深圳盐港中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测(含答案解析)

一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）
A ．4﹣22
B ．32﹣4
C ．1
D ．2
2．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（ ）
A ．8
B ．10
C ．12.5
D ．15
3．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（ ）
A ．（一3，0）
B ．（3，0）
C ．（0，0）
D ．（1，0） 4．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．正方形 5．下列命题中，错误的是 （ ）
A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；
B ．对角线相等的菱形是正方形；
C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；
D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 6．已知点()0,0A ，()0,4B ，()3,4C t +，()3,D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边
界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为（ ）
A ．6、7
B ．7、8
C ．6、7、8
D ．6、8、9 7．如图，在ABC 中，90A ∠=，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点
E ，作BC 的垂线交BC 于点
F ，若AB CE =，且DFE △的面积为1，则BC 的长为（ ）
A ．25
B ．5
C ．45
D ．10
8．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是
1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）
A ．10091
2 B ．10101
2 C ．10111
2 D ．10211
2
9．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（ ）
A 2
B ．2
C 3
D 510．如图，已知在正方形ABCD 中，
E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到D
F ，延长EF 交AB 于点
G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF =，则两个正方形重合部分的面积为（ ）
A ．212a
B ．214a
C ．21
8a D ．2116
a 12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( )
A ．若∠ACP=45°， 则CP=5
B ．若∠ACP=∠B ，则CP=5
C ．若∠ACP=45°，则CP=245
D ．若∠ACP=∠B ，则CP=245
二、填空题
13．三角形的三边长分别为21，5，2，则该三角形最长边上的中线长为____． 14．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．
15．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．
16．如图，在边长为8厘米的正方形ABCD 中，动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由C 点向B 点运动，当点P 到达点B 时整个运动过程立即停止．设运动时间为1秒，当AQ DP ⊥时，t 的值为______．
17．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．
18．如图，,E F 分别是ABCD 的边,AD BC 上的点．8,60,EF DEF =∠=︒将EFCD 四边形沿EF 翻折，得到四边形',EFCD ED '交BC 于点,G 则GEF △的周长为________．
19．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．
20．如图，矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AD 上的一个动点；把BAE △沿BE 折叠，点A 落在A '处，如果A '恰在矩形的对称轴上，则AE 的长为______．
三、解答题
21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．
（1）如图
①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．
②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．
（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．
22．已知：如图，在梯形ABCD 中，DF 平分D ∠，若以点D 为圆心，DC 长为半径作弧，交边AD 于点E ，联结EF 、BE 、EC ．
（1）求证：四边形EDCF 是菱形；
（2）若点F 是BC 的中点，请判断线段BE 和EC 的位置关系，并证明你的结论． 23．如图，在菱形ABCD 中，过点D 分别作DE ⊥AB 于点E ，作DF ⊥BC 于点F ．求证：AE ＝CF ．
24．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E ，F 分别是AD 和AB 上的点，2AE =，F 是AB 的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图1中，作一个以EF 为直角边的直角三角形；
（2）在图2中，作一个以EF 为边的平行四边形．
25．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．但人们可以通过折纸把一个角三等分，今天我们就通过折纸把一个直角三等分．操作如下：第一步：如图①，对折长方形
纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，沿EF 对折后，得到折痕EF ，把纸片展平；
第二步：如图②，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上（标记为点O ），并使折痕经过点B ；
第三步：如图③，再展开纸片，得到折痕BR ，同时连接BO RO 、．
这时就可以得到BR BO 、把直角ABC 三等分．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是由BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形 ，求证：
26．如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF ．
（1）求证：∠HEA ＝∠CGF ；
（2）当AH ＝DG 时，求证：菱形EFGH 为正方形．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED ，从而得到∠DAE ＝∠AED ，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE ，然后求出正方形的对角线BD ，再求出BE ，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的22
倍计算即可得解． 【详解】
解：在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°，
∵∠BAE ＝22.5°，
∴∠DAE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE 中，∠AED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE ＝∠AED ，
∴AD ＝DE ＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD ＝
∴BE ＝BD ﹣DE ＝
﹣4，
∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF
×（﹣4）＝4﹣． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD 是解题的关键，也是本题的难点．
2．C
解析：C
【分析】
根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．
【详解】
,DE BC DF AB ⊥⊥，
90DEB DFB ∴∠=∠=︒，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∴四边形DEBF 为矩形，
∴BF=DE=2.5，DF=EB ，
设DF=3x ，则EB=3x ，
∵53DF AF =，
∴AF=5x ，AB=5x+2.5，
∵3CE DE =，
∴CE=7.5，
∴CB=7.5+3x ，
∵AB=CB ，
∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,
∴512.5AF x ==，
故选：C ．
【点睛】
本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．
3．D
解析：D
【分析】
由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．
【详解】
如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．
若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，
∴△CDE 的周长最小．
∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，
∴OD ＝2，
∴D （0，2），
∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，
∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，
∵OE ∥BC ，
∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ， ∴OE D O BC D B
=''， 即：
6
23OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查轴对称−−最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求
折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．
4．A
解析：A
【分析】
画出图形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵E，F，G，H是菱形各边的中点，
∴EF∥BD，FG∥AC，
∴EF⊥FG，
同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】
根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．
【详解】
解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；
B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；
D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．
故选：A
【点睛】
本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
【详解】
解：当t=0时，A（0，0），B（0，4），C（3，4），D（3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A（0，0），B（0，4），C（3，5），D（3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；
当t=1.5时，A（0，0），B（0，4），C（3，5.5），D（3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；当t=2时，A（0，0），B（0，4），C（3，6），D（3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A错误，选项B错误；选项D错误，选项C正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．
7．A
解析：A
【分析】
过A作AH⊥BC于H，根据已知条件得到AE=CE，求得DE=1
2
BC，求得DF=
1
2
AH，根据三
角形的面积公式得到DE•DF=2，得到AB•AC=8，求得AB=2（负值舍去），根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴AE=CE，
∴DE=1
2
BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF=HF，
∴DF=1
2
AH，
∵△DFE 的面积为1， ∴
12
DE•DF=1， ∴DE•DF=2， ∴BC•AH=2DE•2DF=4×2=8，
∴AB•AC=8，
∵AB=CE ，
∴AB=AE=CE=
12
AC ， ∴AB•2AB=8， ∴AB=2（负值舍去），
∴AC=4，
∴
==
故选：A ．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积的计算，勾股定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．
【详解】
解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：
A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，
∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，
∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，
同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．
△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=
012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=
12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=
2
1142=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1
21
2n -，
则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为
120211221
122n --==1010
12． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．
9．A
解析：A
【分析】
延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ，先计算出RG=6，∠ARG=90︒，AR=2
，根据勾股定理求出AG =
，利用1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅
，求出EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ．
【详解】
如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ， ∵矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，
∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR-CE=4-2=2，
∴AG ===，
∵H 是AG 中点，
∴
，
∵1122
AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，
∴24⨯=，
∴EN =， 在Rt △ENG
中，5NG =
= ，
∴5NH NG HG =-=
，
∴EH =
故选：A ．
【点睛】
此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=1
2
（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
11．B
解析：B
【分析】
由正方形OMNQ与ABCD得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF由AC，BD是正方形ABCD的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE≌△COF（AAS），利用面积和差S四边形
FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】
∵正方形OMNQ 与ABCD ，
∴∠DOC=∠MOQ=90°，
∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，
∴∠DOE=∠COF ，
又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，
∴∠ODE=∠OCF=45°，
∵DE CF ，
∴△DOE ≌△COF （AAS ），
∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，
∵S △DOC =
2ABCD 11=44
S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214
a ． 故选择：B ．
【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．
12．D
解析：D
【分析】
四个选项，A 、C 选项CP 为顶角的平分线， B 、D 选项CP 为底边上的高线，
根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线
等于
245
，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D 选项．
【详解】
解：∵∠C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8，
∴
10 AB==，
当CP为AB的中线时，
1
5
2
CP AB
==，
若∠ACP=45°，如图1，则CP为直角∠ACB的平分线，∵BC≠AC，
∴CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∠ACP=∠B，如图2
∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°，
∴∠A+∠ACP =90°，
∴∠APC=90°，即CP为AB的高线，
∵BC≠AC，
∴CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；
当CP为AB的高线时，
11
22
ABC
S AC BC AB PC =⋅=⋅
△
,
即11
8610
22
PC
⨯⨯=⨯⋅，解得
24
5
PC=,
故D选项正确，C选项错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．
二、填空题
13．【分析】利用勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答【详解】∵∴此三角形是直角三角形斜边为5∴该三角形最长边上的中线长为：5=故答案为：【点睛】本题考查
解析：5 2
【分析】
利用勾股定理逆定理判断出此三角形是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
∵222
2255
+==，
∴此三角形是直角三角形，斜边为5，
∴该三角形最长边上的中线长为：1
2⨯5=
5
2
．
故答案为：
52
． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理的应用，熟记性质并判断出此三角形是直角三角形是解题的关键．
14．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键
解析：12．
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD
∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴
12BC =，
故答案是：12．
【点睛】
考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．
15．60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB 再以E 为圆心EA 为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P 点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD 中∠AEB=105°∵点P 在正
解析：60°或90°或150°
【分析】
首先根据题意作出正方形以及∠AEB ，再以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，分类讨论即可．
【详解】
如图所示，在正方形ABCD 中，∠AEB=105°，
∵点P 在正方形的边上，且AE=EP ，
∴可以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，
①当P 在AD 上时，如图，AE=EP 1，
∵∠EBA=45°，
∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP 1=60°，△EAP 1为等边三角形，
∴此时∠AEP 1=60°；
②当P 在CD 上时，如图，AE=EP 2，AE=EP 3，
由①可知∠DEP 1=180°-105°-60°=15°，
∴此时∠DEP 1=∠DEP 2=15°，∠CEP 2=∠AEP 1=60°，
∴此时∠AEP 2=60°+15°+15°=90°；∠AEP 3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，
故答案为：60°或90°或150°．
【点睛】
本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．
16．【分析】由ASA可证△ABQ≌△DAP可得AP＝BQ列出方程可求t的值【详解】∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB∠B＝∠BAD＝90°∵AQ⊥DP∴∠QAD＋∠ADP＝90°且∠DAQ＋∠BAQ＝
解析：8 3
【分析】
由“ASA”可证△ABQ≌△DAP，可得AP＝BQ，列出方程可求t的值．【详解】
∵四边形ABCD是正方形
∴AD＝AB，∠B＝∠BAD＝90°
∵AQ⊥DP
∴∠QAD＋∠ADP＝90°，且∠DAQ＋∠BAQ＝90°，
∴∠BAQ＝∠ADP，且∠B＝∠BAD＝90°，AD＝AB
∴△ABQ≌△DAP（ASA）
∴AP＝BQ
∴2t＝8−t
∴t＝8
3
，
故答案为：8
3
．
【点睛】
本题考查了全等三角形判定和性质，正方形的性质，一元一次方程的应用，证明
△ABQ≌△DAP是本题的关键．
17．或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC的长【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴
解析：232
【分析】
根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形，分两种情况，画出图形，结合勾股定理求出AC 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，AD=AB=2，
若∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴BD=2，
∴OD=1，
∴OA=22213-=
，
∴AC=23；
若∠ABC=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AC=2；
故答案为：32．
【点睛】
此题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定和性质，要记住菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．
18．24【分析】根据平行四边形的性质得到AD ∥BC 由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF 根据折叠的性质得到推出△GEF 是等边三角形于是得到结论【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ∴∠AEG
解析：24
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD ∥BC ，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF ，根据折叠的性质得到60GEF DEF ∠=∠=︒，推出△GEF 是等边三角形，于是得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠AEG=∠EGF ，
∵将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC D ''，
∴60GEF DEF ∠=∠=︒，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF 是等边三角形，
∵EF=8，
∴△GEF 的周长=24，
故答案为：24．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握基本性质是解题关键．
19．【分析】过D 作DF ⊥AC 于F 得到AB ∥DF 求得AF ＝CF 根据三角形中位线定理得到DF=AB ＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ∴∠DFC ＝∠A ＝90°∴AB ∥DF 解析：2 【分析】 过D 作DF ⊥AC 于F ，得到AB ∥DF ，求得AF ＝CF ，根据三角形中位线定理得到DF =12AB ＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DF ⊥AC 于F ，
∴∠DFC ＝∠A ＝90°，
∴AB ∥DF ，
∵点D 是BC 边的中点，
∴BD ＝DC ，
∴AF ＝CF ，
∴DF =12
AB ＝1， ∵∠DEC ＝45°，
∴△DEF 是等腰直角三角形，
∴DE =2DF =2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的
作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
20．2或【分析】分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M 交BC 于N 则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴得出AM=BN=AD=2由勾股定理得到A′N=0求得A′M=2再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交
解析：2或23 【分析】
分两种情况：①过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，得出AM=BN=12
AD=2，由勾股定理得到A′N=0，求得A′M=2，再得到A′E 即可；②过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ；求出∠EBA′=30°，再利用勾股定理求出A′E ，即可得出结果．
【详解】
解：分两种情况：
①如图1，过A′作MN ∥CD 交AD 于M ，交BC 于N ，
则直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，
∴AM=BN=12
AD=2， ∵△ABE 沿BE 折叠得到△A′BE ，
∴A′E=AE ，A′B=AB=2，
∴A′N=22A B BN '-=0，即A′与N 重合，
∴A′M=2= A′E ，
∴AE=2；
②如图2，过A′作PQ ∥AD 交AB 于P ，交CD 于Q ，
则直线PQ 是矩形ABCD 的对称轴，
∴PQ ⊥AB ，AP=PB ，AD ∥PQ ∥BC ，
∴A′B=2PB ，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，
设A′E=x ，则BE=2x ，
在△A′EB 中，()22222x x =+，
解得：x=233
， ∴AE=A′E=23；
综上所述：AE 的长为223， 故答案为：223． 【点睛】 本题考查了翻折变换—折叠问题，矩形的性质，勾股定理；正确理解折叠的性质是解题的关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=
+︒或1452
βα=-+︒，见解析 【分析】
（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；
②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；
（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．
【详解】
（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，
∴90A ABC ∠+∠=︒，
∵点D 是AB 的中点，
∴AD DC BD ==，
∴DCB ABC ∠=∠．
∵90CDE ∠=︒，
∴90E DCB ∠+∠=︒，
∴A E ∠=∠；
②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，
∵BD 平分CDE ∠，
∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．
∵DB DC =，
∴DCB DBC x ∠=∠=︒，
∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，
∴906822A ∠=︒-︒=︒；
（2）①如图，当CD CE =时，
∴CDE CED β∠=∠=．
∵A α∠=，AD DC =，
∴ACD α∠=，
∴90DCB α∠=︒-，
∴290180βα+︒-=︒，得1452
βα=+︒；
②如图，当CD CE =时
∴CDE E β∠=∠=，
∴290βα=︒-，得1452
βα=-+︒．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．
22．（1）见解析；（2）线段BE 和EC 的位置关系是垂直．证明见解析．
【分析】
（1）根据题意可得ED=DC ，根据SAS 证明△EDF ≌△CDF ，可得EF=CF ，根据梯形的性质和平行线的性质，由等角对等边可得CF=CD ，再根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据平行四边形的判定可证四边形BEDF 是平行四边形，再根据菱形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵DF 平分EDC ∠，
∴EDF CDF ∠=∠．
由题意，ED DC =．
在△EDF 与△CDF 中，
ED DC EDF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
．
∴△EDF ≌△CDF ．
∴EF CF =．
∵四边形ABCD 为梯形．
∴AD ∥BC ．
∴EDF DFC ∠=∠．
∴DFC CDF ∠=∠．
∴CF CD =．
∴ED CD CF EF ===．
∴四边形ECDF 是菱形．
（2）线段BE 和EC 的位置关系是垂直． 理由如下：
∵点F 是BC 的中点，
∴BF CF =．
∴BF ED =．
∵ED ∥BF ，
∴四边形BEDF 是平行四边形．
∴BE ∥DF ．
∵四边形EDCF 是菱形，
∴EC ⊥DF ．
∴BE ⊥EC ．
【点睛】
考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质及菱形的判定和性质，熟悉相关定理进行正确推理是关键．
23．见解析
【分析】
先由菱形的性质得到AD CD =，A C ∠=∠，再由AAS 证得ADE CDF ∆≅∆，即可得出结论．
【详解】
解：证明：∵四边形ABCD 是菱形，
AD CD ∴=，A C ∠=∠，
DE AB ∵⊥，DF BC ⊥，
90AED CFD ∴∠=∠=︒，
在ADE ∆和CDF ∆中，
AED CFD A C
AD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ADE CDF AAS ∴∆≅∆，
AE CF ∴=．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（1）答案见解析；（2）答案见解析．
【分析】
(1)连接CE ，CF ，先利用勾股定理计算EF ，EC ，CF 的长，再利用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状即可；
(2)过点E 作BC 的垂线E 1G ，连接1G D ，取CD ，C 1G 的中点即可，过点E 作E 1H ⊥1G D ，垂足为1H ，也可以得到符合题意的平行四边形.
【详解】
解：（1）在图1中，连接CE ，CF ，
则EFC 即为所作；理由如下：
∵4AB =，6AD =，2AE =，F 是AB 的中点，
∴AF=BF=2，ED=4，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，
∴2EF =22AE AF +=8，
2EC =22DE DC +=32，
2CF =22BC BF +=40，
∵2EF +2EC =2CF ，
∴EFC 是直角三角形.
（2）如图2，四边形EFGH 即为所作．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定定理是解题的关键.
25．点O 在折痕EF 上，BR BO 、把ABC ∠三等分，见解析
【分析】
如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上；连接AO ， 根据折叠的性质可得△AOB 为等边三角形，然后结合矩形的性质即可求证所求问题．
【详解】
解：已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上．
求证：BR BO 、把ABC ∠三等分
证明：连接AO
线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕
∴EF 垂直平分AB 又点O 在对称轴EF 上
AO BO ∴=
BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形
,12BO AB ∴=∠=∠
AO BO AB ∴==
ABO ∴∆是等边三角形
60ABO ︒∴∠=
又12ABO ∠+∠=∠
1230︒∴∠=∠=
又90ABC ︒∠=
330ABC ABO ︒∴∠=∠-∠=
123∴∠=∠=∠
BR BO ∴、把ABC ∠三等分．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质和判定，还考查了学生的观察力和动手能力，动手操作一下，问题更容易解决．
26．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）连接GE ，根据正方形对边平行，得∠AEG=∠CGE ，根据菱形的对边平行，得∠HEG=∠FGE ，利用两个角的差求解即可；
（2）根据正方形的判定定理，证明∠GHE=90°即可．
【详解】
证明：（1）连接GE ，
∵AB ∥CD ，
∴∠AEG=∠CGE ，
∵GF ∥HE ，
∴∠HEG=∠FGE ，
∴∠HEA=∠CGF ；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH 是菱形，
∴HG=HE ，
在Rt △HAE 和Rt △GDH 中，
AH DG HE HG =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH ，
∴∠AHE=∠DGH ，
∵∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形.
【点睛】
本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，平行线的性质，熟记正方形的性质和判定是解题的关键.。