间[0，π]上有两个不等的实根，
令y＝cos x﹣sin x＝2cos（x+），
∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，
函数y的部分图象如图所示，
若有两个不等的实根，则﹣2＜a≤，
∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣]，
故选：C．
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是某几何体的三视图，则该几何体的各个面中最大面积为（）
A．6B．C．3D．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD；
如图所示：
故，，
，＝，故选：B．
12．已知函数f（x）＝，有如下四个结论：
①函数f（x）的图象关于点（0，1）对称；
②函数f（tan x）的图象的一条对称轴为x＝；
③∀x∈R，都有m≥f（x），则m的最小值为3；
④∃x0∈R，使得m≤f（x0），则m的最大值为﹣1．
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①③C．①④D．②③
解：函数f（x）＝＝1+．
①令f（x）＝1+g（x），g（x）＝，因为g（﹣x）＝﹣＝﹣g（x），所以g
（x）是奇函数，
所以函数g（x）的图象关于点（0，0）对称；
则函数f（x）的图象关于点（0，1）对称；所以①正确；
②函数f（tan x）＝1+＝1+＝1+4sin x cos x＝1+2sin2x，
当x＝时，函数取得最大值3，但是函数y＝tan x的定义域为：x±kπ+，所以判断函数的图象的一条对称轴为x＝不正确，所以②不正确；
③∀x∈R，都有m≥f（x），即m≥f（x）max，f（x）＝1+＝+1≤1+＝
3，当且仅当x＝1时取等号，
所以m≥3，所以m的最小值为3，所以③正确；
④∃x0∈R，使得m≤f（x0），即f（x）max≥m，所以m≤3，m的最大值为3，与③矛盾，
所以④不正确；
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最大值为3．
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（1，﹣1），
由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A（1，﹣1）时，
直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3．
故答案为：3．
14．已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x+1，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝﹣1．解：根据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x+1，则f（﹣x）＝e﹣x﹣e x+1，
则f（x）+f（﹣x）＝2，故有f（a）+f（﹣a）＝2，
又由f（a）＝3，则f（﹣a）＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，其前n项和S n满足S n•S n+2＝S n+12，则{a n}的通项公式为a n ＝．
解：∵数列{a n}中，前n项和S n满足S n•S n+2＝S n+12，
∵a1＝1，a2＝2，
故S2＝3，
∴数列{S n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴S n＝1×3n﹣1＝3n﹣1，
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2•3n﹣2，
当n＝1时，a1＝1不适合上式，
故a n＝，
故答案为：a n＝．
16．过圆O：x2+y2＝r外一点P（x0，y0）作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x+y0y＝r2．现过点P（1，3）作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为x+3y﹣4＝0；若点Q 是直线l：x﹣y﹣4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点（1，﹣1）．
解：根据题意，圆O：x2+y2＝4中，由r2＝4，
点P（1，3）在圆O外，过点P（1，3）作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为x+3y﹣4＝0，
设Q的坐标为（m，n），则m﹣n﹣4＝0，即m＝n+4，
过点Q作圆O：x2+y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx+ny ﹣4＝0，
又由m＝n+4，则直线AB的方程变形可得nx+ny+4x﹣4＝0，
则有，解可得，则直线AB恒过定点（1，﹣1），
故答案为：x+3y﹣4＝0，（1，﹣1）．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC 的面积为，A ＝．（1）若2sin C＝3sin B，求a；
（2）若D为BC边的中点，求线段AD长的最小值．
解：（1）因为2sin C＝3sin B，
所以由正弦定理可得2c＝3b，
因为A ＝，△ABC 的面积为＝bc sin A ＝×b ××，
所以解得b＝2，可得c＝3，
所以由余弦定理可得a ＝＝＝．
（2）因为A ＝，△ABC 的面积为＝bc sin A ＝bc，
所以bc＝6，
因为D为BC边的中点，可得2＝+，
两边平方，可得4||2＝||2+||2+2＝c2+b2+2bc cos A＝c2+b2+bc≥2bc+bc＝3bc ＝18，当且仅当b＝c ＝时等号成立，
可得||≥，当且仅当b＝c ＝时等号成立，即线段AD 长的最小值为．18．如图，在实验室细菌培养过程中，细菌生长主要经历调整期、指数期、稳定期和衰亡期四个时期．在一定条件下，培养基上细菌的最大承载量（达到稳定期时的细菌数量）与培养基质量具有线性相关关系．某实验室在培养细菌A的过程中，通过大量实验获得了以下统计数据：
2040506080培养基质量x
（克）
300400500600700细菌A的最大
承载量Y（单
位）
（1）建立Y关于x的回归直线方程，并预测当培养基质量为100克时细菌A的最大承载量；
（2）研究发现，细菌A的调整期一般为3小时，其在指数期的细菌数量y（单位）与细菌A被植入培养基的时间t近似满足函数关系y＝0.8×2t﹣3+20，试估计在100克培养基上培养细菌A时指数期的持续时间（精确到1小时）．
附注：
参考数据：210＝1024，211＝2048，212＝4096，213＝8192．
参考公式：回归方程＝x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝﹣．
解：（1）由题意可得，，，所以＝20×300+40×400+50×500+60×600+80×700＝139000，
＝400+1600+2500+3600+6400＝14500，
所以＝＝，
故＝﹣＝500﹣7×50＝150，
所以Y关于x的回归直线方程为＝7x+150，
当培养基质量为100克时细菌A的最大承载量为＝7×100+150＝850（单位）；
（2）在100克培养基上培养细菌A时，由（1）可知最大承载量为850单位，
又y＝0.8×2t﹣3+20，即850＝0.8×2t﹣3+20，化简可得2t﹣3＝1037.5，
所以t﹣3≈10，则t≈13，
所以在100克培养基上培养细菌A时指数期的持续时间为10小时．
19．三棱锥P﹣ABC中，PA＝4，AB＝2，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AC 中点，点E在棱PC上（端点除外）．过直线DE的平面α与平面PAB垂直，平面α与此三棱锥的面相交，交线围成一个四边形．
（1）在图中画出这个四边形，并写出作法（不要求证明）；
（2）若PE＝3EC，求点C到平面α的距离．
解：（1）取AB的中点M，连结DM，DE，作MF∥DE交PB于点F，连结MF，EF，则四边形DMFE即为所求；
（2）以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
因为AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，
所以AC＝4，∠BAC＝30°，AM＝，
所以M（），D（0，2，0），C（0，4，0），
因为PA＝4，AC＝4，PE＝3EC，
所以E（0，3，1），
故，
设平面DME的法向量为，
则有，即，
令x＝1，则，
所以点C到平面α的距离＝．
20．已知函数f（x）＝x+1﹣xe x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）判断f（x）是否有零点．若有，求出零点个数；若没有，请说明理由．
解：（1）f（x）＝x+1﹣xe x的导数为f′（x）＝1﹣（x+1）e x，
可得曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为0，且f（0）＝1，
则切线的方程为y＝1；
（2）f（x）有且只有1个零点．
理由：由f（x）＝0，可得x+1＝xe x，
显然x＝0不是零点，则e x＝1+，
设g（x）＝e x﹣1﹣，可得g′（x）＝e x+＞0，
所以g（x）在R上递增，
由g（1）＝e﹣1﹣1＞0，g（）＝﹣1﹣2＜0，
由函数的零点存在定理可得g（x）在（，1）有且只有一个零点．
所以f（x）有且只有1个零点．
21．已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左，右焦点，P 是E上一点，PF2⊥F1F2，△F1PF2的面积为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过F2作两条互相垂直的直线与E分别交于A，B和C，D，若M，N分别为AB和
CD的中点．证明：直线MN恒过定点，并求出定点坐标．
解：（1）设P（1，y p），＝×2y p＝，
可得y p＝，
又∵c＝1，
代入椭圆方程：，
解得a2＝4，∴b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆的方程为+＝1．
（2）证明：当直线l1和直线l2的斜率存在时，设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
所以x1+x2＝，
所以M（，），
因为l1⊥l2，将上式中的k换成﹣，得N（，），
若≠，即k≠±1时，k MN＝＝
＝•＝•，
所以直线MN的方程为y﹣＝•（x﹣），
化简得y＝•（x﹣），
所以直线MN恒过定点（，0），
若＝，即k＝±1时，直线MN的斜率不存在，
所以直线MN也过点（，0），
当直线l1或l2的斜率不存在，其中一条直线为x＝1，另一条为y＝0，
所以直线MN也过点（，0），
综上所述，直线MN恒过点（，0）．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝tanθ+．
（1）曲线C与直线l：θ＝（ρ∈R）交于A，B两点，求|AB|；
（2）曲线C1的参数方程为（r＞0，α为参数），当θ∈（0，）时，若C 与C1有两个交点，极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），求r的取值范围，并证明θ1+θ2＝．
解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝tanθ+，整理得，曲线C与直线l：θ＝（ρ∈R）交于A，B两点，
所以，
所以ρ2＝2，
所以，
故|AB|＝．
（2）由（1）得＝，
ρ2＝r2，
由于θ∈（0，），
所以2θ∈（0，π），
故sin2θ∈（0，1]．
故，
所以r的范围为[）．
证明：由于，
所以，
故sin2θ1＝sin2θ2，
由于若C与C1有两个交点，极坐标分别为（ρ1，θ1），（ρ2，θ2），
所以θ1≠θ2，
故2θ1＝π﹣2θ2，
整理得θ1+θ2＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．函数f（x）＝|x|+|x﹣1|的最小值为m．
（1）求m；
（2）设正实数a，b，c满足a+b+c＝m，证明：ab+bc+ca≥．
解：（1）f（x）＝|x|+|x﹣1|≥|x﹣x+1|＝1，
当0≤x≤1时，f（x）取得最小值1，即有m＝1；
（2）证明：正实数a，b，c满足a+b+c＝1，
ab+bc+ca≥⇔（ab+bc+ca）2≥3abc⇔（ab+bc+ca）2≥3abc（a+b+c），
由（ab+bc+ca）2﹣3abc（a+b+c）＝a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2a2bc+2abc2﹣3a2bc﹣3acb2﹣3abc2
＝a2b2+b2c2+c2a2﹣acb2﹣abc2﹣bca2
＝（2a2b2+2b2c2+2c2a2﹣2abc2﹣2bca2﹣2acb2）
＝[（ab﹣bc）2+（bc﹣ac）2+（ab﹣ca）2]≥0，
即有（ab+bc+ca）2﹣3abc（a+b+c）≥0，
即（ab+bc+ca）2≥3abc，
故原不等式成立．。