人教A版·数学·必修1课时作业10函数的最大值、最小值 Word版含解析

【答案】4＋a3－
13．已知函数f(x)＝ ，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝ 时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝ 时f(x)＝x＋ ＋2.
设1≤x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(1－ )，
∵1≤x1<x2，∴x2－x1>0,2x1x2>2，
B．f(0)<f(－2)<f(2)
C．f(0)<f(2)<f(－2)
D．f(2)<f(0)<f(－2)
【解析】∵f(1＋x)＝f(－x)，
∴(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝x2－bx＋c，
∴x2＋(2＋b)x＋1＋b＋c＝x2－bx＋c，
∴2＋b＝－b，即b＝－1.
∴f(x)＝x2－x＋c，
其图像的对称轴为x＝ .
【解析】在同一坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，
由图象可知，函数f(x)在x＝2时取得最大值6.
【答案】6
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，
于是当且仅当ymin＝3＋a>0时，函数f(x)>0恒成立，
故a的取值范围为(－3，＋∞)．
14．已知函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的递增函数，对于任意的x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且满足f(2)＝1.
(1)求f(1)，f(4)的值；
∴函数f(x)图象的对称轴为x＝2.
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝－2，∴f(0)＝－2，即a＝－2.
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
【答案】C
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，1]B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案：
7．函数f(x)＝ 的最大值为________．
【解析】当x≥1时，函数f(x)＝ 为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
【答案】2
8．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋4，－x＋8}的最大值是________．
10．已知函数f(x)＝ ，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
【解析】(1)函数f(x)在[3,5]上是增加的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.
因为f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝ ，
因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
【解析】当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
【答案】A
3．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是()
A．9，－15 B．12，－15
∴0< < ，1－ >0.
∴f(x2)－f(x1)>0，f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝ .
(2)在区间[1，＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x2＋2x＋a>0恒成立.
设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．
C．9，－16 D．9，－12
【解析】函数的对称轴为x＝3，
所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，
当x＝－2时，函数取得最大值为9，故选C.
【答案】C
4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】∵f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
因为f(2)＋f(x－3)≤2.
所以f(2(x－3))≤f(4)．
又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，
所以 解得3<x≤5.
即x的取值范围为(3,5]．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值．
【解析】f(x)＝|x|(x＋1)＝ 的图象如图所示．
(1)f(x)在 和[0，＋∞) 上是增函数，
在 上是减函数，
因此f(x)的单调递增区间为 ，[0，＋∞)；
单调递减区间为 .
(2)因为f ＝ ，f( )＝ ，
所以f(x)在区间 上的最大值为 .
∴f(0)<f(2)<f(－2)．
【ห้องสมุดไป่ตู้案】C
12．函数y＝x2＋ax＋3(0<a<2)在[－1,1]上的最大值是________，最小值是________．
【解析】函数y＝f(x)＝x2＋ax＋3的对称轴方程为x＝－ ，
因为0<a<2，所以－1<－ <0，
所以f(x)max＝f(1)＝4＋a，
f(x)min＝f ＝3－ .
(2)求满足f(2)＋f(x－3)≤2的x的取值范围．
【解析】(1)令x＝y＝1，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，
令x＝y＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，所以f(4)＝2.
(2)由f(2)＝1及f(xy)＝f(x)＋f(y)可得2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)．
课时作业
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一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是()
A．y＝ ＋2B．y＝3x－2
C．y＝x2D．y＝1－x
【解析】B，C在[1,4]上均为增函数，A，D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
【答案】A
2．函数f(x)＝ 则f(x)的最大值、最小值分别为()
【解析】令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
【答案】C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝ 的值域为________．
【解析】y＝ ＝2＋ .
因为x2－x＋1＝ 2＋ ，
所以2<2＋ ≤ .故值域为 .
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
所以f(x)＝ 在[3,5]上是增加的．
(2)f(x)min＝f(3)＝ ＝ ，
f(x)max＝f(5)＝ ＝ .
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11．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c且f(1＋x)＝f(－x)，则下列不等式中成立的是()
A．f(－2)<f(0)<f(2)